Che materia stai cercando?

Riassunto Meccanica Razionale Appunti scolastici Premium

Riassunto Completo di tutti gli argomenti presenti nel compito d'esame. Teoremi e relative dimostrazioni. Ottimo per lo studio. Fedele(!) al libro consigliato dal prof. Perfetto per la preparazione all'appello teorico d'esame. Steso in maniera chiara e FEDELE alla spiegazione e libro.

Esame di Meccanica razionale docente Prof. L. Demeio

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

^

^ ^

INDICHIAMO CON IL GENERICO SPOSTAMNTO DI UN

=dx

dr i+ dy j+ dz k

i i i i

PUNTO P.

IN PRESENZA DI VINCOLI ALCUNI SPOSTAMENTI SONO BLOCCATI.

GLI SPOSTAMENTI ANCORA POSSIBILI VENGONO DETTI

SPOSTAMENTI VIRTUALI E SONO CONSENTITI DAL VINCOLO ISTANTE

PER ISTANTE.

CLASSIFICAZIONE DEI VINCOLI.

A SECONDA DELLA NATURA DEL VINCOLO E DEGLI SPOSTAMENTI

VIRTUALI, IL VINCOLO Può ESSERE CLASSIFICATO IN VARI MODI:

- VINCOLI FISSI E MOBILI:

UN VINCOLO SI DICE FISSO SE L’EQUAZIONE O DISEQUAZIONE

DI VINCOLO NON CONTIENE ESPLICITAMENTE IL TEMPO. IN

CASO CONTRARIO è DETTO MOBILE.

- VINCOLI BILATERALIE UNILATERALI:

SONO VINCOLI CARATTERIZZATI DALL’EQUAZIONE O

DISEQUAZIONE DI VINCOLO.

- VINCOLI GEOMETRICI E CINEMATICI:

I VINCOLI GEOMETRICI SONO SOLO FUNZIONI DELLA

POSIZIONE, MENTRE QUELLI CINEMATICI SONO FUNZIONE

DELLA VELOCITà.

- VINCOLI OLONOMI:

IL VINCOLO SE ESPRESSO DA UN’EQUAZIONE DEL TIPO

è DETTO OLONOMO. IN QUESTO CASO è

( )=0

f x , y , z , t

GEOMETRICO E BILATERALE.

COORDINATE LAGRANGIANE

LA SUPERFICIE DI DIMENSIONE POSSIEDE UNA

3 N

l∈ R

RAPPRESENTAZIONE PARAMETRICA IN TERMINI DI PARAMETRI

l

LIBERI E INDIPENDENTI, INDICATI CON q , … … , q .

1 l

LE COORDINATE DI SARANNO:

3 N

R

=X (q

x , … … , q , t)

1 1 1 l

=Y (q

y , … … , q , t)

1 1 1 l

=Z (q

z , … … , q , t)

1 1 1 l

=X (q

x ,… … , q ,t)

N N 1 l

=Y (q

y , … … , q , t)

N N 1 l

=Z (q

z ,… … , q ,t)

N N 1 l ( )

IN FORMA COMPATTA: CON .

=R

r q , … … , q , t i=( )

1 , … … , N

i i 1 l

AL VARIARE DEI PARAMETRI q1, …, ql NEL LORO DOMINIO, QUESTI

PRENDONO IL NOME DI COORDINATE LAGRANGIANE. DEVONO

SODDISFARE IL REQUISITO CHE AD OGNI PARTICOLARE l-upla

CORRISPONDE UNO ED UNO SOLO PUNTO DELLO SPAZIO DELLE

CONFIGURAZIONI DI COORDINATE.

