Riassunto Meccanica Razionale

PER OGNI PUNTO MATERIALE AD OGNI VINCOLO CORRISPONDE UNA

REAZIONE VINCOLARE, E Così SE SUL PUNTO AGISSERO m VINCOLI,

AVREMO m REAZIONI VINCOLARI CHE SI SOMMANO

VETTORIALMENTE A FORMARE UNA RISULTANTE VINCOLARE.

L’EQUAZIONE DEL MOTO DIVENTA PER IL PUNTO : =

P m á +Φ

F́

i i i i i

EQUILIBRIO E Stabilità ( )

UNA CONFIGURAZIONE SI DICE DI EQUILIBRIO PER UN

=

r x , y , z

e e e e

PUNTO MATERIALE, LIBERO O VINCOLATO, SE LO STATO

CINEMATICO COSTITUISCE DA SOLO UNA CURVA DI

=(

Γ x , y , z , 0,0,0)

e e e e

FASE. =r

UNA CONFIGURAZIONE SI DICE DI EQUILIBRIO SE è

r

r (t ) e

e

SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI MOTO CON LE CONDIZIONI

´ =0

INIZIALI r (0) = re ED .

r (0 )

TEOREMA.

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE Affinché r SIA

CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO PER UN PUNTO MATERIALE è CHE

LA SOMMA DELLE FORZE ATTIVE E DELLE REAZIONI VINCOLARI SIA

NULLA. +Φ =0

F (x (x

, y , z ,0,0,0) , y , z ,0,0,0)

e e e e e e

DIMOSTRAZIONE.

CONDIZIONE NECESSARIA SE F + Φ 0. ALLORA LA DERIVATA

≠

SECONDA DELLA CONFIGURAZIONE E QUINDI LA DERIVATA DELLA

VELOCITà SARANNO DIVERSE DA ZERO ED IL PUNTO

ACQUISTEREBBE VELOCITà INIZIALE CHE COMPORTEREBBE MOTO.

CONDIZIONE SUFFICIENTE SE: F+Φ=0, ALLORA LA DERIVATA DELLA

=r

VELOCITà Sarà NULLA E è SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DI

r (t ) e

MOTO.

SE SI ASSEGNANO AD UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI DELLE

CONDIZIONI INIZIALI VICINO ALL’EQUILIBRIO, IL MOTO CHE NE

CONSEGUE RIMANE NELLE VICINANZE DELLA CONFIGURAZINE DI

EQUILIBRIO.

SIA DATA UNA CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO PER UN SISTEMA DI

N PUNTI E SIA ABBIA UNO STATO CINEMATICO CORRISPONDENTE

NELLO DELLE FASI.

SIA ARBITRARIO E SIA ABBIA UN INTORNO SFERICO DELLO

>

ε 0

STATO CINEMATICO NELLO SPAZIO DELLE FASI. SE ESISTE ,

>

δ 0

CON TALE CHE LO STATO CINEMATICO APPARTENGA

<

δ ε

ALL’INTORNO, ALLORA LA CONFIGURAZIONE SI DICE STABILE

SECONDO LJAPUNOV.

CRITERIO DI DIRICHLET.

CONSIDERANDO UN SISTEMA DI N PUNTI MATERIALI SOGGETTO A

SOLE FORZE CONSERVATIVE E SIA V L’ENERGIA POTENZIALE DEL

SISTEMA. IL CRITERIO DI DIRICHLET AFFERMA CHE:

SE LA CONFIGURAZIONE r è UN PUNTO DI MINIMO DELL’ENERGIA

POTENZIALE, ALLORA ESSA è UNA CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO

LINEARMENTE STABILE.

DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI

DISTRIBUZIONI DISCRETE E CONTINUE DI MASSA

UNA DISTRIBUZIONE DISCRETA DI MASSA è UN INSIEME DI PUNTI P

CIASCUNO DOTATO DI MASSA m.

LA Quantità: N

∑

=

M m i

i=1

VIENE CHIAMATA MASSA TOTALE DEL SISTEMA.

UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI MASSA CON ESTENSIONE

SPAZIALE è UN DOMINIO , CON dim(D)=3, NEL QUALE è

3

D∈ R

DEFINITA UNA FUNZIONE CON DETTA

( ) ∀ ∈

ρ : D→ R , ρ P ≥ 0 P D

Densità DI MASSA, TALE CHE:

❑

∫ ( )

= <+∞

M ρ P dV

D

UNA DISTRIBUZIONE DI MASSA CONTINUA CON ESTENSIONE

SUPERFICIALE è UN DOMINIO CON dim(D)=2, DOVE è DEFINITA UNA

FUNZIONE , TALE CHE:

( ) ∀

σ : D → R , σ P ≥ 0 P∈ D

❑

∫ ( )

=

M σ P ds<+ ∞

D

TEOREMA DI K NIG.

