Riassunto esame Algebra lineare, Prof. Franciosi Marco, libro consigliato Esercizi di algebra lineare, Marco Franciosi

NUMERI COMPLESSI

UNITÀ IMMAGINARIA

• i = √(-1) = 1

POTENZE DI i

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• i⁵ = i
• i⁶ = -1

...

FORMA ALGEBRICA DI UN NUMERO COMPLESSO

z = x + iy con x ∈ R, y ∈ R

• Re(z) = x : PARTE REALE
• Im(z) = y : PARTE IMMAGINARIA

...

OPERAZIONI DEI NUMERI COMPLESSI

• z₁ = x₁ + i y₁
• z₂ = x₂ + i y₂
• ...

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI COMPLESSI E PIANO DI GAUSS

• R² → z : piano con coordinate x
• z : (x, y) → piano con coordinate (x, y) : (Re(z), Im(z))

...

Opposto: z = x + iy -> -z = -x + i(-y) (z = x - iy)

Congiugato: x + iy̅ = x-i(-y) z = x + iy z̅ x - iy

Modulo: x + iy |z| = √x² + y² z·z̅ = x² + y² Immagine 3a del Libretto Cockválkóclorita

Proprietà fondamentale: z·z̅ = |z|²

dim. 3d x + iy allora z = x + iy z·z̅ = (x + iy)(x - iy) = x² - (iy)² = x² + iy² = (i²x² + i²y²) = |z|²

Reciproco Posso scrivere il reciproco di z: z·z̅ = 1 nella seguente forma:

z̅ = z / |z|²

1 / z = 1 / z̅ = x ∙1 / 2 riposo \(\frac{√3}{2}\)

Forma trigonometrica o polare dei numeri complessi

Numero complesso come coppia ordinata di numeri reali, se z ∈ C∈ UN numero complesso allora e della forma:

z = (x + iy) con x, y ∈ R

Detto un punto P(x;y), considero il vettore OP Quindi posso individuarlo tramite: - l'ipotenusa del rifco - l'angolo che il vettore forma con il semiasse di - asse postribut. (se y = 0; x = 0);

Formula h:i ipotenusa soddisfatta coltrieth aiura

x² + y² = OP

2 cosθ e R

Definizione:

r·1 = cos(t) + isen(t)

Sia z = x + iy ∈ C

Allora z può essere scritto nella forma z ρ·p|θ

∴ x + iy = r·(x + i(y)) = r·(\(cosθ\) +i sinθ) = r· eiθr·eiθ

|z| = √x² + y²

ρ – anglo derivato corrispondente a z (misurato in radianti)

∠ angolo di OP con resume\(y\)=\(y_f − y_0\)

ρ

θ ircos

senθ y cosθ x

sinθ

∴ angolo tale che: cosθ = x/p, senθ = y/p, θ = arctan(y/x) e y₀,x₀

Algebra Lineare

• Dipendenza/Indipendenza Lineare

Sia V uno spazio vettoriale su K. I vettori v₁...v_ksono definiti dipendenti se v₁ != 0 e n scalari λ₁...λ_n.

Def: La combinazione lineare dei vettori v_i tramite gli scalariλ₁, λ₂...λ_n è:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n

Dipendenza Linearev₁, v_k ∈ V sono linearmente dipendenti se ∃ λ_i, i scalari non tuttinulli t.c.

λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ_kv_k = 0

Indipendenza Linearev₁, v_k ∈ V sono linearmente indipendenti se:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_kv_k = 0

Allora λ₁ = 0; λ₂ = 0; λ_k = 0

Esempio:v₁=(¹/₂) v₂=(¹/₃) t ∈ R²

λ₁v₁ + λ₂v₂ = 0λ(¹/₂)(1, 2) + λ(¹/₃)(3, 1)

=> λ₁ + λ₂ = 0⇒¹/₂ + 3λ₂ = 0λ₁ = 0v₁, v₂ sono linearmente indipendenti

• Generatori

v₁, v_p ∈ E sono generatori di V se ∀ v∈V ∃ λ_i scalari t.c.

V = λ₁v₁ + ... + λ_pup

Ovver posso esprimere ogni vettore di V tramite v₁...v_p

• Base di uno spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale su KUn insieme di vettori v₁...v_n ci è un base di V se

1. v₁, v_n sono linearmente indipendenti
2. v₁, v_n sono generatori

• Proprietà:

1. Ogni spazio vettoriale ci ha una base
2. Due basi dello stesso V hanno la stessa cardinalità
3. Detto B⊆V...l'insieme di generatori allora B è una base di V

dim

ker f per induzione: vale

allora f iniettivo se e solo se ker f=(0)

Proposizione

• ker (psici) non sottospazio vettoriale

• f iniettivo -> ker (f)={0n} vedere qui comunque

In (F)= dim (Im (F))

Dimostrazione: rg (R) = rg (F)

Discussione

p sottospazio -> rg (P) = dim (W) [Im (R)=Rm rg (P)=k]

P lineare -> ker (f)=[0n] -> dim (ker (F)) = 0

Teorema della dimensione

f: V -> W lineare V=Kⁿ W=K^m

allora

dim (V) = dim (Im (f)) + dim (ker (f))

in particolare: f: Kⁿ-> K^m lineare

allora

n = rg (f) + dim (ker (f))

dim Kⁿ = dim (Im (f))

Corollario

• rg (f) ≤ min{n, k}, in effetti rg (F) = dim (Im (f))

• Im (f) = R^m -> rg (f) = k

• Teo della dimensione -> rg (P) = n dim (ker (f)) -> rg (f) ≤ n

Conseguenze del teorema

• dim (Im (p)) = dim (ker (f)) + n

• Im (f) = R^m -> dim ≤ k

• dim (ker (f)) = n dim (ker (f)) ≡ n - k

Proposizione

Sia f: Rⁿ K lineare

f suriettiva -> n ≥ k

f iniettiva -> n ≤ k

f biiettiva -> n = k

Proposizione

f: Rⁿ-> K lineare

n < k -> f non può essere suriettiva

n > k -> f non può essere iniettiva

Im (f: Kⁿ→ Kⁿ rg (f)=ⁿ -> pil di vettori compendido della base:3 pil che però i sottos in R^k) sono fin ind -> 3 dim lker (f) ilto4 -> f iniettività

Diagonalizzabilità e triangolarizzabilità

Detta A matrice n×n, E algebrica applicata p.f. di R^n → R^n

X = A ⋅ X ampandendo rianire diagonalizz.

• Vogliamo calcolare una nuova b.b. t.c. e Λ d.a rispetto a B sia rappresentata da una matrice diagonale D, altrimenti triang.

1. Una matrice n×n si dice diagonalizzabile se ∃ M matrice n×n t.c.

M^-1 ⋅ A ⋅ M = I_(λ