ESPRESSIONE LAGRANGIANA DELLA VELOCITA’

LE DERIVATE TEMPORALI DELLE COORDINATE LAGRANGIANE

SONO DETTE VELOCITà GENERALIZZATE.

q́ , … … , q́

1 l

IL VETTORE VELOCITà DI P SI Può SCRIVERE COME:

l ∂ r ∂r

∑ i i

´

= +

v́ q

i k

∂ q ∂t

k=1 k

DETTA ESPRESSIONE LAGRANGIANA DELLA VELOCITà.

LA VELOCITà è COMPOSTA DAL PRIMO TERMINE CHE RAPPRESENTA

LA VELOCITà VIRTUALE DI P LUNGO LO SPOSTAMENTO VIRTUALE E

DAL SECONDO TERMINE CHE RAPPRESENTA LA VELOCITà DI

TRASCINAMENTO DOVUTA AL MOTO DEI VINCOLI.

REAZIONI VINCOLARI ED EQUAZIONI DEL MOTO

PER OGNI PUNTO MATERIALE AD OGNI VINCOLO CORRISPONDE UNA

REAZIONE VINCOLARE, E Così SE SUL PUNTO AGISSERO m VINCOLI,

AVREMO m REAZIONI VINCOLARI CHE SI SOMMANO

VETTORIALMENTE A FORMARE UNA RISULTANTE VINCOLARE.

L’EQUAZIONE DEL MOTO DIVENTA PER IL PUNTO : =

P m á +Φ

i i i i i

EQUILIBRIO E Stabilità ( )

UNA CONFIGURAZIONE SI DICE DI EQUILIBRIO PER UN

=

r x , y , z

e e e e

PUNTO MATERIALE, LIBERO O VINCOLATO, SE LO STATO

CINEMATICO COSTITUISCE DA SOLO UNA CURVA DI

=(

Γ x , y , z , 0,0,0)

e e e e

FASE. =r

UNA CONFIGURAZIONE SI DICE DI EQUILIBRIO SE è

r

r (t ) e

e

SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI MOTO CON LE CONDIZIONI

´ =0

INIZIALI r (0) = re ED .

r (0 )

TEOREMA.

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE Affinché r SIA

CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO PER UN PUNTO MATERIALE è CHE

LA SOMMA DELLE FORZE ATTIVE E DELLE REAZIONI VINCOLARI SIA

NULLA. +Φ =0

F (x (x

, y , z ,0,0,0) , y , z ,0,0,0)

e e e e e e

DIMOSTRAZIONE.

CONDIZIONE NECESSARIA SE F + Φ 0. ALLORA LA DERIVATA

SECONDA DELLA CONFIGURAZIONE E QUINDI LA DERIVATA DELLA

VELOCITà SARANNO DIVERSE DA ZERO ED IL PUNTO

ACQUISTEREBBE VELOCITà INIZIALE CHE COMPORTEREBBE MOTO.

CONDIZIONE SUFFICIENTE SE: F+Φ=0, ALLORA LA DERIVATA DELLA

=r

VELOCITà Sarà NULLA E è SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DI

r (t ) e

MOTO.

SE SI ASSEGNANO AD UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI DELLE

CONDIZIONI INIZIALI VICINO ALL’EQUILIBRIO, IL MOTO CHE NE

CONSEGUE RIMANE NELLE VICINANZE DELLA CONFIGURAZINE DI

EQUILIBRIO.

SIA DATA UNA CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO PER UN SISTEMA DI

N PUNTI E SIA ABBIA UNO STATO CINEMATICO CORRISPONDENTE

NELLO DELLE FASI.

SIA ARBITRARIO E SIA ABBIA UN INTORNO SFERICO DELLO

>

ε 0

STATO CINEMATICO NELLO SPAZIO DELLE FASI. SE ESISTE ,

>

δ 0

CON TALE CHE LO STATO CINEMATICO APPARTENGA

<

δ ε

ALL’INTORNO, ALLORA LA CONFIGURAZIONE SI DICE STABILE

SECONDO LJAPUNOV.

CRITERIO DI DIRICHLET.

CONSIDERANDO UN SISTEMA DI N PUNTI MATERIALI SOGGETTO A

SOLE FORZE CONSERVATIVE E SIA V L’ENERGIA POTENZIALE DEL

SISTEMA. IL CRITERIO DI DIRICHLET AFFERMA CHE:

SE LA CONFIGURAZIONE r è UN PUNTO DI MINIMO DELL’ENERGIA

POTENZIALE, ALLORA ESSA è UNA CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO

LINEARMENTE STABILE.

DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI

DISTRIBUZIONI DISCRETE E CONTINUE DI MASSA

UNA DISTRIBUZIONE DISCRETA DI MASSA è UN INSIEME DI PUNTI P

CIASCUNO DOTATO DI MASSA m.

LA Quantità: N

=

M m i

i=1

VIENE CHIAMATA MASSA TOTALE DEL SISTEMA.

UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI MASSA CON ESTENSIONE

SPAZIALE è UN DOMINIO , CON dim(D)=3, NEL QUALE è

3

D∈ R

DEFINITA UNA FUNZIONE CON DETTA

( ) ∀ ∈

ρ : D→ R , ρ P ≥ 0 P D

Densità DI MASSA, TALE CHE:

∫ ( )

= <+∞

M ρ P dV

D

UNA DISTRIBUZIONE DI MASSA CONTINUA CON ESTENSIONE

SUPERFICIALE è UN DOMINIO CON dim(D)=2, DOVE è DEFINITA UNA

FUNZIONE , TALE CHE:

( ) ∀

σ : D → R , σ P ≥ 0 P∈ D

∫ ( )

=

M σ P ds<+ ∞

D

TEOREMA DI K NIG.

DEFINITO IL MOMENTO ANGOLARE TOTALE DI UN SISTEMA DI PUNTI

MATERIALI RISPETTO AD UN POLO Ω:

N

( )= ( −Ω)×( )

K Ω P m v

i i i

i=1

PER UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI DOMINIO D D Densità DI

MASSA ρ(P):

( )= ( ) ( )

K Ω ρ P P−Ω × v dV

D

PRIMO TEOREMA DI KONIG.

SIA UN SISTEMA DI RIFERIMENTO MOBILE CON ORIGINE

' ' ' '

( )

0 x , y , z

NEL CENTRO DI MASSA I CUI ASSI RIMANGONO PARALLELI A QUELLI

DEL SISTEMA FISSO PER TUTTA LA DURATA DEL MOTO E SIANO

E LA POSIZIONE E VELOCITà RELATIVA DEL

' '

=P −P =v −v

r v

i o i o

PUNTO Pi.

IL MOMENTO ANGOLARE TOTALE SI Può SCRIVERE NELLA FORMA:

( )

( )= −Ω

K Ω P ×Q+ K ' (Po)

o

DIMOSTRAZIONE.

'

=R +

r r

i o i

'

=v +

v v

i o i

N

∑ ( )

−P =0

m P

i i o

i=1

N

∑ ' =0

m v

i i

i=1

DA CUI OTTENIAMO:

N N

∑ ∑ ∑

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−Ω = −P + −Ω + = −P + −Ω =¿ −Ω +

P × m v́ P P × m v́ v́ ' m P × v́ ' P × v́ P × M v

i i i i o o i o i i i o i o o O o

=1

i=1 i i

N

= ¿

Ḱ (Ω) i=1

L’ENERGIA CINETICA TOTALE DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

DI MASSE è DATA DA:

P , … … , P m

1 N i

N 1

∑ 2

=

T m v

i i

2

i=1

SECONDO TEOREMA DI KONIG

L’ENERGIA CINETICA Può ESSERE SCRITTA COME:

1 ´

2

= +

T́ M v́ T '

o

2

DIMOSTRAZIONE.

USANDO LE STESSE RELAZIONI USATE NELLA DIMOSTRAZIONE DEL

PRIMO TEOREMA DI KONIG, OTTENIAMO:

N N

1 1 1

´

∑ ∑

2 ' 2 2

= = ( + ) = +

T́ m v m v́ v́ M v́ T́ '

i i i o i o

2 2 2

i=1 i=1

EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA

IL MOMENTO LINEARE TOTALE E IL MOMENTO ANGOLARE

TOTALE RISPETTO AD UN POLO QUALSIASI DI UN SISTEMA DI N

PUNTI, OBBEDISCONO ALLE RELAZIONI:

(e)

Q́=R

´ ( )

e

( )=Q ( ) +

K Ω × v Ω M ( )

Ω

DOVE R è LA RISULTANTE DELLE FORZE ESTERNE CHE AGISCONO

SUL SISTEMA. è IL MOMENTO RISULTANTE DI TUTTE LE FORZE

M

ESTERNE CHE AGISCONO SUL SISTEMA, CALCOLATO RISPETTO AL

POLO Ω.

CONSIDERANDO LA RELAZIONE:

Q́=m v́ o

ABBIAMO:

e

=

m á Ŕ

o

LE EQUAZIONI SONO DETTE PRIMA E SECONDA EQUAZIONE

CARDINALE DELLA DINAMICA.

PER LA SECONDA EQUAZIONE SE IL POLO Ω è CENTRO DI MASSA:

´

´ =0

v ; // Q́

(

v Ω)

( )

Ω

DINAMICA E STATICA DEI SISTEMI RIGIDI

SISTEMI RIGIDI.

VINCOLO DI Rigidità

UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI CON LE RISPETTIVE MASSE, SI

DICE SISTEMA RIGIDO SE PRESI COMUNQUE DUE PUNTI Pi e Pj, LA

DISTANZA TRA LORO RIMANE COSTANTE DURANTE IL MOTO, Cioè

| |

−P =COSTANTE

P .

i j

IL VINCOLO DESCRITTO è UN VINCOLO DI Rigidità ED è UN VINCOLO

OLONOMO.

GRADO DI Libertà.

UN CORPO RIGIDO LIBERO DI MUOVERSI NELLO SPAZIO SENZA

VINCOLI SE NON QUELLO DI Rigidità HA SEI GRADI DI LIBERTA.

SISTEMA SOLIDALE.

CONSIDERANDO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO

ORTOGONALE O (x, y, z), CON VERSORI CLASSICI DEGLI ASSI, FISSO

NELLO SPAZIO, E CONSIDERANDO UN SISTEMA MOBILE O’ (x’, y’, z’)

RISPETTO AL QUALE I PUNTI DEL SISTEMA RIGIDO ABBIANO

COORDINATE COSTANTI. UN SISTEMA Così FATTO è DEFINITO

SISTEMA SOLIDALE.

LA POSIZIONE DELL’ORIGINE O’ VIENE DETERMINATA TRAMITE TRE

PARAMETRI INDIPENDENTI ORIENTAZIONE ASSI MOBILI.

RISPETTO A QUELLI FISSI:

^

^ ^ ^

i'=α i+α j+ α k

1 2 3 ^

^ ^ ^

j ' i+ β j+ β k

1 2 3

^ ^

^ ^

k '=γ i+γ j+ γ k

1 2 3

DOVE I VARI ANGOLI SONO I COSENI DIRETTORI DEGLI ASSI MOBILI

RISPETTO A QUELLI FISSI.

QUESTI TRE PARAMETRI LIBERI UNITI AI TRE INDIPENDENTI SONO

SUFFICIENTI AD INDIVIDUARE O’. (SEI GRADI DI Libertà)

SISTEMA RIGIDO VINCOLATO.

NEL CASO IN CUI UN CORPO SIA SOTTOPOSTO AD ULTERIORE

VINCOLI, I GRADI DI Libertà SI RIDURRANNO AD UN NUMERO

MINORE DI SEI.

CINEMATICA SISTEMI RIGIDI.

SIA O’ L’ORIGINE DEL SISTEMA SOLIDALE E SIA P UN PUNTO DELLO

SPAZIO SOLIDALE, CON v(P) LA SUA VELOCITà ASSOLUTA, ABBIAMO:

'

´ ´

= + )

v v ώ ×(P−O

(P) '

(o )

TALE FUNZIONE DESCRIVE IL CAMPO DELLA VELOCITà DI UN MOTO

RIGIDO.

TEOREMA. ´

UN MOTO è RIGIDO SE E SOLO SE ESISTONO DUE VETTORI '

(o )

v e ώ

TALE CHE PER QUALSIASI PUNTO P DELLO SPAZIO VALE:

'

´ ´

= + )

v v ώ ×(P−O

(P) '

(o )

DIMOSTRAZIONE.

DIMOSTRIAMO CHE LA DISTANZA TRA DUE PUNTI DELLO SPAZIO SIA

COSTANTE NEL TEMPO:

2

| | ( )

d P−Q d P−Q [ ]

( ) ( )

=2 =2 −v́

P−Q P−Q v́ ( ) ( )

P Q

dt dt

= +

v́ v́ ώ ×( P−Q)

(P) (Q)

LA DIFFERENZA TRA LA VELOCITà DEL PUNTO P E QUELLA DEL

PUNTO Q è PERPENDICOLARE A .

( P−Q)

QUINDI RISULTA:

2

| |

d P−Q =0

dt

MOTO TRASLATORIO

QUANDO IN UN DATO INTERVALLO DI TEMPO FINITO t Є [t1, t2], IL

VETTORE =0, IL MOTO è DETTO TRASLATORIO.

ώ

MOTO ROTATORIO

QUANDO IN UN INTERVALLO DI TEMPO t, ESISTE UN PUNTO O’

DELLO SPAZIO SOLIDALE TALE CHE LA VELOCITà DI QUEL PUNTO SIA

NULLA, IL MOTO SI DICE ROTATORIO.

´

IN TAL CASO: ( )

'

( )=

v P ẃ × P−O

LA RETTA PASSANTE PER O’ E PARALLELA A w è L’ASSE DI

ROTAZIONE.

MOTO ROTOTRASLATORIO.

QUANDO IN UN INTERVALLO DI TEMPO FINITO t, ESISTE UN PUNTO

O’ DELLO SPAZIO SOLIDALE TALE CHE LA VELOCITà DEL PUNTO SIA

PARALLELA CON IL VETTORE VELOCITà ANGOLARE, CON LA

VELOCITà ANGOLARE COSTANTE NEL TEMPO, IL MOTO SI DICE

ROTOTRASLATORIO OD ELICOIDALE.

LA VELOCITà DEL PUNTO P Può ESSERE SCOMPOSTA CON UNA

COMPONENTE LUNGO IL VETTORE VELOCITà ANGOLARE ED UNA

COMPONENTE ORTOGONALE ALLA VELOCITA’ ANGOLARE.

TEOREMA DI MOZZI

IL MOTO ROTOTRASLATORIO è PARTICOLARMENTE IMPORTANTE IN

QUANTO VALE IL SEGUENTE TEOREMA DI MOZZI:

L’ATTO DI MOTO RIGIDO Più GENERALE POSSIBILE è

ISTANTANEAMENTE ROTOTRASLATORIO.

UN MOTO è ISTANTANEAMENTE ROTOTRASLATORIO SE IN UN DATO

TEMPO t=to, v(o’) // .

DIMOSTRAZIONE.

ESISTE UN PUNTO O’’ DELLO SPAZIO SOLIDALE TALE CHE //

´

v o ' '

:

ώ ' '

´ ´

= +ω )

v v ×(P−O

(P) (o)

CON LA VELOCITà DEL PUNTO O’’ PARALLELA AL VETTORE .

