Riassunto Misure elettriche: Teoria ed esercizi

Teorema del campionamento

Si consideri il segnale definito nel dominio continuo del tempo ed esista la sua trasformata di Fourier:

( )

Analogamente può essere definita la trasformata inversa di Fourier secondo la seguente espressione:

che restituisce il segnale funzione del tempo dalla sua rappresentazione in frequenza.

Si considerino quindi i campioni del segnale spaziati uniformemente ad intervalli temporali pari a :

( ) ⁄

Il reciproco del periodo di campionamento è definito come frequenza di campionamento: .

= 1

Se il segnale ha una banda limitata e la massima frequenza contenuta nel suo spettro ( ) è minore di

( ) =

metà della frequenza di campionamento la trasformata di Fourier del segnale è nulla al di fuori dell’intervallo

(− cioè:

/2, /2), ( )

Si consideri la serie dei campioni prelevati nel dominio discreto del tempo ed esista la sua trasformata di

Fourier:

Analogamente può essere definita la trasformata inversa di Fourier secondo la seguente espressione:

Dalla definizione della trasformata di Fourier a tempo discreto si può notare che l’espressione al secondo membro è

( )

periodica di periodo (ovvero la trasformata di Fourier della serie dei campioni prelevati si ripete

periodicamente con frequenza ), infatti:

( ),

Perché la sequenza con intero, contenga tutta l’informazione contenuta in ovvero affinché non venga

( ),

persa informazione a causa del campionamento, il segnale deve essere a banda limitata e la massima frequenza

( )

contenuta nel suo spettro ( ) deve essere minore di metà della frequenza di campionamento.

=

In questo caso il teorema del campionamento garantisce la possibilità di

ricostruire in modo univoco il segnale dai suoi valori campionati

( )

( ) grazie ad un filtro di ricostruzione, ovvero il segnale

= ( )

ricostruito ha la seguente espressione nel dominio della frequenza:

( )= ( ) ( )∙ ( )

( ) ∙ ℎ =

e nel dominio del tempo:

dove la funzione è la risposta in frequenza del filtro di ricostruzione (cioè un filtro che elimina tutte le repliche

( )

spettrali tranne quella in banda base), mentre è la sua risposta impulsiva nel tempo, la quale ha dei passaggi

ℎ ( )

per lo zero per con intero diverso da zero, mentre per (ovvero per ha il suo massimo

= = 0 = 0)

assoluto pari a Si può inoltre notare che:

1.

Tuttavia il teorema di campionamento presenta alcune limitazioni: è richiesto un numero infinito di campioni che

non sono disponibili (lunghezza finita della registrazione) e un segnale a banda limitata non ha durata finita. Si ha

che non è possibile ricostruire esattamente il segnale.

Aliasing

Lo spettro del segnale campionato può essere espresso in funzione dello spettro del segnale definito nel

dominio temporale continuo come segue:

Il termine presente per è proporzionale alla trasformata del segnale continuo, i termini per sono detti

= 0 ≠ 0

termini di aliasing.

Si possono presentare tre possibili casi: segnale a banda limitata e frequenza di campionamento superiore del

doppio della massima frequenza del segnale; segnale a banda limitata e frequenza di campionamento inferiore al

doppio della massima frequenza del segnale; segnale a banda non limitata.

Se il segnale continuo è a banda limitata con frequenza massima minore di metà della frequenza di campionamento

( )

i termini di alias non portano alcun contributo nella determinazione di e vale:

Se il segnale continuo non è a banda limitata o comunque la sua frequenza massima è maggiore di metà della

( )

frequenza di campionamento i termini di alias portano ad una differenza tra e lo spettro del segnale continuo

diviso per .

Sulla base delle precedenti considerazioni si può giustificare la definizione della trasformata di Fourier a tempo

discreto all’interno dell’intervallo (− poiché in questo modo rappresenta ancora, a meno di un fattore

/2, /2)

moltiplicativo, l’energia del segnale continuo.

( )

La trasformata inversa di scritta in funzione della trasformata di Fourier del segnale continuo si può

( )

ricavare nel modo seguente. Si consideri ottenuto dalla sua trasformata di Fourier:

( )

Spezzando l’integrale in una serie di integrali estesi ad un intervallo finito di ampiezza , si ottiene:

( )=

valutando l’espressione di in si ottiene la sequenza dei valori campionati

( ) = ( ):

Misuratori digitali di impedenza

Questi misuratori permettono di determinare i parametri induttanza, capacità e resistenza, fattore di merito e

coefficiente di perdita di induttori, condensatori e resistori in accordo con prefissati schemi equivalenti degli oggetti

sotto analisi.

Prestazioni

Questi strumenti permettono ampi intervalli di misura dell’impedenza analizzata, come esempio:

 capacità: da 1 pF a 1 F

 induttanza: da 10 nH a 100 kH

 resistenza: da 1 mΩ a 100 MΩ.

La misurazione può essere realizzata con frequenza variabile a passi o con continuità, su un campo che può andare, ad esempio, da 10 Hz fino

anche a 100 MHz e oltre.

La sollecitazione dell’oggetto in prova avviene a tensioni e correnti basse con forme d’onda sinusoidali. Il livello del segnale di test può essere

variato dall’operatore da qualche mV (es.20 mV) a 1 V efficaci, quando si lavora a tensione impressa, e da 1 mA a 10 mA efficaci, se lo

strumento lavora a corrente impressa.

Sovrapposta alla tensione alternata è possibile applicare una tensione continua, questa può essere utilizzata nell’analisi di componenti che

richiedono una polarizzazione quali, ad esempio, i condensatori elettrolitici o nella determinazione dei parametri di componenti in uno

specifico punto di lavoro, ad esempio la capacità di un diodo. Il valore della massima tensione continua applicabile è dell’ordine di qualche

volt.

Il tempo necessario per ottenere il valore numerico dei parametri relativi all’oggetto in prova è pari alla somma del tempo di misura vero e

proprio più un tempo impiegato dallo strumento per scegliere la portata più opportuna (auto ranging), questo tempo può essere per esempio

30 ms.

L’incertezza di base può essere dall’1% allo 0,1% del valore misurato, nelle condizioni di utilizzo migliori. Essa

dipende dalla frequenza e dal tipo e valore di impedenza misurato. In particolare ad alta frequenza, un cambio delle

condizioni operative dello strumento, come temperatura ambientale, umidità, frequenza impostata, hanno un

grande effetto sull’incertezza di misura.

Principio di funzionamento

Si consideri l’esempio in cui l’impedenza incognita è rappresentata con un modello parallelo composto da una

capacità ed una resistenza. Si consideri quindi l’oggetto descritto da una ammettenza: .

= +

Il metodo utilizzato per determinare

sia che è di tipo volt-

amperometrico: conduttanza e

capacità sono determinate eseguendo

il rapporto tra la componente della

corrente, rispettivamente resisitiva o

reattiva, e la tensione applicata

all’oggetto in prova.

All’oggetto sotto analisi è applicata una tensione sinusoidale fornita da un generatore caratterizzato da una

impedenza interna . Lo strumento analizza la tensione applicata all’impedenza incognita e la corrente che lo

attraversa. Per potere analizzare la corrente attraverso l’oggetto in analisi è utilizzato il convertitore corrente

tensione: la corrente attraversa la resistenza posta in retroazione di un amplificatore operazionale. Supponendo

l'amplificatore ideale, il suo guadagno in continua è effettivamente elevato e si può ipotizzare che i suoi due

morsetti d'ingresso si trovino allo stesso potenziale, che, come si vede in figura, è il potenziale di riferimento. Se il

morsetto positivo dell'amplificatore è a potenziale nullo, la tensione di uscita dell'amplificatore è proporzionale

alla corrente che circola attraverso l’oggetto sotto analisi, ed il coefficiente di proporzionalità è il valore della

resistenza .

Facendo sì che i due morsetti d'ingresso dell'amplificatore operazionale si trovino allo stesso potenziale di massa

virtuale si ottiene che la tensione applicata all’impedenza analizzata è effettivamente la tensione . Con questo

circuito si ottengono contemporaneamente due risultati: il sistema di misura subisce un carico estremamente

ridotto, inoltre la resistenza può avere valori sufficientemente elevati da avere un buon segnale di tensione.

La tensione ai capi dell’impedenza incognita e la tensione proporzionale alla corrente possono essere poste in

ingresso ad un convertitore a doppia rampa. La porzione temporale di tali tensioni che è effettivamente applicata a

tale convertitore è definita da una porta (gate) comandata da una delle due onde quadre di uscite di un oscillatore:

una in fase con , l’altra in quadratura.

La corrente che attraversa l’impedenza incognita all’interno di un periodo può essere suddivisa nelle due

componenti resistiva e reattiva, indicate con e , la prima in fase con , la seconda in quadratura.

Da questa si può notare che l’integrale della corrente totale esteso al primo semiperiodo della tensione di

alimentazione, ovvero per le fasi all’interno dell’intervallo [0°, 180°], è pari all’integrale della sola componente

resistiva esteso allo stesso intervallo, il quale è quindi proporzionale al valore medio, ed anche al valore efficacie

della sola componente resistiva della corrente.

° ° °

= + = ∝

° ° °

Lo stesso ragionamento rispetto alla componente capacitiva della corrente può essere fatto se si considera

l’integrale esteso al primo semiperiodo della tensione di alimentazione, ovvero per le fasi all’interno dell’intervallo

[90°, 270°].

° ° °

= + = ∝

° ° °

La scelta dell’intervallo di integrazione, in fase o in quadratura con la tensione di alimentazione, può permettere di

evidenziare la sola componente resistiva o la sola componente reattiva della corrente che circola attraverso

l’oggetto sotto analisi. Per considerare la componente resistiva della corrente il gate sarà comandato dall’uscita

dell’oscillatore in fase con la tensione di alimentazione , e lascerà transitare la tensione , in uscita dal

convertitore corrente tensione, solo durante la semionda positiva della tensione . Analogamente, dovendo

analizzare la componente reattiva della corrente, il gate sarà comandato dall’uscita dell’oscillatore in quadratura con

, e lascerà transitare la tensione , in uscita dal convertitore corrente t