Ó

DEFINITO IL MOMENTO ANGOLARE TOTALE DI UN SISTEMA DI PUNTI

MATERIALI RISPETTO AD UN POLO Ω:

N

∑

( )= ( −Ω)×( )

K Ω P m v

i i i

i=1

PER UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI DOMINIO D D Densità DI

MASSA ρ(P):

❑

∫

( )= ( ) ( )

K Ω ρ P P−Ω × v dV

D

PRIMO TEOREMA DI KONIG.

SIA UN SISTEMA DI RIFERIMENTO MOBILE CON ORIGINE

' ' ' '

( )

0 x , y , z

NEL CENTRO DI MASSA I CUI ASSI RIMANGONO PARALLELI A QUELLI

DEL SISTEMA FISSO PER TUTTA LA DURATA DEL MOTO E SIANO

❑

E LA POSIZIONE E VELOCITà RELATIVA DEL

' '

=P −P =v −v

r v

i o i o

PUNTO Pi.

IL MOMENTO ANGOLARE TOTALE SI Può SCRIVERE NELLA FORMA:

( )

( )= −Ω

K Ω P ×Q+ K ' (Po)

o

DIMOSTRAZIONE.

'

=R +

r r

i o i

'

=v +

v v

i o i

N

∑ ( )

−P =0

m P

i i o

i=1

N

∑ ' =0

m v

i i

i=1

DA CUI OTTENIAMO:

N N

∑ ∑ ∑

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−Ω = −P + −Ω + = −P + −Ω =¿ −Ω +

P × m v́ P P × m v́ v́ ' m P × v́ ' P × v́ P × M v

i i i i o o i o i i i o i o o O o

=1

i=1 i i

N

∑

= ¿

Ḱ (Ω) i=1

L’ENERGIA CINETICA TOTALE DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

DI MASSE è DATA DA:

P , … … , P m

1 N i

N 1

∑ 2

=

T m v

i i

2

i=1

SECONDO TEOREMA DI KONIG

L’ENERGIA CINETICA Può ESSERE SCRITTA COME:

1 ´

2

= +

T́ M v́ T '

o

2

DIMOSTRAZIONE.

USANDO LE STESSE RELAZIONI USATE NELLA DIMOSTRAZIONE DEL

PRIMO TEOREMA DI KONIG, OTTENIAMO:

N N

1 1 1

´

∑ ∑

2 ' 2 2

= = ( + ) = +

T́ m v m v́ v́ M v́ T́ '

i i i o i o

2 2 2

i=1 i=1

EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA

IL MOMENTO LINEARE TOTALE E IL MOMENTO ANGOLARE

Q́

TOTALE RISPETTO AD UN POLO QUALSIASI DI UN SISTEMA DI N

PUNTI, OBBEDISCONO ALLE RELAZIONI:

(e)

Q́=R

´ ( )

e

( )=Q ( ) +

K Ω × v Ω M ( )

Ω

DOVE R è LA RISULTANTE DELLE FORZE ESTERNE CHE AGISCONO

SUL SISTEMA. è IL MOMENTO RISULTANTE DI TUTTE LE FORZE

M

ESTERNE CHE AGISCONO SUL SISTEMA, CALCOLATO RISPETTO AL

POLO Ω.

CONSIDERANDO LA RELAZIONE:

Q́=m v́ o

ABBIAMO:

e

=

m á Ŕ

o

LE EQUAZIONI SONO DETTE PRIMA E SECONDA EQUAZIONE

CARDINALE DELLA DINAMICA.

PER LA SECONDA EQUAZIONE SE IL POLO Ω è CENTRO DI MASSA:

´

´ =0

v ; // Q́

(

v Ω)

( )

Ω

DINAMICA E STATICA DEI SISTEMI RIGIDI

SISTEMI RIGIDI.

VINCOLO DI Rigidità

UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI CON LE RISPETTIVE MASSE, SI

DICE SISTEMA RIGIDO SE PRESI COMUNQUE DUE PUNTI Pi e Pj, LA

DISTANZA TRA LORO RIMANE COSTANTE DURANTE IL MOTO, Cioè

| |

−P =COSTANTE

P .

i j

IL VINCOLO DESCRITTO è UN VINCOLO DI Rigidità ED è UN VINCOLO

OLONOMO.

GRADO DI Libertà.

UN CORPO RIGIDO LIBERO DI MUOVERSI NELLO SPAZIO SENZA

VINCOLI SE NON QUELLO DI Rigidità HA SEI GRADI DI LIBERTA.

SISTEMA SOLIDALE.

CONSIDERANDO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO

ORTOGONALE O (x, y, z), CON VERSORI CLASSICI DEGLI ASSI, FISSO

NELLO SPAZIO, E CONSIDERANDO UN SISTEMA MOBILE O’ (x’, y’, z’)

RISPETTO AL QUALE I PUNTI DEL SISTEMA RIGIDO ABBIANO

COORDINATE COSTANTI. UN SISTEMA Così FATTO è DEFINITO

SISTEMA SOLIDALE.

LA POSIZIONE DELL’ORIGINE O’ VIENE DETERMINATA TRAMITE TRE

PARAMETRI INDIPENDENTI ORIENTAZIONE ASSI MOBILI.

RISPETTO A QUELLI FISSI:

^

^ ^ ^

i'=α i+α j+ α k

1 2 3 ^

^ ^ ^

=β

j ' i+ β j+ β k

1 2 3

^ ^

^ ^

k '=γ i+γ j+ γ k

1 2 3

DOVE I VARI ANGOLI SONO I COSENI DIRETTORI DEGLI ASSI MOBILI

RISPETTO A QUELLI FISSI.

QUESTI TRE PARAMETRI LIBERI UNITI AI TRE INDIPENDENTI SONO

SUFFICIENTI AD INDIVIDUARE O’. (SEI GRADI DI Libertà)

SISTEMA RIGIDO VINCOLATO.

NEL CASO IN CUI UN CORPO SIA SOTTOPOSTO AD ULTERIORE

VINCOLI, I GRADI DI Libertà SI RIDURRANNO AD UN NUMERO

MINORE DI SEI.

CINEMATICA SISTEMI RIGIDI.

SIA O’ L’ORIGINE DEL SISTEMA SOLIDALE E SIA P UN PUNTO DELLO

SPAZIO SOLIDALE, CON v(P) LA SUA VELOCITà ASSOLUTA, ABBIAMO:

'

´ ´

= + )

v v ώ ×(P−O

(P) '

(o )

TALE FUNZIONE DESCRIVE IL CAMPO DELLA VELOCITà DI UN MOTO

RIGIDO.

TEOREMA. ´

UN MOTO è RIGIDO SE E SOLO SE ESISTONO DUE VETTORI '

(o )

v e ώ

TALE CHE PER QUALSIASI PUNTO P DELLO SPAZIO VALE:

'

´ ´

= + )

v v ώ ×(P−O

(P) '

(o )

DIMOSTRAZIONE.

DIMOSTRIAMO CHE LA DISTANZA TRA DUE PUNTI DELLO SPAZIO SIA

COSTANTE NEL TEMPO:

2

| | ( )

d P−Q d P−Q [ ]

( ) ( )

=2 =2 −v́

P−Q P−Q v́ ( ) ( )

P Q

dt dt

= +

v́ v́ ώ ×( P−Q)

(P) (Q)

LA DIFFERENZA TRA LA VELOCITà DEL PUNTO P E QUELLA DEL

PUNTO Q è PERPENDICOLARE A .

( P−Q)

QUINDI RISULTA:

2

| |

d P−Q =0

dt

MOTO TRASLATORIO

QUANDO IN UN DATO INTERVALLO DI TEMPO FINITO t Є [t1, t2], IL

VETTORE =0, IL MOTO è DETTO TRASLATORIO.

ώ

MOTO ROTATORIO

QUANDO IN UN INTERVALLO DI TEMPO t, ESISTE UN PUNTO O’

DELLO SPAZIO SOLIDALE TALE CHE LA VELOCITà DI QUEL PUNTO SIA

NULLA, IL MOTO SI DICE ROTATORIO.

´

IN TAL CASO: ( )

'

( )=

v P ẃ × P−O

LA RETTA PASSANTE PER O’ E PARALLELA A w è L’ASSE DI

ROTAZIONE.

MOTO ROTOTRASLATORIO.

QUANDO IN UN INTERVALLO DI TEMPO FINITO t, ESISTE UN PUNTO

O’ DELLO SPAZIO SOLIDALE TALE CHE LA VELOCITà DEL PUNTO SIA

PARALLELA CON IL VETTORE VELOCITà ANGOLARE, CON LA

VELOCITà ANGOLARE COSTANTE NEL TEMPO, IL MOTO SI DICE

ROTOTRASLATORIO OD ELICOIDALE.

LA VELOCITà DEL PUNTO P Può ESSERE SCOMPOSTA CON UNA

COMPONENTE LUNGO IL VETTORE VELOCITà ANGOLARE ED UNA

COMPONENTE ORTOGONALE ALLA VELOCITA’ ANGOLARE.

TEOREMA DI MOZZI

IL MOTO ROTOTRASLATORIO è PARTICOLARMENTE IMPORTANTE IN

QUANTO VALE IL SEGUENTE TEOREMA DI MOZZI:

L’ATTO DI MOTO RIGIDO Più GENERALE POSSIBILE è

ISTANTANEAMENTE ROTOTRASLATORIO.

UN MOTO è ISTANTANEAMENTE ROTOTRASLATORIO SE IN UN DATO

TEMPO t=to, v(o’) // .

ẃ

DIMOSTRAZIONE.

ESISTE UN PUNTO O’’ DELLO SPAZIO SOLIDALE TALE CHE //

´

v