Riassunto "Scienza delle costruzioni"

Scienza delle Costruzioni

L_in: insieme di tutte le trasformazioni lineari

Simmetrico (Sym): S = S^t Sym: 1/2 (S + S^t)

Antisimmetrico (Skw): S = -S^t Skw: 1/2 (S - S^t)

Deviatore (Dev): tr D = 0 Dev: T - 1/3 tr(T) I

Sferico (Sph): P = aI Sph: 1/3 tr(T) I

Matrice iniettibile (A) se esiste A⁻¹ tale che AA⁻¹ = I

Matrice ortogonale (Q) se QQ^t = I oppure se Q^t = Q⁻¹

Proprietà

• Q mantiene inalterate le lunghezze (norma) dei propri vettori
• det Q = ±1 (det = + insieme delle rotazioni => ortho⁺)
• Teorema della decomposizione polare

F ∈ lin₋, det F != 0

J U V ∈ sym I R ∈ Orth => F = R U = V R

Equazioni differenziali a derivata parziale (PDE)

Stabilire una relazione tra una funzione a più variabili e le sue derivate parziali.

Data u = u(x, y) => F F(x, y, ux, uy, uxy, uxx, uyy)

Per ottenere un'unica soluzione si devono imporre le condizioni al bordo e le condizioni iniziali.

Condizioni al Bordo: Condizione di Dirichlet: u(x) = g

Condizione di Neumann: u_n(x) = h

Condizioni iniziali: devono essere tali da soddisfare le equazioni che descrivono il processo fisico.

Un problema è 'Ben posto' se soddisfa le condizioni di Hadamard:

• La soluzione esiste
• La soluzione è unica
• La sol. dipende con continuità dai dati

Avendo un'equazione del tipo A u_xx + B u_xy + C u_yy = 0

• Δ < 0 -> P.D.E. ellittica
• Δ = 0 -> P.D.E. parabolica
• Δ > 0 -> P.D.E. iperbolica

Deformazione

Dato un corpo B continuo elastico e considerate Ω(B)₀ la configurazione iniziale con P punto di B alla configurazione Ω(B)_t ed Ω(B)_f configurazione finale con P punto di B alla configurazione Ω_f una deformazione del corpo B è una legge che associa ∀P∈Ω(B)₀ il vettore β∈Ω(B)_t.

È importante che tale funzione deformazione sia:

• biunivoca (per preservare l'integrità della materia)
• continua (per evitare salti e rotture)

Se la deformazione si considera tramite vettori invece di punti materiali la deformazione è data da X_i = β(X_i):

• X₀⁰(X_i⁰, i=1,2,3)
• X₀^t(X_i, i=1,2,3)

Il gradiente della deformazione è dato da: ∇β_i = F = ∂f/∂x_i

Affinché avvenga il principio di permanenza della materia bisogna avere det F > 0

Spostamenti associati alla deformazione: u=β-i {Ἰ = identità dello spazio}

Avendo H=∇u = gradiente dello spostamentoF=∇β

H=F-I

Se F=Ί la deformazione è omogenea.

Se F=I ha deformazione identica corrispondente ad una traslazione (X_i^t=X_i)

⇒ F =

• (1 0 0)
• (0 1 0)
• (0 0 1)

Se si ha una deformazione del tipo: X₁=X₁⁰+X₁⁰c si ha estensione ⇒ F =

• (1+c 0 0)
• (0 1 0)
• (0 0 1)

Se il vettore della trasformazione è: X₁=X₁⁰+cX₂⁰X₂=X₃⁰X₃=X₃⁰ si ha scorrimento ⇒ F =

• (1 c 0)
• (0 1 0)
• (0 0 1)

Si perde l'ortogonalità di elementi precedentemente ortogonali.

Se si ha una deformazione rigida se F=Rot (tensore rotazionale) dove Rot è un sottoinsieme di Ort₊, ovvero appartengono a Rot tutti i tensori ortogonali positivi essendo:

Ort₊ = {Q∈Lin | Q^T=Q^-1 e det Rot: {ℝ→ℝ|R^TR=R^-1R={I}}

In una deformazione rigida la distanza tra due punti viene conservata.

Teorema de deformazione rigida

Il gradiente di spostamento rigido è un tensore antisimmmetrico (H è Skw)

DIM basata dall'equazione H=F-I. I=FF^T. Essendo, la deformazione rigida si ha:

Forth I=FF^T Costituiamo H = I - I^H(I + I^H + I)^T. Essendo, con deformazione rigida è:

I+H+I^T=0 ⇒ H+H^T e H è Skw

c.v.d.

