Riassunto Misure elettriche: Teoria ed esercizi

Riassunto teoria misure elettriche

Misure elettriche

1) Schema a blocchi di un processo di misurazione indicando le grandezze coinvolte.

2) Propagazione delle incertezze nella valutazione delle misure indirette secondo il metodo probabilistico.

3) Propagazione delle incertezze nella valutazione delle misure indirette secondo il metodo del caso peggiore.

4) Amperometri e voltmetri in CC (analogici).

5) Amperometri e voltmetri in CC (digitali).

Da cosa è costituito un voltmetro analogico e da cosa è costituito un voltmetro numerico (RISOLTA IN 4 E 5)

6) Descrivere le tecniche di misura voltamperometriche in continua. Descrivere la misura di piccola o grande resistenza, i circuiti da fare, le incertezze, ecc… (RISOLTA IN 6).

7) Amperometri e voltmetri in AC. Accorgimenti e schemi per ottimizzare la misurazione di una tensione alla quale è sovrapposta una tensione di modo comune (componente continua) (RISOLTA IN 7).

8) Multimetri.

9) Convertitori D/A.

10) Convertitori A/D di tipo parallelo, schema di principio.

11) Convertitori A/D ad approssimazioni successive, schema di principio.

12) Convertitori A/D tensione tempo a doppia rampa.

13) Funzionalità principali di un oscilloscopio usando anche uno schema a blocchi.

14) Comando di sincronismo (schema a blocchi e spiegazione).

15) Canale di ingresso di un oscilloscopio.

16) Banda passante e risposta al gradino di un oscilloscopio.

17) Accuratezza di un oscilloscopio.

18) Rappresentazione di un sistema di misurazione e degli elementi che lo costituiscono.

19) Metodi di confronto per una misurazione. Ponti in alternata per la misura di ammettenze o impedenze, condizioni di equilibrio (RISOLTA IN 19).

20) Errori di fase e guadagno di un wattmetro.

21) Misure di grandezze non sinusoidali.

22) Effetto della tensione di modo comune.

23) Funzionamento di un wattmetro numerico a campionamento.

24) Misure su circuiti trifasi (misura della potenza attiva e reattiva in un sistema a più fili).

25) Sonde di corrente e di tensione.

26) Schema di principio delle sonde di corrente passive per oscilloscopio, problemi per la loro realizzazione.

27) Procedura sulla quale si basa la misurazione di un’impedenza o di un’ammettenza da parte di un misuratore di impedenze numerico.

28) Misuratori digitali di impedenza.

29) Descrivere il concetto di acquisizione in tempo equivalente (/tempo reale) di un oscilloscopio numerico (ed il concetto di decimazione).

30) Oscilloscopio numerico.

31) TA e TV.

32) Campionamento.

33) Misure sistemi trifase.

34) Metodo di confronto per una misurazione.

35) Aliasing.

36) Processo di misurazione, citando le grandezze coinvolte SLIDE 1 O LA SLIDE 9???

37) Si descriva lo schema per la misurazione di un oggetto posto in un circuito in corrente AC monofase e le problematiche connesse EFFETTO DI CARICO???

38) Descrivere da che parti interne sono composti amperometri e voltmetri in dc.

Misurazione e misura

In generale con il termine “sistema” si può identificare un generico oggetto o fenomeno descritto da alcune grandezze, esse sono dette “parametri”. L’insieme dei valori assunti dai parametri costituisce lo “stato” di un sistema. Normalmente un sistema è molto complesso e una sua descrizione esatta non è realizzabile o non è pratica da utilizzare. Quanto è invece sempre possibile fare è costruire un “modello” del sistema, costituito dalle relazioni che descrivono l’evoluzione dello stato.

Le principali entità coinvolte in un processo di misurazione sono:

• Il sistema misurato: sistema sottoposto a misurazione allo scopo di determinare il valore di un suo parametro, il misurando;
• Il sistema di misurazione, cioè lo strumento di misurazione: dispositivo o insieme di dispositivi che consento di eseguire la misurazione;
• All’interno del sistema di misurazione è presente il campione che viene confrontato con il misurando;
• Il metodo utilizzato per ottenere le informazioni sul misurando;
• L’operatore che realizza il sistema di prova, definisce ed esegue le procedure necessarie per la misurazione e interpreta i risultati;
• Il sistema ambiente: insieme di tutti i sistemi con i quali il sistema misurato interagisce, descritto dalle grandezze d’influenza;
• La misura: risultato della misurazione.

