Riassunto teoria esame controlli automatici

Riassunto Teoria: Controlli Auromatici

Argomenti

1. Criterio di Nyquist ...................................................................................................................... 1

2. Margini di stabilità ..................................................................................................................... 3

2.1. Classificazione della stabilità .............................................................................................. 3

2.1.1. Stabilità incondizionata .............................................................................................. 3

2.1.2. Stabilità regolare ........................................................................................................ 3

2.1.3. Stabilità condizionata ................................................................................................. 3

2.1.4. Stabilità paradossale................................................................................................... 4

2.2. Quantificazione della stabilità ............................................................................................ 4

2.2.1. Margine di guadagno .................................................................................................. 4

2.2.2. Margine di fase ........................................................................................................... 5

3. Sistemi di tipo K ......................................................................................................................... 5

3.1. Relazione tra guadagno ed errore ...................................................................................... 7

4. Risposta ai disturbi costanti ....................................................................................................... 7

1

4.1. Calcolo ........................................................................................................................ 8

2

4.2. Calcolo ........................................................................................................................ 8

3

4.3. Calcolo ........................................................................................................................ 8

5. Risposta ai disturbi sinusoidali ................................................................................................... 9

6. Risposta transitoria .................................................................................................................... 9

6.1. Studio dei poli .................................................................................................................. 10

6.2. Parametri globali .............................................................................................................. 11

7. Sensibilità a variazioni parametriche ........................................................................................ 12

8. Sintesi in frequenza ................................................................................................................. 13

8.1. Procedimento per la sintesi in frequenza .......................................................................... 16

8.2. Funzioni ausiliarie ............................................................................................................ 16

9. Luogo delle radici ..................................................................................................................... 16

9.1. Condizioni di modulo e di fase .......................................................................................... 18

9.2. Proprietà dei luoghi .......................................................................................................... 19

9.3. Punti singolari e punti regolari.......................................................................................... 20

→ ±∞

9.4. Comportamento del luogo per ........................................................................... 20

9.5. Regole di tracciamento .................................................................................................... 22

10. Regolatori industriali ............................................................................................................ 22

I

10.1. P – Controllore proporzionale ....................................................................................... 23

10.2. I – Controllore integrale................................................................................................ 23

10.3. D – Controllore derivativo ............................................................................................ 24

10.4. 1° Tecnica di Ziegler-Nichols ......................................................................................... 25

10.5. 2° Tecnica di Ziegler-Nichols ......................................................................................... 26

II

1. Criterio di Nyquist

Si consideri il seguente sistema in controreazione:

Fig. 1 Schema in controreazione

Teorema. Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema a ciclo chiuso di Fig. 1 sia stabile è che

()

−∞ +∞,

il diagramma polare della funzione , per che varia tra e compia nel piano di Nyquist

1

̂ (− ),

,

un numero di giri attorno al punto critico in senso antiorario, pari al numero di poli a

0

()

parte reale positiva di . Assumendo come positivo il verso orario di rotazione, tale condizione

diviene:

̂

= − (1)

()

Dimostrazione. Sia la funzione di trasferimento in catena chiusa, che è data da:

()

() = (2)

1+ ()

() () ()

Si indichino con e rispettivamente il numeratore ed il denominatore di , e con

() () ()

e rispettivamente il numeratore ed il denominatore di . Si definisca inoltre la

() ()

= 1 +

funzione . Si può facilmente verificare che:

() ()

() = = (3)

() ()+ ()

()+ () ()

()

() = = = (4)

() ()

()

()

Dalla relazione (4) si deduce che la funzione è data dal rapporto tra il denominatore della

funzione di trasferimento in catena chiusa e il denominatore della funzione di trasferimento in catena

() () ()

aperta. In altre parole, gli zeri di coincidono con i poli di , mentre i poli di coincidono

() () = , −∞ +∞,

con i poli di . Si calcoli ora la variazione di fase di per per che varia tra e

−∞ +∞.

cioè quando la variabile percorre l’intero asse immaginario, da a Per far questo, si osservi

innanzitutto che:

• () ()

è una funzione fisicamente realizzabile, cioè il grado di è maggiore del grado di

() () ()

. Per questo motivo, il grado di è sicuramente uguale al grado di . Si indichi

()

,

tale grado con con il coefficiente del termine di grado massimo di e con il

1 2

() ()

coefficiente del termine di grado massimo di . Dalla fisica realizzabilità della e dalla

=

(3), si deduce facilmente che ;

1 2

• () ()

, … , , … ,

Indicando inoltre con i poli di , cioè le radici di , e con i

,1 , ,1 ,

() ()

poli di , cioè le radici di , si può scrivere:

(− )…(− (− )…(−

()

1 ,1 ,) ,1 ,)

() = = = (5)

() (− )…(− (− )…(−

2 ,1 ,) ,1 ,)

1

() ()

Si assuma che né né abbiano radici sull’asse immaginario. Per ricavare la variazione di

() −∞ +∞,

fase per che varia tra e si consideri che:

() ∑ ( ) ( )

= − − − (6)

, ,

=1 − ,

E che nel piano di Gauss il numero complesso , al variare di può essere rappresentato

,

,

come un vettore che unisce e il punto dell’asse immaginario come descritto in Fig. 2.

