Riassunto dettagliato di scienza delle costruzioni

Indice

• CAP I
• CAP II
  • Corpo Rigido - Cinematica
  • Analisi Geometrica (I.P. piccoli spostamenti)
  • Problema cinematico
• CAP III
  • Reazioni Vincolari
  • Postulati Fondamentali della Statica
  • Analisi Statica
  • Problema Statio
  • Equilibrio
  • Principio di Azione e Reazione
• Travi Rigide
• Trave
• Equazioni (differenziali) di equilibrio della trave
• CAP IV - Principio dei Lavori Virtuali
• Lavoro
  • Lavoro Virtuale
  • T.L.V.
  • Forze Virtuali
  • Spostamenti Virtuali
• CAP V - Geometria delle Masse
• Sistemi
  • Discreto
  • Continuo
• Massa Totale (d)
• Momenti Statici (d)
  • Traslazione retta
  • Rotazione della retta
• Baricentro
• Momenti Dinamici (2)
  • Assiale
  • Centrifugo
  • Polare
• Teorema del trasporto Parallelo (Huygens)
  • Traslazione Assi
  • Rotazione Assi
• Tensore d'Inerzia I
• Direzioni Principali d₁, d₂

CAP VIII

• CINEMATICA DEI CORPI DEFORMABILI (7)

• Spostamenti congruenti
• Analisi locale della deformazione
• Deformazioni elementari
  • Coeff. di dilatazione lineare
  • Coeff. di dilatazione angolare
  • Coeff. di dilatazione di area
  • Coeff. di dilatazione di volume
• Relazioni geometriche di congruenza
  • Componenti principali di deformazione (21)
• Invarianti - vettori di Lagrange (problema del minimo quadrato)
  • I1 = L1 + L2 + L3 = e1 = e2
  • I2 = L1L2 + L2L3 + L3L1 = g1^2 + g2^2 + g3^2 - (I1 + e)^2
  • I3 = L1L2L3

CAP VIIII

• STATICA DEI CORPI DEFORMABILI (13)

• Teoria di Cauchy
• Tensione
• Teorema del tetraedro di Cauchy
• Equazioni indefinite di equilibrio
  • Traslazione
  • Rotazione
• Deformazioni principali di tensione
• Cerchio di Mohr
• Albero di Mohr
  • Diagrammi complessi di stati tutt’intorno
  • Calcolo e rappresentazione del risio
  • coeff. g sin a + coeff. d sin (2a + 6)

CAP IX

• LEGAME COSTITUTIVO (19)

• Legge di Hooke
• Famiglie di materiali
  • Conservativi (12)
  • Ortrotropi (12)
  • Isotropi (21)
  • Omogeneità
• Lavoro
  • Caso monodimensionale
  • Teorema di Clapeyron
  • Caso tridimensionale
  • Energia di deformazione
  • Dimostrazione q

CAP X

• PROBLEMA ELASTICO (22)

CAP III

• ANALISI STATICA

• REAZIONI VINCOLARI: forze esercitate dai vincoli sul corpo per bloccarne lo spostamento; dipendono dai carichi. Hanno la direzione del moto impedito

• POSTULATI FONDAMENTALI DELLA STATICA
  1. Una struttura sta in EQUILIBRIO se la somma di tutte le Forze e di tutti i Momenti di qualsiasi natura (simili a reaz. vincolari) che agiscono su ciascuna parte della struttura è nulla.

