Controlli automatici: riassunto e domande di teoria esame

Segnali periodici

• Risposta libera: x(0)=x(0)=0
• Risposta forzata: x(0)=0(0)≠0

Segnale si dice periodico di periodo T se: f(t+T)=f(t)

T più piccolo per cui è soddisfatta

Pulsazione caratteristica: ω_o=^2π/_T

Date 2 funzioni f₁(t) e f₂(t) con T₁ e T₂ commensurabili (n₁T₁=n₂T₂) la loro somma risulta essere una funzione periodica di periodo T=n₂T₁=n₁T₂.

La combinazione lineare di funzioni sinusoidali f(t) = a_o + ^∞∑_n=1 [a_n sen (n ωo t) + b_n cos (n ωo t)]

È un segnale periodico di periodo T= ^2π/_ωo

Serie di Fourier

Data una funzione complessa di variabile reale periodica con periodo T, si ha: f(t)=^+∞∑_n=-∞ F_n e^{j n ωo t}

F_n=¹/_T∫ f(t) e^{-j n ωo t} dt

Successione {F_n} spettro Fourier segnale

|F_n| = spettro ampiezza |arg(F_n)| = spettro fase

La conoscenza dello spettro ampiezze e fase permette di ricostruire il segnale originario.

Se segnale reale: F_-n = F_n; f(t) = ^+∞∑_n=-∞ [F_n e^{j n ωo t} + F_-n e^{-j n ωo t}]

Forma trigonometrica: f(t)=F_o+2 ^∞∑_n=1|F_n|⏐cosa⏐sin(n ωo t+argF_n)

Ogni segnale periodico é scomponibile nella somma di una costante, la componente continua, e di un insieme innumerabile di cosinusoidi, o armoniche, multiple dellâ armonica fondamentale.

Il peso di ogni armonica è stabilito nello spettro di ampiezza.

Teorema Parseval: ¹/_T ∫ |f(t)|² dt = F_o+2 ^∞∑_n=1|F_n|²

Il valor medio nel tempo della f(t) ul quanto è uguale alla somma dei quadrato dellô ampiezze delle|tue⌉ armoniche.

La potenza media associata al segnale, se =(,) è definito dallo spettro d'ampiezza.

Analisi armonica = studio dello spettro, cioè rappresentazione del segnale nel dominio delle frequenze.

Segnali periodici

• Risposta libera: x(0)=x₀ U(t)=0
• Risposta forzata: x(0)=0 U(t)≠0

Segnale si dice periodico di periodo T se: f(t+T)=f(t)

T più piccolo per cui è soddisfatta

Pulsazione caratteristica: ω₀ = ²/_T

Date 2 funzioni f₁(t) e f₂(t) con T₁ e T₂ commensurabili (n₁T₁=n₂T₂) la loro somma risulta essere una funzione periodica di periodo T=n₂T₁=n₁T₂.

La combinazione lineare di funzioni sinusoidali f(t)=a₀ + Σ_n=1^∞ [a_n sen (nω₀t)+b_n cos (nω₀t)]

È un segnale periodico di periodo T= ²/_ω0

Serie di Fourier

Data una funzione complessa di variabile reale periodica con periodo T, si ha: f(t)=Σ_n=-∞^∞ F_ne^jnω₀t

F_n= ¹/_T∫f(t) e^-jnω₀tdt

Successione {F_n} spettro Fourier segnale |F_n|=spettro ampiezza [arg(F_n)]-spettro fase

La conoscenza dello spettro ampiezza e fase permette di ricostruire il segnale originario.

Se segnale reale: E_n = E_-n ; f(t) = F₀ + Σ_n=1^∞ [F_n e^jnω₀tF_n e^-jnω₀t]

Forma trigonometrica: f(t)=F₀ + 2 Σ_n=1^∞ |F_n|.cos(nω₀t+argF_n)

Ogni segnale periodico è scomponibile nella somma di una costante, la componente continua, e di un’infinita successione di cosinusodi, gli armonici, multiple dell'armonica fondamentale. Il peso di ogni armonica è stabilito dallo spettro di ampiezza.

Teorema Parseval: ¹/_T∫|f(t)|²dt = F²+2Σ_n=1^∞|F_n|²

Il valor medio nel tempo della f(t) al quadrato è uguale alla somma dei quadrati delle ampiezze delle (tutte) armoniche.

La potenza media associata al segnale, se f(t) è definita dallo spettro d'ampiezza.

Analisi armonica

Studio dello spettro, cioè rappresentazione del segnale