Riassunto Successioni e Serie numeriche

ANALISI MATEMATICA I

1) PRINCIPIO DI INDUZIONE:

nell'ambito delle dimostrazioni matematiche è uno dei principali metodi utilizzabili.

Si utilizza quando è richiesta la dimostrazione di una proprietà, di una teorema, di una proposizione CHE VALE PER I NUMERI NATURALI.

Ovvero: "Dimostrare che ∀_n ∈ ℕ vale P_n."

Il p.d. induzione afferma che:

1. Se P è vera per n = 0, cioè P₀ è vero;
2. Se P è vera per m > 0∃m P è vera per M+1 cioè P_m vera ⇒ P_(m+1) vera.

allora P è vera per tutti gli m ∈ ℕ.

Il punto (1) è la BASE DI INDUZIONE

Il punto (2) si dice PASSO INDUTTIVO e P_m è l'IPOTESI INDUTTIVA (Hp).

COME SI USA:

Supponiamo di avere una proprietà P_nk da dover dimostrare ∀n ∈ ℕ e più in generale ∀M ≥ K con K ∈ ℕ

1. Baso di induzione - si sostituisce k nella proprietà e si verifica che l’espressione ottenuta sia vera
2. Passo induttivo:
   1. a) si suppone P_m vero
   2. b) si sostituisce m+1 ad m in P_m ottenendo P_(m+1) e si dimostra che anche P_(m+1) è vera.

2) SUCCESSIONI NUMERICHE :

m successione numerica a: ℕ → ℝ

è una legge che associa ad ogni numero naturale n un numero reale indicato con a_n. Per indicarlo vengono usate le notazioni:

{a_n}_n∈N or (a_n)_n∈N

È una “lista” ORDINATA e INFINITA di numeri reali.

Data una successione a: ℕ → ℝ, si definisce SOSTEGNO DELLA SUCCESSIONE e l’insieme dei valori soli che esso assume.

Un numero α ∈ ℝ appartiene o sostegno di a se e solo se ∃_n ∈ ℕ/

a_n = α.

ANALISI MATEMATICA I

1) PRINCIPIO DI INDUZIONE

Nel contesto delle dimostrazioni matematiche è uno dei principi metodi utilizzati.

Si utilizza quando è richiesta la dimostrazione di una proprietà, di una tesi, di una proposizione CHE VALE PER I NUMERI NATURALI dire:

"Dimostrare che ∀

ℕ vale _n."

Il p. di induzione afferma che:

1. Se è vera per =0, cioè ₀ è vero;
2. Se è vera per allora è vera per +1 cioè _m vera ⇒ _m+1 vero.

Allora è vera per tutti ∈ℕ.

Il punto (1) è la BASE DI INDUZIONE

Il punto (2) si dice PASSO INDUTTIVO e _m è l'IPOTESI INDUTTIVA (Ip.).

COME SI USA:

Supponiamo di avere una proprietà _n da dover dimostrare ∀

ℕ

1. Base di induzione: si sostituisce nella proprietà e si verifica che l'espressione ottenuta sia vera
2. Passo induttivo:
   1. Si suppone _m vero
   2. Si deve sostituire +1 ad in (
      _m

      ) ottenendo _m+1 e si dimostra che anche _m+1 è vero.

2) SUCCESSIONI NUMERICHE

Una successione numerica :ℕ→ℝ è una legge che associa ad ogni numero naturale un numero reale indicato con _n.

• Per indicarla vengono usate le notazioni:
  1. {_n} _{n ∈}

     ℕ oppure {_n}

     _{n ∈}

     ℕ

È una "lista ORDINATA e INFINITA di numeri reali.

Data una successione ℎ:

ℝ, si definisce SOSTEGNO DELLA SUCCESSIONE l'insieme dei valori reali che essa assume.

Un numero

appartiene al sostegno di se e solo se ∃

ℕ | _n =

.

Successioni monotone crescenti (strettamente e non)

Una successione (a_n)_{n ∈ N} è monotona strettamente crescente se ∀n si ha che:

a_n < a_n+1

È monotona crescente (non strettamente) se risulta:

a_n ≤ a_n+1

Esempi:

1. {a_n} = n

Dunque, verifichiamo a_n < a_n+1

a_n = n < n + 1 = a_n+1 ∀n ∈ N

2. {a_n} = n!

Dimostriamo che a_n < a_n+1 ⇒ 1 < a_n+1 / a_n

a_n+1 / a_n = (n+1)! / n! = (n+1)⋅n! / n! = (n+1) ≥ 1 ∀n ∈ N

Successioni monotone decrescenti (strettamente e non)

La successione (a_n)_{n ∈ N} è monotona strettamente decrescente quando:

a_n > a_n+1 ∀n ∈ N

È monotona decrescente (o non crescente) quando:

a_n ≥ a_n+1 ∀n ∈ N

Esempi:

1. {a_n} = -n²

a_n > a_n+1 ⇒ a_n+1 - a_n < 0

a_n+1 - a_n = -(n+1)² - (-n)² = -((n+1)² + n²) = -(n+1)(n+1)(n+n+1) = -(2n+1) < 0, verif.

