Riassunto esame Controlli automatici, Prof. Caiti Andrea, libro consigliato Fondamenti di controlli automatici, Paolo Bolzern

Controlli automatici

Problemi di controllo

I problemi di controllo consistono nell'imporre un funzionamento desiderato ad un processo assegnato. Il funzionamento desiderato è espresso dalla richiesta che l'andamento nel tempo di variabili di processo coincida con variabili preassegnate.

Variabile di processo -->Variabile controllata

Variabile preassegnata -->Segnale di riferimento (set-point)

Nell'intero processo deve risultare che : Variabile controllata = Segnale di riferimento

Bisogna avere le possibilità di condizionare la variabile controllata manipolando delle variabili di controllo.

Quando il set-point è costante -->Problema di regolazione

L'incertezza è sempre presente in ogni sistema da controllare. Per via dei parametri interni o segnali di disturbo dall'esterno che influiscono sul processo potendolo portare da condizioni nominali a condizioni perturbate.

Tutte le variabili che intervengono in un problema di controllo sono in funzione del tempo. Esso può essere di tipo continuo (variabile reale) o di tipo discreto (variabile intera).

Sistemi di controllo

La determinazione dell'andamento della variabile di controllo è compiuta da un controllore (regolatore). Il complesso costituito dal processo e dal controllore è denominato sistema di controllo.

Se il controllore e il processo sono connessi tra loro -->meccanismo di autoregolazione --> sistemi e controllori naturali.

Se il controllore e il processo non sono strettamente connessi tra loro --> sistemi e controllori artificiali.

I sistemi e controllori possono essere sia manuali che automatici.

Per la presenza di disturbi e parametri interni la variabile controllata non è uguale al segnale di riferimento ma ci si avvicina. Si può introdurre il concetto di errore:

e = errore = segnale di riferimento - variabile controllata

Controllo in anello aperto e in anello chiuso

Ogni controllore, per poter agire sul processo in maniera opportuna, deve necessariamente avere delle informazioni sul segnale di riferimento. Quando il controllore possiede informazioni solo sul segnale di riferimento e sul disturbo si dice ad "anello aperto". Invece se anche la variabile controllata viene misurata e resa disponibile al regolatore, allora si parla di "anello chiuso" o "sistema di controllo retroazionato".

Se il disturbo è misurabile e la variabile di controllo, in anello aperto o chiuso, ne dipende, si usa dire che il controllore effettua una compensazione del disturbo. Questi termini sono anche usati con riferimento al caso in cui la variabile generata dal controllore sia fatta dipendere da un'altra variabile misurabile del processo

ANELLO CHIUSO

(con feedback v. controllata)

ANELLO CHIUSO

(con feedback v. misurabile)

SISTEMA DI CONTROLLO SULL'ERRORE DI COMPENSAZIONE

Un movimento si dice stabile se , per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per tutti gli stati iniziali x0 che soddisfano la relazione ‖ x0−x̅(t0) ‖ ≤ δ , risulti ‖ x(t)−x̅(t) ‖ ≤ ε, ∀ t ≥ t0.La proprietà di stabilità dell'equilibrio richiede che il movimento perturbato rimanga vicino movimento nominale.Se ciò non accade, si parla di movimento instabileUn movimento si dice asintoticamente stabile se , per ogni ε > 0, esiste δ > 0, tale che per tutti gli stati x0 che soddisfano ‖x0−x̅(t0)‖ ≤ δ, risulti lim ₜ → ∞ ‖ x(t)−x̅(t) ‖ = 0.

Sistemi lineari e stazionari a tempo continuo, linearizzazione

Questi sistemi godono delle proprietà di linearità e stazionarietà. Vengono utilizzati per descrivere in maniera approssimativa anche il comportamento di sistemi non lineari e varianti nel tempo.Si consideri un sistema a tempo continuo lineare, invariante nel tempo e proprio descritto

È facile verificare che il movimento dello stato all'ingresso e uscita si può rappresentare anche attraverso la formula di Lagrange:

Il movimento libero è il contributo dipendente solo dallo stato iniziale, con ingresso nullo.Invece il movimento forzato è il contributo dipendente solo dall'ingresso

Considerato un sistema lineare e stazionario con istante iniziale t0, siano x' e y' i movimenti generati dall'ingresso u' e da xt0' , e x'' e y'' i movimenti dello stato generati dall'ingresso u'' e da xt0''. Allora per ogni coppia di scalari (alpha & bhɛta), x'', y'', u'', xt0'' risultano:

Questo prende il nome di "principio di sovrapposizione degli effetti" ed è di grande importanza in quanto consente di calcolare il movimento generato da più cause, ovvero attraverso una somma pesata degli effetti causati da queste cause.

Funzione di trasferimento

Esiste una nuova rappresentazione dei sistemi dinamici a tempo continuo lineari e stazionari, chiamata funzione di trasferimento che mette in relazione le trasformate di Laplace delle variabili di ingresso e di uscita.

Si consideri il sistema con n variabili di stato, m variabili di ingresso e p variabili di uscita, e si indichino con U(s), X(s) e Y(s), le funzioni della variabile complessa "s" (ovvero le trasformate di Laplace di u(t), x(t), y(t)

Nel calcolo di G(s) può avvenire che i polinomi a numeratore e denominatore abbiano una o più radici in comune. In tal caso, dopo aver effettuato la cancellazione di questi fattori comuni, G(s) è una funzione razionale con polinomio a denominatore v ≤ n e polinomio a numeratore di grado al più v-1 per D=0, o v per D non nullo. La funzione di riferimento risultante è detta in "forma minima".

Si può dire che "s" è uno zero di G(s) se annulla il numeratore (Ng(s)=0), invece è detto polo se annulla il denominatore (Dg(s)=0).

I poli sono anche radici dell'equazione det(sI - A)=0 --> sono autovalori del sistema. Sia gli zeri e i poli sono reali o complessi coniugati a coppie. Sono detti anche "singolarità".

I poli del sistema, ipotizzato SISO, coincidono con gli autovalori della parte raggiungibile e osservabile del sistema stesso, compresa la molteplicità.

Il ritardo di tempo descritto dalla relazione ingresso uscita y(t) = μ(t - T) è un sistema lineare e stazionario. Trasformando con Laplace ambo i membri dell'equazione e si ha

Diagrammi di Bode

Per i sistemi SISO, i diagrammi di Bode sono la forma più usata per rappresentare graficamente la risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento. Essi sono costituiti da una coppia di curve, dove una è in funzione del modulo e l'altra è in funzione della fase.

Nel tracciamento dei diagrammi è comodo utilizzare una scala logaritmica in base dieci per l'ascissa (dove è riportata la pulsazione, eventualmente normalizzata). L'intervallo tra due pulsazioni hce sono tra loro in un rapporto pari a 10 si chiama decade.

Nel diagramma del modulo, l'asse delle ordinate riporta in scala lineare il valore del modulo della risposta in frequenza espresso in decibel, o in dB. Il valore in decibel di una quantità positiva è dato dalla moltiplicazione di 20 per il logaritmo (base dieci) di quella quantità.

Per una analisi completa, è sufficiente quindi considerare il modulo della risposta in frequenza associata ai termini: