Controlli automatici: riassunto e domande di teoria esame

SEGNALI PERIODICI

Risposta libera: x(0)=x ₀ u(l)=0

Risposta forzata: x(0)=0 u(t)=g(t)+f

Segnale si dice periodico di periodo T se:

f(t+T)=f(t)

T più piccolo per cui si soddisfa

Pulsazione corrisettiva: ω₀=^2π/_T

Date 2 funzioni f₁(t) e f₂(t) con T₁ e T₂ commensurabili (n₁T₁=n₂T₂) la loro somma risulta essere una funzione di periodo T=n₁T₁=n₂T₂.

La combinazione lineare di funzioni sinusoidali

f(t)=a₀+∑_n=1^∞[a_nsen(nω₀t)+b_ncos(nω₀t)]

È un segnale periodico di periodo T=^2π/_ω0

SERIE DI FOURIER

Data una funzione complessa di variabile reale periodica con periodo T, si ha:

f(t)=∑_n=-∞^∞ F_ne^iω₀nt

F_n=¹/_T ∫ f(t)⋅e^-jnωtdt

Successione {F_n} spettro Fourier segnale |F_n|=spettro ampiezza |arg(F_n)|-spettro fase

La conoscenza dello spettro ampiezza e fase permette di ricostruire il segnale originario

Se segnale reale: F_n=F_-n; f(t)=F₀+∑_n=1^∞[F_n⋅e^jnω₀t+F_-n⋅e^-jnω₀t]

Forma trigonometrica: f(t)=F₀+2∑_n=1^∞|F_n|cos(nω₀t+argF_n)

Ogni segnale periodico è scomponibile nella somma di una costante, la componente continua, e di un numero finito (in generale di concessivo) di armoniche, multiple dell'armonica fondamentale.

Il peso di ogni armonica è stabilito dallo spettro di ampiezza.

Teorema Parseval's:

¹/_T ∫|f(t)|² dt=F₀+2∑_n=1^∞|F_n|²

Il valore medio nel tempo della f(t) o quanto è uguale alla somma dei quadrati delle ampiezze delle (tute) armoniche.

La potenza media associata al segnale, se ∃, è definita dallo spettro d'ampiezza.

Analisi armonica o studio dello spettro, cioè rappresentazione del segnale nel dominio delle frequenze.

si definisce banda del segnale l’intervallo di pulsazioni compreso tra la minima e la max pulsazione dei termini non nulli.

segnale con numero di termini non nulla → banda limitata

da punto di visto pratico si parla di banda del segnale, la cosiddetta banda efficace, intendendo la banda in cui è compresa una percentuale prefissata, solitamente se = 0.9, della potenza totale del segnale.

TRASFORMATA FOURIER

trasformata di fourier di funzione compresa di variabile reale definita:

F(ω) = ∫_-∞^+∞f(t) · e^-jωt dt;

f(t) = 1/2π ∫_-∞^+∞F(ω) · e^jωt dω

rappresenta l’estensione della serie di fourier ai segnali non periodico

spettro ampiezza |F(ω)|

spettro fase arg (F(ω))

forma trigonometricia: f(t) = 1/π ∫₀^+∞|F(ω)| cos(ωt+arg F(ω)) dω

un segnale e quello ambiente trasformato di fourier è esprimibile come somma non numerabile di funzioni elemento cosinusoidali.

Teorema Parsival:

∫_-∞^+∞|f(t)|² dt = 1/π ∫₀^+∞|F(ω)|² dω

l’energia totale del segnale e la somma della F(ω) che va da 0 a +∞

TRASFORMATA LAPLACE

si applica ai calcolosi funzione ai valori cc o reali ed in varianza reale, esiste ∀ segnale di interesse

F(s):= ∫₀^+∞f(t) · e^-st dt unica!

trasformazione inversa:

f(t)= 1/2πj ∫_b0-i∞^b₀+i∞F(s) · e^st ds

s = δ+jω

le 2 funzioni hanno lo stesso contenuto informativo.

proprietà:

- identità : L _{{d/dt f(t)}} = sF(s) - f(0)

- derivazione : L _{{∫0^tf(τ)dτ}}[f(t)] = 1/s F(s)

- traslazione temporale: L [f(t-t₀)]T = e^-los · F(s)

- teorema del valore iniziale: f(0⁺)= lim_s→∞ sF(s)

- teorema valore finale: lim_t→∞ f(t) = lim_s→0 sF(s)

Trasformazione esponenzielle → e(t) = e^at e = L [ e(t)] = 1/s-a

- seno - L [ sin(ωt)] = ω/s²+ω²

- coseno - L [ cos(ωt)] = s/s²+ω²

Stabilità Sistemi Lineari

Un generico movimento di un sistema lineare è stabile, asintoticamente stabile o instabile se e solo se lo è l'origine come stato di equilibrio (con ingresso nullo).

