Riassunto Successioni e Serie numeriche

Analisi Matematica I

1) Principio di Induzione

Nell'ambito delle dimostrazioni matematiche, è uno dei principali metodi utilizzati.

Si utilizza quando è richiesta la dimostrazione di una proprietà, di un teorema, di una proposizione che vale per i numeri naturali.

Ovvero: dimostrare che ∀n ∈ N vale "P_n"

Il principio di induzione afferma che:

1. Se P_n è vera per n = 0, cioè P₀ è vero;
2. Se P_n è vera per m allora P è vera per m+1, cioè P_m vera ⇒ P_(m+1) vera.

Allora P_n è vera per tutti gli n ∈ N.

Il punto (1) è la base di induzione

Il punto (2) si dice passo induttivo e P_m è l'ipotesi induttiva (H_p).

Come si usa:

Supponiamo di avere una proprietà P_n da dover dimostrare ∀n ∈ N o più in generale ∀n ≥ k con k ∈ N.

1. Base di induzione: si sostituisce k nella proprietà e si verifica che l'espressione ottenuta sia vera.
2. Passo induttivo:
   1. Si suppone P_m vera
   2. Si va a sostituire m+1 al m in P_m ottenendo P_(m+1) e si dimostra che anche P_(m+1) è vera.

2) Successioni Numeriche

Una successione numerica a: N → R è una legge che associa ad ogni numero naturale n un numero reale indicato con a_n. Per indicarle vengono usate le notazioni:

• { a_n }_n∈N or ( a_n )_n∈N

È una lista ordinata e infinita di numeri reali.

Data una successione a: N → R, si definisce sostegno della successione e l'insieme dei valori reali che essa assume.

Un numero α ∈ R appartiene al sostegno di a se e solo se ∃n ∈ N | a_n = α.

Successioni Monotone Crescenti (strettamente e non)

Una successione (a_n)_{n ∈ N} è monotona strettamente crescente se ∀n si ha che:

È monotona crescente (non strettamente) se risulta:

Esempi:

1. a_n = n

dunque verifichiamo a_n < a_n+1

a_n = n < n + 1 = a_n+1 ∀n ∈ N
2. a_n = n!

Dimostriamo che a_n < a_n+1 ⇒ 1 < \frac{a_n+1}{a_n}

\frac{a_n+1}{a_n} = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1)\cdot n!}{n!} = (n+1) ≥ 1 ∀n ∈ N

Successioni Monotone Decrescenti (strettamente e non)

La successione (a_n)_n∈N è monotona strettamente decrescente quando:

È monotona decrescente (o non crescente) quando:

Esempi:

1. a_n = -n²

a_n ≥ a_n+1 ⇒ a_n+1 - a_n < 0

a_n+1 - a_n = -((n+1)² - (n)²) = -((n+1)² +n² - (n+1)(n+n+1)) = = ((2n+1) < 0, verif.

2. a_n = \frac{1}{n} se 1 ≤ n ≤ 4 1 se n ≥ 5

\frac{1}{n} < 1 ∀n ≤ 5

sommiamo(M) ai due membri 0 < 1 ⇒ n < n+1 ⇒

\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} ∀n > 5 da cui a_n+1 ≥ a_n ∀n ≥ 5

verif.a_n+1 ≤ a_n ∀n ≥ 1

ESEMPIO

• lim_n→∞ n² + 2n = +∞

n² + 2n > M

Vogliamo dimostrare l'esistenza di un indice n₀ oltre il quale i valori della successione soddisfano la disuguaglianza.

n² + 2n - M > 0

(n-1/2)² - 1/4 - M > 0

n₀ = [1 + √(1 + 4M)/2] + 1

Ricapitolando:

• lim_n→∞ a_n =
  • L ∈ R ⇒ a_n CONVERGENTE
  • +∞ ⇒ a_n DIVERGENTE
  • ∅ ⇒ a_n IRREGOLARE