ώ

´

v :

FISSANDO UN PUNTO QUALUNQUE O’ SCOMPONIAMO ( )

'

O

CON LA VELOCITà ' ' '

´ = −O )

v ώ ×(O

˔

( ) ( ) ( )

' ' ' ' ' ' ' ' ' ''

´ ´

= /(o )+ (o )+ = (o )+ −O + = (o )+ )

v v́ v́ ώ × P−O v́ ώ × O ώ × P−O v ώ ×( P−O

˔ ¿ ¿

(P)

SE P=O’’, NE SEGUE CHE LE VELOCITA’ SONO UGUALI.

L’ASSE DI ISTANTANEA ROTAZIONE PRENDE IL NOME DI ASSE DI

MOZZI.

MOTO RIGIDO PIANO: DEFINIZIONE, PIANO RAPPRESENTATIVO

UN MOTO SI DICE RIGIDO PIANO QUANDO LA VELOCITà DI TUTTI I

PUNTI DEL SISTEMA RIGIDO SONO PARALLELE AD UNA GIACITURA

FISSATA PER UN INTERVALLO DI TEMPO FINITO.

SCEGLIAMO UN PIANO π CON QUELLA GIACITURA E LO CHIAMIAMO

PIANO RAPPRESENTATIVO DEL MOTO.

TEOREMA.

IN UN MOTO RIGIDO PIANO LA VELOCITà ANGOLARE è ORTOGONALE

AL PIANO RAPPRESENTATIVO DEL MOTO.

CENTRO ISTANTANEO DI ROTAZIONE

RIPRENDIAMO L’EQUAZIONE:

( ) ( )

'' ''

´ = +

v v́ o ώ × P−O

( )

P

LA VELOCITA’ DEL PUNTO O’’ DEVE ESSERE PARALLELA A , PER

ώ

IL TEOREMA DI MOZZI, E PARALLELA AL PIANO PER LA DEFINIZIONE

DI MOTO RIGIDO. QUINDI ORTOGONALE ALLA VELOCITA’ ANGOLARE.

IL VETTORE DEVE ESSERE NULLO.

NEL MOTO RIGIDO PIANO ESISTE UN PUNTO C PER IL QUALE LA

VELOCITà è NULLA. TALE PUNTO “C” è CHIAMATO CENTRO

ISTANTANEO DI ROTAZIONE.

È L’INTERSEZIONE DELL’ASSE DI MOZZI CON IL PIANO

RAPPRESENTATIVO DEL MOTO.

TEOREMA DI CHASLES.

IN UN MOTO RIGIDO PIANO IL CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE

SI TROVA SULLA PERPENDICOLARE ALLA TRAIETTORIA DEL PUNTO

DEL SISTEMA RIGIDO (O DELLO SPAZIO SOLIDALE).

DIMOSTRAZIONE.

( )=v́ ( ) ( ) ( )

+ =

v́ P C ώ × P−C ώ × P−C

CONSIDERANDO CHE LA VELOCITà DEL PUNTO “C” è NULLA.

VERIFICHIAMO CHE LA VELOCITà DEL PUNTO P SIA

PERPENDICOLARE A (P-C) E CHE SIA TANGENTE ALLA TRAIETTORIA

DI P.

LA DIMOSTRAZIONE è QUINDI COMPLETATA.

COROLLARIO.

LA CONOSCENZA DELLA TRAIETTORIA DI DUE PUNTI P e Q DEL

SISTEMA RIGIDO, PERMETTE LA DIMOSTRAZIONE GEOMETRICA DEL

CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE, CHE SI TROVA

NELL’INTERSEZIONE DELLE PERPENDICOLARI ALLE TRAIETTORIE DEI

DUE PUNTI P e Q.

VINCOLO DI ROTOLAMENTO CON E SENZA STRISCIAMENTO.

