Riassunto "Scienza delle costruzioni"

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Lin: insieme di tutte le trasformazioni lineari

Simmetrico (Sym): S=S^t    Sym: ½ (S+S^t)

Antisimmetrico (Skw): S=-S^t    Skw: ½ (S-S^t)

Deviazione (Devi): trD=0    Devi: T - ⅓ tr(T) I

Sferico (Sph): P = α I    Sph: ⅓ tr(T)I

{ Lin = Sym ⊕ Skw }

Matrice invertibile (A) se esiste A^t tale che AA^t = I

Matrice ortogonale (Q) se QQ^t = I   oppure se Q^t = Q^-1

PROPRIETÀ

• Q mantiene inalterate le lunghezze (norma) dei propri vettori
• detQ = ±1 (det -1 = insieme delle rotazioni ⇒ orth^*)
• teorema della decomposizione polare
• F elim , det F≠0    F = RU = VR

Equazioni differenziali a derivata parziale (PDE)

Stabiliscono una relazione tra una funzione a più variabili e le sue derivate parziali.

Data u = u(X,Y) ⇒ F : F(X,Y,u,u_x, u_xy, u_xx, u_xy)

• Per ottenere un'unica soluzione si devono imporre le condizioni al bordo e le condizioni iniziali:
• Condizioni al bordo: * condizione di Dirichlet: u(x) = g
•          * condizione di Newman : u_x(x) = h { g, h : funzioni sulla frontiera del corpo}
• Condizioni iniziali: devono essere tali da soddisfare le equazioni che descrivono il processo fisico.
• Un problema è "Ben posto" se soddisfa le condizioni di Hadamard :

• (1: la soluzione esiste
• 2: la soluzione è unica
• 3: la s.d. dipende con continuità dai dati)

Avendo un'equazione del tipo Au_xx + Bu_xy + Cu_yy ... = 0

Δ² > 0  → P.D.E. ellittica

Δ² = 0  → P.D.E. parabolica

Δ² < 0  → P.D.E. iperbolica

Scienza delle Costruzioni

lin: insieme di tutte le trasformazioni lineari

Simmetrico (Sym): S= S^T

Emisimmetrico (SKw): S≠ S^T

Deviazione (Deve): trD=0

Sferico (Sph): P= αI

Matrice invertibile (A) se esiste A^-1 tale che AA^-1 = I

Matrice ortogonale (Q) se QQ^T = I oppure se Q^T = Q^-1

Proprietà

• Q mantiene inalterate le lunghezze (norme) dei propri vettori
• detQ=±1 (det -1 = insieme delle rotazioni - ort_h)
• teorema della decomposizione polare

Equazioni differenziali a derivata parziale (PDE)

Stabilire una relazione tra una funzione a più variabili e le sue derivate parziali.

Data u=u(x,y,t) = F(x, y, u, u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy)

Per ottenere un'unica soluzione si devono imporre le condizioni al bordo e le condizioni iniziali:

Condizioni al bordo:

• condizione di Dirichlet: u(x_Γ) = g
• condizione di Neumann: u_n(x_Γ) = h

Avendo un'equazione del tipo A∆uxx + Buxy + Cuyy... =0

• ∆²<0 → P.D.E. ellittica
• ∆²=0 → P.D.E. parabolica
• ∆²>0 → P.D.E. iperbolica

Deformazione

Dato un corpo B continuo, elastico e considerata Ω⁰(B) la configurazione iniziale con ϕ punto di B alla configurazione X⁰, ed Ω(B), la configurazione finale con χ punto di B alla configurazione X ⇒ una deformazione del corpo B è una legge che associa ∀p∈Ω⁰(B) il vettore χ∈Ω(B).

È importante che tale funzione deformazione sia:

• biunivoca (per preservare l'impenetrabilità della materia)
• continua (per evitare salti e rotture)

Se la deformazione si considera tramite vettori invece di punti materiali la deformazione è data da x_i=β(X_i):

• p⁰(X_i, i=1,2,3)
• p(X_i, i=1,2,3)

Il gradiente della deformazione è dato da: ∇βⁱ=F^i_j=∂f_i/∂x_i

Affinché sia mantenuto il principio di permanenza della materia bisogna avere det F≠0

Spostamenti associati alla deformazione: u=β-i E=l'identità dello spazio.

Avendo H=∇gradiente degli spostamenti:

∇f=Vi tensione identità.

∇g=gradiente della deformazione:

H=F-I

Se F≠I la deformazione è omogenea

Se F=I ha la deformazione identica corrispondente ad una traslazione (X_i^e=X_i)

⇒ F=

• 1 0 0
• 0 1 0
• 0 0 1

• x_1F=x_1⁰