Teorema di Cauchy

Dim

Considerato un tetraedro, per l'equilibrio globale della risultante delle tensioni si ha:R_V + R + R₁ + R₂ + R₃ = 0

dove

• R_V = risultante forza di volume
• R = risultante tensioni sulla faccia di normale m
• R₁ = ... ... m₁
• R₂ = ... ... m₂
• R₃ = ... ... m₃

Facendo tendere il tetraedro ad un punto si ha:

• lim_Δ→0 R/A = 0
• lim_Δ→0 R/A = t(m)

Richiamando la relazione A_i = Δni :

• lim_Δ→0 R₁/A = t₁(m₁)
• lim_Δ→0 R₂/A = t₂(m₂)
• lim_Δ→0 R₃/A = t₃(m₃)

Sostituendo nell'equilibrio globale:t(m) + t₁(m₁) + t₂(m₂) + t₃(m₃) = 0

t(m) = -t₁(m₁) - t₂(m₂) - t₃(m₃)

Inversendo il verso ad ogni componente : (m_i = -e_i) e per il principio di mutua reazione si ha:t(m) = t₁e₁(m₁) + t₂e₂(m₂) + t₃e₃(m₃)

Scriviamo t(m) per componenti:

• t₁(m) = t₁e₁(m₁) + t₁e₂(m₂) + t₁e₃(m₃)
• t₂(m) = t₂e₁(m₁) + t₂e₂(m₂) + t₂e₃(m₃)
• t₃(m) = t₃e₁(m₁) + t₃e₂(m₂) + t₃e₃(m₃)

⇒ che si può scrivere come: t_i = ∑t_i e_j ; n_j ed in forma matriciale:

[t₁e₁   t₂e₁   t₃e₁][t₁e₂   t₂e₂   t₃e₂][t₁e₃   t₂e₃   t₃e₃]

⇒ quindi sostituendo: [ t = Tn ] c.v.d.

dove T è definito tensore degli sforzi di Cauchy.

Se t agisce su un faccia di normale m può essere decomposto in una componente normale e ed in una tangenziale τ.

t = σn + τTn = σn + τt = Tnσnm + ττ = t - σ = Tn - σ = T_ij

T = [T_ij

• σ ...........
• ..... ...........

]

L'integrando e':

d/dt ( C E : E ) = d/dt C E : E + C E : dE/dt essendo C simmetrico per la sim. maggica -> 2 C E : dE/dt

quindi l'integrale diventa:

W(E) = ∫t0^t 2 ( C E(t) : E(t) ) = 1/2 ( C E(t) : E(t) ) -> posto E(t0) : 0 -> W(E) <= C E : E

W(E) : densità di energia potenziale elastica

W(E) e' un funzionale ovvero da una applicazione vettoriale associa un num. reale W : Sym -> R

Se e' possibile definire un funzionale di energia-deformazione (quindi se ∃) W = W(E) il materiale e' di Green, altrimenti e' di Cauchy.

Simmetria elastica

Applichiamo ad un corpo elastico due deformazioni successive che abbiano, come unica componente

non nulla, la prima E₁ = 1 e la seconda E₂ = 1

Se si verifica che C_ij¹ = C_ij² allora il materiale possiede la simmetria elastica.

Isotropi monoclinici : 1 piano di simmetria elastica Hat. ortotropi : 3 piani di simmetria elastica.

Teorema

E ∈ Sym -> E^* ∈ Sym

Q ∈ Orth -> E, E^* hanno le stesse componenti principali.

E^* = QEQ^T resp. n* e' direzione principale di E; E = Q^T n* e' dir. principale di E^*

DIM

( E^T (QEQ^T) ^T = QTE(Q) I E ∈ Sym -> E-E^T > QTEQ = E^* ⇒ E^* = (E^*)^T ⇒ E^* ∈ Sym c.v.d

Per la seconda ipotesi bisogna avere: E^* n* = λ* m*

Sostituendo l'espressione di E^* e moltiplicando a sinistra per Q^T si ha:

QEQQ^T λQT m^*

Essendo Q ∈ Orth -> QR = I -> EQ^T m^* = λQT m^*

Quindi Q^T n* e' una direzione principale per E e n* ne e' una componente principale.

E^*, possono essere intepretate come la stessa deformazione rispetto di quantità diverse.

Ne consequono due stati di tensione T e T^*

Se e' verificata la relazione T^* = QTQ^T il materiale e' isotropo (ovvero ad ogni rotazione

della deformazione E la tensione resta della stessa quantità)

Gruppo di isotropi : insieme di tensori che verificano la proprieta T^* = QTQ^T

CE = QCEQ^T

QEQ^T = QCEQ^T