Riassunto teoria esame controlli automatici

OFF).

Per gestire il transitorio di un sistema possiamo utilizzare due differenti approcci:

1. Studio dei poli, il quale richiede la conoscenza del modello matematico del sistema;

2. Parametri globali, il quale risulta un metodo più intuitivo.

6.1. Studio dei poli 1 1

() () ̃() () () ̃() () () (0) () () (0)

= − ⇒ = − = − = − (2)

(0)

2 0 2

= + +⋯+ + − = + + ⋯+ (3)

− − − − − −

1 2 1 2

In Figura 1 è mostrato il caso di due poli reali:

Fig.1 – Rappresentazione grafica caso due poli reali

()

→ 0

Per avere quindi un transitorio breve (e cioè il più velocemente possibile) è quindi

necessario che i poli si trovino più a sinistra possibile. Tale limite dipende dalla costante temporale,

≤

quindi: (4)

In Figura 2 è mostrato il caso di poli complessi:

Fig.2 – Rappresentazione grafica caso poli complessi

− 2

() )].

= = [( √1 −

Con posso scrivere Quanto più la parte

= 0,

immaginaria prevale sulla parte reale tanto più l’andamento è oscillatorio (casi limite:

= 1,

immaginario puro; reale puro). Da ciò traggo le seguenti condizioni:

10

≥ ≥ (5)-(6)

,

Unendo le seguenti condizioni otteniamo:

Fig.2 – Rappresentazione grafica caso poli complessi

Poli posizionati nella zona grigia assicurano un breve transitorio.

6.2. Parametri globali

Tracciando l’andamento temporale della risposta di un sistema in catena chiusa possiamo individuare

tre parametri interessanti:

Fig.3 – Rappresentazione grafica dell’andamento temporale della risposta

•

Tempo di salita : Intervallo di tempo che impiega l’uscita per la prima volta a raggiungere la

risposta. Indica la prontezza del sistema.

• ̂

Sovraelongazione : Massimo valore dell’uscita rispetto al valore di regime (picco massimo),

[()] −̃

̂ =

indica le oscillazioni: (7)

̃

•

Tempo di assestamento : Tempo dopo il quale l’uscita non esce più dalla fascia di

tolleranza, indica la durata del transitorio.

A noi in realtà interessano solo i primi due parametri, desiderando che non superino un valore limite:

′ ′

≤ ̂ ≤ ̂ (8)-(9)

Esistono delle relazioni empiriche tra questi parametri e dei parametri nel dominio della frequenza,

sia in catena chiusa che aperta, come mostrato dalla tabella in Figura 4.

11

Fig.4 – Tabella delle relazioni empiriche

• ()

Banda passante : Pulsazione in corrispondenza della quale il modulo di si attenua di

3

(0)

3 rispetto a

Banda passante e tempo di salita sono inversamente proporzionali tra loro. Quindi per ridurre il

3

tempo di salita devo aumentare la banda passante:

[ ] [ ]

⋅ ~3 (10)

3

• |()| |(0)|

Modulo di risonanza : è il valore massimo di rapportato a .

|()| [ ] [|()| ] [|(0)|]

= ⇒ = −

Quindi: (11)

|(0)|

̂

Modulo di risonanza e sovraelongazione sono direttamente proporzionali tra loro. Quindi per

ridurre la sovraelongazione devo ridurre il margine di risonanza.

• |( )|

= 0

Pulsazione di attraversamento : Pulsazione in corrispondenza della quale

Pulsazione di attraversamento e banda passante sono direttamente proporzionali tra loro.

3

Quindi per aumentare la banda passante devo aumentare la pulsazione di attraversamento.

[ ] ]

~3 ÷ 5[

, è quindi sempre maggiore di (10)

3 3

• = 180° + ( )

Margine di fase : Definito come

Margine di fase e margine di risonanza sono inversamente proporzionali tra loro. Quindi per

diminuire il margine di risonanza devo aumentare il margine di fase.

̂

I vantaggi dell’utilizzo di e al posto di e sono che:

• Li studiamo nella catena aperta;

• Li studiamo alla stessa pulsazione.