2. a_n = { 1 se 1 ≤ n ≤ 4 1 / n se n ≥ 5

1 / n < 1 ∀n ≥ 5

1 < n ⇒ sommo (N) ai due membri0 < 1 ⇒ n < n+1 ⇒ 1 / n+1 < 1 / n ∀n > 5~ Do cui a_n+1

COME STUDIARE LA MONOTONIA DI UNA SUCCESSIONE:

METODO 1: Dalla disuguaglianza An < An+1 segue che An+1 - An > 0

METODO 2: se (An) è una successione positiva allora:

• An < An+1 <=> 1 < An+1 / An
• An > An+1 <=> 1 > An+1 / An

METODO 3: TEOREMA SULLA MONOTONIA DI UNA SUCCESSIONE:

Se {On} e {bn} sono due successioni crescenti, allora la successione somma {an+bn} è una successione monotona crescente.

SEGNO DI UNA SUCCESSIONE

Una successione An: N → R si dice:

• Non Negativa se An ≥ 0 ∀n ∈ N
• Positiva se An > 0 ∀n ∈ N
• Non Positiva se An ≤ 0 ∀n ∈ N
• Negativa se An < 0 ∀n ∈ N

Esistono, oltre a queste, successioni a SEGNO VARIABILE tra le quali hanno particolare importanza le successioni a SEGNI ALTERNI.

Una successione {An} è a segni alterni se An * An+1 < 0, cioè ogni suo termine è "miscoato" con il successivo.

STUDIO DEL SEGNO DI UNA SUCCESSIONE

1. Tramite DISEQUAZIONI

   Consiste nella risoluzione di An > 0 e si hanno tre possibilità così:

   • a) Soddisfotta ∀n ∈ N, allora la successione è POSITIVA
   • b) Mai e non soddisfotta, allora {An} è NON POSITIVA (negativa o nulla)
   • c) Soddisfotta per alcuni valori, allora {An} è a segno variabile(verifica se si tratt di una succ. a segni alterni)
2. Tramite PRINCIPIO DI INDUZIONE

   Vogliamo dimostrare An > 0 ∀n ∈ N, per farlo:

   • (1) verifica per passo baseA₀ > 0

(2) Hp induttiva _{ak > 0}

(3) dimostro _{ak+1 > 0} (posso concludere)

SUCCESSIONE LIMITATA SUPERIORMENTE

Una successione reale {a_n}_{n ∈ N} è limitata superiormente se e solo seesiste un numero reale M che sovrasta tutti i termini. Formalmente:

a_n ≤ M ∀n ∈ N

ESEMPI:

• Ogni successione costante è lim. sup.
• La succ. in cui termine n-esimo è a_n = sen(n) è lim. sup. da M = 1
• La succ. {a_n}_n∈N = {factor(m)}_n∈N è lim. sup.

SUCCESSIONE LIMITATA INFERIORMENTE

m ≤ a_n ∀n ∈ N

• Ogni succ. costante è inf. lim.
• La succ. ∀n sen(n) è lim. inf. da m = -1
• a_n = m₂+1 è lim. inf. da m = 1

Una successione si dice LIMITATA quando ∃m, M | m ≤ a_n ≤ M ∀n ∈ N

o equivalentemente se esiste N ∈ R | |a_n| ≤ N ∀n ∈ N.

DIMOSTRARE LA LIMITATEZZA

Data la successione reale {a_n}_n∈N se lim a_n = l ∈ R allora lasuccessione è limitata (No esistono anche successioni limitate chenon ammettono limite).

LIMITI DI SUCCESSIONI FINITI (SUCCESSIONI CONVERGENTI)

Una successione (a_n)_n converge ad un numero reale a ∈ ℝ se e solo se per definizione:

Comunque si fissi ε > 0, con ε ∈ ℝ, riusciamo a determinare un indice n₀ ∈ ℕ t.c. tutti i termini della successione con indice maggiore di n₀ (∀n > n₀) hanno "distanza" da a minore di ε.

Ovvero: ∀ε > 0 ∃n₀ ∈ ℕ con n₀ > 0 / ∀n > n₀ ⇒ |a_n - a| < ε

Se volevo defininare a e il limite della successione.

lim_n→∞ a_n = a

ESEMPIO:

lim_n→∞ ^{n - 1}/_n = 1

|a_n - a| < ε ⇒ |^{n - 1}/_n - 1| < ε

|^{n - 1 - n}/_n| < ε

|^-1/_n| < ε

¹/_n < ε

n > ¹/_ε dunque dovremo scegliere un n₀ > ¹/_ε

LIMITI DI SUCCESSIONI INFINITI (SUCCESSIONI DIVERGENTI)

Una succ. diverge positivamente se, comunque si fissi un numero reale positivo M (basta che gli piaccia), ∃n₀ ∈ ℕ / ∀n > n₀ a_n > M

lim_n→∞ a_n = +∞

∀n > n₀ a_n > M / ∀n > n₀

Esempio

lim_n→∞ n² + 2n = +∞

n² + 2n > M

____________

n² + 2n - M > 0

dobbiamo dimostrare l'esistenza di un indice n₀ dopo il quale i valori della successione soddisfano la disequazione.

n_1,2 = -2 ± √4 + 4M = -2 ± 2√1 + M

(2)→ n > 1 + √1 + M

(1)→ -1 - √1 + 4

____________

_________________

n < -1 -√1+M V n > 1 + √1 + M

n₀ = [1+√1 + M] +1

< > Marco

Ricapitolando:

• lim_n→∞ a_n = { e∈ℝ → a_n CONVERGENTE
• → { +∞ → a_n DIVERGENTE
• → { _n