, Fig. 2 – Piano di Gauss

−∞ +∞, −

Dalla medesima figura si nota che, per che varia tra e la variazione di fase di è

,

pari a in senso orario, se è a parte reale positiva, mentre è pari a in senso antiorario, se

, ,

è a parte reale negativa. Assumendo come verso positivo per la fase quello orario, si ha una variazione

+ −

di quando è a parte reale positiva, e di quando è a parte reale negativa. Un

, ,

−

ragionamento analogo può essere fatto per il termine . Indicando con la variazione di

,

() −∞ +∞, ()

fase di per che varia tra e con il numero di zeri a parte reale positiva di

()), ()

(poli a parte reale positiva di e con il numero di poli a parte reale positiva di (poli a

()),

parte reale positiva di si ha:

( ) [ ( )]

= − − − − − = 2( − ) (7)

()

Il numero di giri che il diagramma della funzione compie intorno all’origine è uguale a .

2

(),

Inoltre, dalla definizione di si può concludere che il numero di giri che il diagramma cella

() ()

funzione compie intorno all’origine è pari al numero di giri che la funzione compie

1

(− ).

,

introno al punto critico Perciò si può scrivere:

0

̂

= ( − ) (8)

(), (),

Affinché il sistema in catena chiusa di Fig.1 sia stabile, tutti i poli di ovvero gli zeri di

= 0.

devono essere a parte reale negativa, e quindi Di conseguenza:

̂

= − Come volevasi dimostrare.

2

2. Margini di stabilità

Lo studio del diagramma di Nyquist non solo ci dice se un sistema è stabile oppure no, ma ci permette

di effettuare due ulteriori studi sulla stabilità: classificazione della stabilità e quantificazione della

stabilità.

2.1. Classificazione della stabilità (−1,0)

Considerando un sistema a retroazione unitaria (punto critico in ), al variare del guadagno

possiamo classificare un sistema stabile in quattro categorie:

2.1.1. Stabilità incondizionata

Il sistema è stabile per qualsiasi valore del guadagno statico. Sistemi di questo tipo sono caratterizzati

da un diagramma di Nyquist che non interseca mai il semiasse reale negativo.

Fig.1 – Esempio di stabilità incondizionata

2.1.2. Stabilità regolare 0

Il sistema è stabile per un intervallo di guadagno che va da ad un valore limite:

̅

< (1)

̅

> (2)

Il sistema è stabile per (1) o instabile per (2). Sistemi di questo tipo sono caratterizzati da un

diagramma di Nyquist che interseca in un solo punto il semiasse reale negativo.

Fig.2 – Esempio di stabilità regolare

2.1.3. Stabilità condizionata

Il sistema è stabile per un guadagno minore o maggiore di certi valori estremi, tra di essi invece il

sistema risulta instabile:

0 < < (3)

1 3

< < (4)

1 2

< < (5)

2 3

Il sistema è stabile per (3) e (5) mentre instabile per (4). Sistemi di questo tipo sono caratterizzati da

un diagramma di Nyquist che interseca in più punti il semiasse reale negativo.

2.1.4. Stabilità paradossale

Il sistema è stabile per valori indefinitamente grandi del guadagno statico:

̅

< (6)

̅

> (7)

Il sistema risulta stabile per (6) e instabile per (7). Tale situazione si presenta quando il diagramma

non circonda più il punto critico.

2.2. Quantificazione della stabilità

Viene effettuata dallo studio dei margini di stabilità (margine di guadagno e margine di fase) che ci

permettono di capire quanto il sistema è lontano dalla condizione di instabilità.

2.2.1. Margine di guadagno

Intuitivamente posso vederlo come un parametro che mi dice quanto posso aumentare il guadagno in

catena aperta mantenendo stabile il sistema in catena chiusa.

Fig.3 – Rappresentazione grafica del margine di guadagno

Σ

Più il punto sta a destra e più è grande il guadagno, quindi il sistema è “più stabile”.

̅̅̅̅

1

= = (8)

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

∗

(),

Facendo riferimento alla il margine di guadagno è definito per quella pulsazione tale che:

∗

( )

= −180° (9)

L’equazione (9) rappresenta la condizione per individuare il margine di guadagno. Quindi il margine di

guadagno sarà:

1

= (10)

∗

|( )|

> 1 < 1si

Se si avrà STABILITÀ. Se avrà INSTABILITÀ.

Possiamo anche esprimere il margine di guadagno in decibel ed ottenere:

1 ∗

|( )|

[ ] ( )

= 20 = −20 (11)

10 10

∗

|( )|

4

[ ] [ ]

> 0 < 0

Se si avrà STABILITÀ. Se si avrà INSTABILITÀ.

2.2.2. Margine di fase

Tracciando una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine sul diagramma di Nyquist

possiamo rappresentare il margine di fase come mostrato in Fig.4.

Fig.4 – Rappresentazione grafica del margine di fase

Il nostro punto di interesse è questa volta l’intersezione del diagramma di Nyquist con la

circonferenza. La pulsazione di tale punto viene chiamata pulsazione di attraversamento tale che:

|( )| = 1 (12)

L’equazione (12) rappresenta la condizione per individuare il margine di fase. Quindi il margine di fase

sarà: ( )

= 180° + (13)

Osservando il grafico in Figura 4 possiamo trarre le seguenti considerazioni:

• ( )

< −180° ⇒ ⇒

Se (in valore assoluto) Intersezione nel 3° quadrante Il punto critico

−1 ⇒ Σ

non viene circondato stabile;

• ( )

> −180° ⇒ ⇒

Se (in valore assoluto) Intersezione nel 2° quadrante Il punto critico

−1 ⇒ Σ

viene circondato instabile.

3. Sistemi di tipo K

Desidero studiare la fedeltà di risposta di un sistema a regime permanente, cioè quando la sua uscita

differisce da quella desiderata. Effettuo l seguenti ipotesi:

• ()

=

Ingresso polinomiale: (1)

!