7. Sensibilità a variazioni parametriche

Tralasciando i disturbi, la risposta di un sistema è comunque soggetta as incertezze causate dalle

approssimazioni del modello matematico che lo rappresenta. Introduciamo la funzione sensibilità:

(,) (,) (,)

(,)

()

= = ⋅ = ⋅ (1)

(,) ()

Considerando il diagramma fatto come quello mostrato in Figura 1:

12

Fig.1 – Schema a blocchi esempio

=

Quindi, 1+

Posso scrivere la funzione sensibilità rispetto ad F o rispetto ad H:

( ) ( )

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ (2)

Calcoliamo ora singolarmente queste sensibilità (rispetto ad F e rispetto ad H):

(1+)−

(1+) 1

• ()

( )

= ⋅ = = = , corrisponde quindi all’effetto di un

2 1

(1+)

1+

disturbo ;

1 2

− −

• ()

( )

= ⋅ = ⋅ = = , corrisponde quindi all’effetto di un

2 3

(1+) (1+)

( )

1+

disturbo cioè nella retroazione.

3

Ne deduciamo che gli effetti sul sistema di disturbi o di variazioni parametriche sono gli stessi, vanno

quindi trattati nello stesso modo (per diminuire aumento il guadagno, mentre per diminuire

utilizzo buoni sensori per la retroazione).

8. Sintesi in frequenza

Consideriamo il sistema in Figura 1:

Fig.1 – Schema a blocchi di sistema in retroazione

Definizione. Per sintesi di un sistema intendiamo la scelta della funzione di trasferimento del

() (()

controllore in modo che la risposta del sistema in catena chiusa ) abbia le caratteristiche

desiderate.

Le caratteristiche desiderate sono chiamate specifiche e si dividono in due tipologie:

1. Univoche, sono più strette e possono essere soddisfatte in un solo modo. Ad esempio vicolo

sul guadagno, disturbi costanti (astatismo), regime permanente per ingressi polinomiali, eccc;

2. Lasche, possono essere suddivise. Ad esempio, regime permanente per ingressi sinusoidali,

risposta transitoria.

N.B.: Non è possibile realizzare un controllore che abbia più zeri che poli (cioè con il grado del

numeratore maggiore del grado del denominatore).

13

La progettazione del controllore viene svolta per passi (sintesi a tentativi), genericamente nella prima

fase si soddisfano le specifiche univoche, nella seconda quelle lasche. Si procede in tale maniera

indipendentemente dalla tecnica di sintesi utilizzata, che può essere:

• );

Sintesi in frequenza (o in

• ).

Sintesi con luogo delle radici (o in

() ( ) (())

= ⋅

La struttura del controllore sarà fatta in questo modo: (1)

Soddisfa le specifiche univoche, cioè guadagno e numero di poli nell’origine.

()

Funzione compensatrice, soddisfa le specifiche lasche. Avrà guadagno unitario e nessun polo

nell’origine. Non è sempre necessaria, infatti è possibile che soddisfacendo le specifiche univoche

soddisfo automaticamente anche quelle lasche.

Procederemo ora con la trattazione della sintesi in frequenza, nella quale vengono utilizzati come

()

strumenti i diagrammi di Bode di . Per soddisfare quindi le specifiche della risposta transitoria

modificheremo pulsazione di attraversamento e margine di fase ottenendo una opportuna

banda passante e modulo di risonanza .

3 () ()

La carta di Nichols è uno strumento grafico che mette in relazione la con la (risposta

()

armonica della catena chiusa), senza richiedere di calcolare la . Su di essa vengono riportati il

()

diagramma di Nichols (formato dalle coppie modulo-fase della lette dai diagrammi di Bode,

()

Fig.2) e i luoghi a modulo costante di .

Fig.2 – Diagramma di Nichols

()

Definizione. Per luoghi a modulo costante di si intende luogo dei punti nel piano (Fig.2) nei

̅

|()| = =

quali (2), cioè insieme dei punti a modulo costante indipendentemente da

|1+ |

.

Perché questa definizione?

Essendo numeri complessi posso scrivere:

() ()

() |()| ()

= = (3)

() ()

() | ()| ()

= = (4)

Esse sono legate da: ()

() ()

() = = (5)

()

1+() 1+()

Quindi: 14

()

() ()

() | |

= = = (6)

() ()

|1+() | |1+ |

1+()

() )

Il modulo di è quindi una funzione di 2 variabili ( e rappresentabile nella carta di Nichols

con delle linee di livello. I luoghi a modulo costante sono:

• Periodici;

• (, ) (, −)

=

Simmetrici rispetto a ( , sono uguali dopo mezzo periodo;

• All’aumentare del modulo le curve diventano p