In una attività di misurazione, la grandezza di maggiore interesse è senz’altro il misurando ma il suo “valore” varia al variare dello stato del sistema misurato, del sistema di misura e del sistema ambiente, ovvero è influenzato, con diverse sensibilità, da variazioni di alcune grandezze che vengono quindi chiamate “grandezze di influenza” (quelle che possono influire sul risultato della misura).

Inoltre ognuno degli elementi costituenti il modello contribuisce a rendere il risultato, la misura, diverso da un unico valore, che potrebbe essere chiamato il valore “vero”. La conseguenza è che ripetendo il processo di misura, anche senza cambiare, apparentemente, le condizioni di misura, si ottengono risultati differenti, ovvero una dispersione dei risultati che può essere descritta con l’incertezza. La variabilità delle grandezze che descrivono i tre sistemi misurato, ambiente e misurazione influiscono sulla conoscenza del misurando o meglio sull’indeterminazione della sua conoscenza descritta dall’incertezza.

L’incertezza globale ottenuta va confrontata poi con l’incertezza desiderata, ovvero l’indeterminazione sul misurando accettabile.

Il risultato finale di un processo di misurazione è la misura costituita da un valore numerico centrale, un’unità di misura e un’incertezza, tale espressione ha significato solamente se ad essa si associa il modello utilizzato per descrivere il sistema misurato ed il suo stato, si devono poi fornire informazioni quali i valori delle grandezze di influenza, che completano la descrizione della situazione nella quale la misura è stata ottenuta.

Rappresentazione di un sistema di misurazione

Ogni blocco di un sistema di misurazione può essere caratterizzato sulla base della natura dei segnali d’entrata e di uscita ed in base alla trasformazione che esso opera. È necessaria una legge univoca tra ingresso e uscita:

( )= ( )

dove è la grandezza di ingresso e quella di uscita e la relazione è intesa in senso lato (generico). La grandezza di uscita è influenzata anche da altre grandezze di influenza, interne od esterne al sistema di misurazione stesso. Questo non è stato indicato poiché il sistema di misurazione deve fornire in uscita un intervallo di valori sufficientemente piccolo per ogni valore della grandezza in ingresso, quando i valori delle grandezze di influenza appartengono ad un dominio sufficientemente grande.

Le relazioni che legano ingresso e uscita possono essere statiche (logaritmiche, quadratiche, esponenziali, combinazioni lineari,…), ad esempio:

( )= ·

oppure dinamiche (contenenti operazioni di derivazione e/o integrazione), ad esempio:

( )= ( )= ( ) · ; · .

Sistema del primo ordine

Si consideri il caso in cui l’equazione differenziale sia del primo ordine:

( ) ( )= ( ) + ·

Allora la risposta ad una variazione a gradino dell’ingresso è:

( )= · 1−

Normalizzando rispetto al valore di regime si ottiene la risposta al gradino unitario normalizzata:

) = 1 −

Si può osservare che l’uscita del sistema non segue istantaneamente l’ingresso e che il comportamento dipende dalla costante di tempo .

Si può ricavare il valore di dalla andamento temporale della risposta come:

) a) sottotangente nell’origine della curva rappresentante ); b) intervallo di tempo dopo il quale la raggiunge il valore ) 1 − =(ovvero con ); 0,632 = c) area compresa tra la curva rappresentante il segnale d’uscita e ) ) quella del segnale di ingresso (si noti che essendo e1( ) = 1() ( )/ ( ) ) ( )). si ha

) = ) =

Costante di tempo generalizzata

Se si considera un sistema che abbia una risposta normalizzata alla funzione gradino unitario che tenda a per ) 1 tendente all’infinito, si può definire la costante di tempo generalizzata come:

)= 1 −

oppure per via grafica:

La costante di tempo generalizzata ha le dimensioni di un tempo ed è dotata di segno, in particolare per un sistema del primo ordine è negativa e vale . Essa permette di approssimare un sistema più complesso con uno del = − primo ordine, quando il segnale in ingresso ha tempi di evoluzione molto maggiori di .

Il valore dell’area compresa fra una generica funzione d’ingresso che tenda al valore unitario per tendente ( ), all’infinito, e la relativa risposta normalizzata del sistema è indipendente dal modo in cui la raggiunge il suo ( ) valore limite.