Un sistema lineare è asintoticamente stabile se e solo se (tutti poli parte reale negativa), la proprietà è necessariamente globale.

Un sistema lineare è semplicemente stabile se:

• Non ha autovalori a parte reale positiva e i:
• Gli autovalori a parte reale nulla non moltiplicati.

Nel caso di sistemi asintoticamente stabili, la risposta libera tende a 0 e l'effetto delle condizioni al contorno si riduce col tempo e la risposta forzata tende necessariamente alla risposta forzata.

Gli stati di equilibrio son soluzione di:

Ax+Bu=0

*Per ingressi nulli l'origine è sempre stato di equilibrio

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica di Routh

Condizione necessaria per stabilità asintotica, ma non sufficiente è pG1

Es. sᴧ3+2s²+3s+3=0 può essere a.s.

Es. sᴧ3-32s²+3s+3=0 non può essere a.s.

Criterio Routh: il sistema è a.s. se:

• La 1ª col. ben definita
• Tutti i coeff. della prima colonna son positivi

Lo studio delle regioni di stabilità nello spazio dei parametri si può fare col criterio di Routh

Stabilità esterna BIBO

La stabilità garantisce solo che la risposta libera di un sistema non diverga indipendenza delle c.i. (esempio intervallo)

Stabilità esterna: la risposta forzata non diverge a seguito di ingressi limitati

Se il sistema è asintoticamente stabile, l'ultimo integrale è limitato, tutti gli autovalori in a son a parte reale negativa, allora è nucleo stabile bibo e asintoticità stabilità implica stabilità esterna.

• La stabilità asintotica garantisce la stabilità esterna bibo
• La stabilità esterna garantisce, con uniche blanda ipotesi aggiuntiva, la stabilità asintotica
• Un sistema semplicemente stabile non è stabile bibo.

Linearizzazione intorno ad uno stato di equilibrio

Approssimazione lineare del nostro sistema non lineare, approssimazione calcolata nel punto di equilibrio

La stabilità linearizzata può essere usata per studiare la stabilità dell'equilibrio del sistema non lineare

Se il sistema linearizzato è asintoticamente stabile, cioè se tutti gli autovalori di a_l hanno parte negativa, allora l'origine dello spazio di a_piano_l stabilizza globalmente lo stato di equilibrio.

SISTEMA 2^o ORDINE CON POLI REALI (POLO DOMINANTE)

G(s) = μ · _{(1 + τ2s)(1 + τcs)} / ^{(s + 1/τ₁)}

U(s) = k/s

Eseguiere la trasformata inversa:

y(t) = μk _{(1/τ1 - 1/τ2)} / ^{τ₁ - τ₂} ( e^-t/τ₁ - e^-t/τ₂ )

y_∞ = lim_s→0 s·k·G(s) = kμ

y_o = lim_s→0 s·k/s·G(s) = 0

dy_∞/dt = o..g = 0

• Asse y: τ₂ >> τ₁ ^{(1/τ₂ ≪ 1/τ₁)}

quindi il termine associato al polo con const. di tempo maggiore è caratterizzato da un residuo molto più grande ed è un'esponenziale molto più lento a estinguersi.

• τ₂ / (τ_c - τ₂) → 1

• 1/τ₁ - 1/τ₂ → 0

→ y(t) = μk (1 - e^-t/τ₁)

LA RISPOSTA DEL SISTEMA TENDE A QUELLA DI UN SISTEMA DEL 1^o ORDINE GOVERNATO DA POLO DOMINANTE.

EFFETTO DEGLI ZERI NELLA RISPOSTA DEI SISTEMI ELEMENTARI

SISTEMA PRIMO ORDINE CON UNO ZERO REALE

G(s) = μ (1 + ατs) / (1 + τs)

U(s) = k/s

Y(t) = μk (1 + (α - 1) e^-t/τ)

Y_∞ = μk

y_o = μk (non più qualche stato)