     ∑F = 0; ∑M = 0

  2. Principio di azione e reazione

• PROBLEMA STATICO - tagliamo vincoli e mettiamo reaz. A x + f = 0 AT = B
  • MATRICE STATICA
  • MATRICE CINEMATICA

• sistema (staticamente)
  • Impossibile
  • Isodeterminata
  • Indeterminata

• TRUCCHETTI
  • Principio di sovrapposizione degli effetti (vale prop. distributiva perché il problema è lineare)
  • Scelta opportuna del polo
  • Carichi distribuiti
  • Forza su un vincolo

CAP VI - GEOMETRIA DELLE MASSE

• SISTEMI
  • DISCRETO (di masse) = insieme di punti nello spazio a ciascuno dei quali si associa un numero positivo m_i detto massa concentrata.
  • CONTINUO (di masse) = regione dello spazio V sulla quale è definito una funzione scalare μ=μ(x,y,z) positiva detta densità di massa. dm=μdV massa di un elemento infinitesimo di volume dV.
  • MISTO = (f₀ ≠ 0) Discreti + (f₀ + 1) Continui

• MASSA TOTALE (o momento di ordine 0)
  • area della figura piana Ω
  • M = ∫_Ω dΩ (1)
• MOMENTI STATICI (o momento di ordine 1)
  • Dato una Ω e una retta r, il momento statico di Ω rispetto ad r = la somma delle aree per le distanze da r.
  • S_x = ∫_Ω y dΩ (2)
  • In un sistema ortogonale (x,y)
    • S_x = ∫_Ω y dΩ (3)
    • S_y = ∫_Ω x dΩ (4)

• TRASLAZIONE DELLA RETTA
  • S_x' = ∫_Ω (y + d)dΩ = (∫_Ω dΩ)d = ∫_Ω y dΩ + d∫_Ω dΩ = S_x - Md (5)
  • => Se si conosce la Massa (M) e il momento statico (S_x) rispetto ad un asse r => si conoscono i momenti statici (S_x') rispetto a tutte le parallele a r (//r).
• ROTAZIONE DELLA RETTA
  • x'¹ = OĀ' = OA' + A'B' = OA cosα + P sinα
  • [ x'¹ = x cosα + y sinα ] (6)
  • y'¹ = PB' = PB - Bβ1 = PB - A1α = PA cosα - x sinα
  • [ y' ¹ = y cosα - x sinα ] (7)
  • S_x' = ∫_Ω (y cosα - x sinα) dΩ
  • = cosα ∫_Ω y dΩ - sinα ∫_Ω x dΩ
  • = S_x cosα - S_y sinα (8)
  • S_y' = S_y cosα + S_x sinα (9)

I_xy' = ∫y'¹dA = ∫[xcosα + ysenα][y(cosα x - senα)]dA

= ∫[x²cosα + xysenα - ysenαcosα(x²dA - sen²)dA - sen²/x y dA

= (cos²α I_x - I_xys + senαcosα(I_x - I_y)

NB: Not I_xy, I_x e I_xy' sono not anche I_xy, I_y e I_xy'.

- TENSORE D'INERZIA

Dati i versori: n (cosα sinα), t (-senα cosα) delle rette x' y' (vedi fig. precedente)

Il TENSORE D'INERZIA è:

J = [ I_x -I_x'y' ]

[-I_x'y' I_y]

Questo equivale a:

Forma { I_x'y' = n x J n

Compatta I_x'y' = -t x J n = - n x J t

- DIREZIONI PRINCIPALI

Si cerca l'asse x' rotato di α dove il momento, ossia I_x'y', è max o min.

dI_x'(α) = -2I_xcosαsenα -2I_x'y' (cos²α - sen²α) + 2I_ysenαcosα

dA = -2[I_xy((cos²) = senα) + (I_x - I_y)senαcosα]) = 0

1 + cos2α

--------- →

2

1 - cos2α

--- → sen2α

2

cos2α

da cui si ricava: tg(2α) =

_2Ix'y' → le due soluzioni

I_y - I_x differenti che differiscono

per una sarà il

max della funzione, l'altra

il minimo.

α₁ = L/2 artg

(

_2Ix'y' -)

I_y - I_x

α₂ = α₁ + π/2

α₁ e α₂ sono direzioni ortogonali e si chiamano DIREZIONI PRINCIPALI D'INERZIA