Questa proprietà oltre a facilitare la determinazione della misura della costante di tempo generalizzata di un sistema, permette anche calcolarne il valore per un sistema composto da più elementi in cascata come somma algebrica delle costanti di tempo generalizzate dei blocchi componenti.

Propagazione delle incertezze nella valutazione delle misure indirette secondo il metodo probabilistico

Si consideri la generica misura di una grandezza ricavata per via indiretta, espressa come funzione di grandezze indipendenti:

( )= ,…, = 1, …, (·)

Si supponga inoltre che le derivate prime della funzione rispetto ad ognuna variabile siano tutte non nulle e che (·) la varianza di ogni variabile sia piccola. È possibile espandere la funzione in un intorno del punto ̅ = ( ) nel quale tutte le grandezze assumono il loro valore centrale:

̅ , …, ̅( ) ( ) ( )= ,…, = ̅ ,…, ̅ + − ̅ +⋯̅

e troncare lo sviluppo in serie al termine del primo ordine:

( ) ( ) ( )= + = ,…, ≈ ̅ ,…, ̅ + − ̅

L’approssimazione usata implica che il valore centrale dell’intervallo ricercato per la grandezza sia ottenuto in corrispondenza ai valori centrali delle grandezze utilizzate per ricavarla. Facendo annullare gli scostamenti delle grandezze dal punto centrale del loro intervallo, si ricava il valore centrale di pari a ( ).= ̅ , …, ̅ Quindi il generico scostamento della grandezza dal valore centrale stimato è ( ),= − = − ̅ dal quale può essere ottenuta la varianza della grandezza : (( ) ) ( ) ( ) ( )− = − ̅ = − ̅ − ̅ ̅ ̅ ( )( )= − ̅ − ̅ (·) Inoltre per la linearità dell’operazione di media (indicata con ), si può scrivere: (( ) ) ( )( )− = − ̅ − ̅ ̅ ̅

Distinguendo poi i termini di media che coinvolgono una sola variabile, da quelli che ne coinvolgono due si ha:

(( ) ) (( ) )+ ( )( )− = − ̅ − ̅ − ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

dove il primo termine al secondo membro è la somma delle varianze di ciascuna delle grandezze , pesate con le corrispondenti derivate parziali elevate al quadrato; nella sommatoria doppia al secondo membro compaiono le covarianze delle variabili e , come espresso esplicitamente di seguito:

(( ) )= − = + . ̅ ̅ ̅

Dato che si è supposto che le grandezze siano indipendenti, e quindi anche scorrelate, allora avranno covarianza nulla. Sotto questa ipotesi si ottiene:

(( ) )= − = ̅

Considerando l’incertezza sulla grandezza , la cui misura è determinata per via indiretta, essa è ottenuta dalla sua varianza moltiplicata per un fattore di copertura , e quindi dalla somma quadratica delle incertezze delle grandezze coinvolte nella sua determinazione, pesata con il quadrato delle derivate parziali rispetto alle relative grandezze:

= ̅

Qualora le grandezze fossero tra loro correlate, l’espressione dell’incertezza della grandezza misurata per via indiretta coinvolge anche la covarianza associata ad ogni coppia di grandezze e :

(( ) )= − = + . ̅ ̅ ̅

Rispetto al metodo del caso peggiore, si presenta ora una somma quadratica anziché lineare, e gli scarti massimi sono sostituiti dalle incertezze delle grandezze considerate.

Propagazione delle incertezze nella valutazione delle misure indirette secondo il metodo del caso peggiore

Per caso peggiore s'intende il caso in cui tutte le variazioni delle grandezze agiscono nella stessa direzione nel modificare il valore della grandezza misurata per via indiretta. Si consideri la generica misura di una grandezza ricavata per via indiretta, espressa come funzione di grandezze indipendenti:

( )= ,…, = 1, …, (·)

Si supponga inoltre che le derivate prime della funzione rispetto ad ognuna variabile siano tutte non nulle e che (·) le semiampiezze di ogni variabile siano piccole. È possibile espandere la funzione in un intorno del Δ, …, Δ( ) punto nel quale tutte le grandezze assumono il loro valore centrale: ̅ = ̅ , …, ̅( ) ( ) ( )= ,…, = ̅ ,…, ̅ + − ̅ +⋯̅

e troncare lo sviluppo in serie al termine del primo ordine:

( ) ( ) ( )= + = ,…, ≈ ̅ ,…, ̅ + − ̅

L’approssimazione usata implica che il valore centrale dell’intervallo ricercato per la grandezza sia ottenuto in corrispondenza ai valori centrali delle grandezze utilizzate per ricavarla. Facendo annullare gli scostamenti delle grandezze dal punto centrale del loro intervallo, si ricava il valore centrale di pari a ( ).= ̅ , …, ̅ Quindi il generico scostamento della grandezza dal valore centrale stimato è, in valore assoluto: | |=| |= ( )− − ̅

Per valutare la semiampiezza dell’intervallo all’interno del quale la grandezza y assume valori nel caso peggiore, si deve considerare il valore massimo di tale espressione: |) ( )max(| − = max − ̅

Dato che il valore assoluto di una somma non è mai maggiore della somma dei valori assoluti degli addendi:

( ) ( ) |( )|− ̅ ≤ − ̅ = − ̅

L’ampiezza dell’intervallo nel caso peggiore è quindi:

|) |( )|Δ = max(| − = − ̅ = Δ

e quindi pari alla somma delle semiampiezze degli intervalli associate a ciascuna grandezza , pesate con il valore assoluto delle derivate parziali rispetto alle stesse grandezze. Il caso peggiore permette una più semplice stima della fascia di incertezza, ma porta ad una sovrastima di questa. Rispetto al metodo probabilistico, si presenta ora una somma lineare anziché quadratica, e le incertezze sono sostituite dagli scarti massimi delle grandezze considerate.

Principi di funzionamento degli strumenti elettromeccanici

Gli strumenti analogici associano al valore della grandezza analizzata lo spostamento di un indice su una scala graduata. Il modo più semplice ed efficace per realizzare una conversione tra una grandezza elettrica e uno spostamento è quello di sfruttare il principio di un motore elettromagnetico: le grandezze corrente e tensione in ingresso sono associate ad una coppia meccanica. Per evitare una continua rotazione della parte mobile del motore, la coppia motrice è contrastata da una coppia resistente proporzionale allo spostamento angolare della parte mobile.

Se ad esempio la coppia motrice è proporzionale alla corrente entrante, lo spostamento in condizioni di equilibrio è pure proporzionale alla corrente entrante nel motore. La coppia motrice vale:

( )==

e la coppia resistente ha la seguente espressione:

( )==

L'equazione che regola il comportamento dinamico è la seguente: dove è il momento di inerzia, è il momento di attrito viscoso, è il momento resistente e rappresenta gli attriti che agiscono sempre in direzione opposta al moto. Se si ipotizza che si ottiene:

≪

La relazione tra spostamento angolare e coppia meccanica è una funzione di trasferimento del secondo ordine: L'azione motrice può essere ottenuta in diversi modi.

Motore magnetoelettrico

Nel motore elettromagnetico la coppia è ottenuta a causa di una variazione di energia magnetica ( ) giustificata dall'interazione della corrente ( ) che circola nell'avvolgimento mobile ed un campo di induzione magnetica costante ( ) prodotto da un magnete:

Motore elettrodinamico

Nel motore elettrodinamico la coppia è ottenuta dall'interazione tra i campi magnetici prodotti dalle correnti che circolano in due avvolgimenti, uno mobile e uno fisso. Detta l'energia magnetica presente nel sistema, , e rispettivamente i coefficienti di autoinduzione dell'avvolgimento fisso, percorso dalla corrente , dell'avvolgimento mobile, percorso dalla corrente , e il loro coefficiente di mutua induzione, si ha:

Il motore elettrodinamico funzione anche in regime sinusoidale producendo una coppia proporzionale al prodotto dei valori efficaci delle correnti che circolano nei due avvolgimenti:

Wattmetro elettrodinamico

È possibile utilizzare il motore elettrodinamico per misurare una potenza associata ad una corrente ed una tensione , in questo caso la corrente che circola attraverso l'equipaggio mobile è proporzionale alla tensione , attraverso una resistenza .

Strumenti elettromagnetici

La produzione della coppia motrice è ottenuta attraverso una variazione del coefficiente di autoinduzione dell'avvolgimento percorso dalla corrente da misurare. In questi strumenti del materiale ferromagnetico posto all'interno dell'avvolgimento può mutare la sua posizione se sottoposto ad un campo magnetico, ciò causa una variazione del coefficiente di auto induzione . In questo caso la coppia motrice è proporzionale al...