SIANO ’ DUE CURVE IN CONTATTO CON MOTO RELATIVO UNA

γ e γ

RISPETTO ALL’ALTRA E SIA C IL LORO PUNTO DI CONTATTO.

SE NEL PUNTO DI CONTATTO LE CURVE HANNO LA TANGENTE IN

COMUNE, IL VINCOLO SI DICE DI ROTOLAMENTO.

CONSIDERATA LA DIFFERENZA TRA LE DUE VELOCITA’:

( )= ( )− ( )

´

v́ C v́ C v C

s γ

'

γ

DETTA VELOCITA’ DI STRISCIAMENTO, SE QUESTA è NULLA, IL

VINCOLO è DI ROTOLAMENTO PURO E LE DUE CURVE ROTOLANO

UNA SULL’ALTRA SENZA STRISCIARE.

TRAIETTORIE POLARI: BASE E RULLETTA.

SPOSTANDOSI ISTANTE PER ISTANTE L’ASSE DI MOZZI, IL CENTRO

C.I.R. SI SPOSTA SUL PIANO RAPPRESENTATIVO DEL MOTO LUNGO

UNA TRAIETTORIA CHE CORRISPONDE ALL’INTERSEZIONE DELLE

RIGATE CON IL PIANO.

L’INTERSEZIONE DELLA RIGATA FISSA CON IL PIANO

RAPPRESENTATIVO è DETTA BASE.

L’INTERSEZIONE DELLA RIGATA MOBILE CON IL PIANO

RAPPRESENTATIVO è CHIAMATA RULLETTA.

BASE E RULLETTA SONO DEFINITE TRAIETTORIE POLARI E SONO LE

CURVE PERCORSE DAL CENTRO D’INSTANTANEA ROTAZIONE SUL

PIANO RAPPRESENTATIVO DEL MOTO RISPETTIVAMENTE NEL

SISTEMA DI RIFERIMENTO FISSO E SOLIDALE.

MOMENTO ANGOLARE DI UN CORPO RIGIDO.

CONSIDERANDO UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI, AVENTI LE

RISPETTIVE MASSE, LEGATI DA VINCOLO DI Rigidità E SIA O’ UN

PUNTO DELLO SPAZIO SOLIDALE RISPETTO AL QUALE CALCOLIAMO I

MOMENTI ED INTRODUCIAMO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO

SOLIDALE CON O’ COME ORIGINE.

IL MOMENTO ANGOLARE DEL SISTEMA Sarà:

N

( )

' '

= ( −O )×(m )

Ḱ O P v́

i i i

i=1 ( )

SAPENDO CHE LA VELOCITA’ :

'

( )

= +

v́ v́ o ' ώ × Pi−O

i

'

+ −O )

v́ ώ ×( P i

( )

'

O '

( −O ) ¿

P ×m

i i

N

´ = ¿

K ( )

'

O i=1

2

| |

' ' '

−O −O )(P −O )

P ω−( P ώ

i i i

¿

P i N

( )

'

=M −O + ¿

Ḱ P × v́

' '

o

(O ) (O ) =1

i

IN MODO COMPATTO INTRODUCENDO LA MATRICE:

'

−O

P '

i

2

| |

' '

[ −O −O )]

m P 1−(¿)( P

i i i

N

( )

' = ¿

I o i=1

DOVE 1 è LA MATRICE Identità DI ORDINE 3.

ABBIAMO INFINE:

( )

( ) ( )

' ' ' '

=M −O + (O )

Ḱ O P × v́ O I ώ

O

IN CASI PARTICOLARI SI RIDUCE A:

( )

' '

=I (O )

Ḱ O ώ

QUANDO IL PUNTO O’ È FISSO.

QUANDO O’ COINCIDE CON IL CENTRO DI MASSA DEL SISTEMA.

QUANDO LA VELOCITA’ O’ è PARALLELA A .

−O

P '

O

NEL CASO DI SISTEMA CON ASSE FISSO:

^ ^ ^

( )

( )

' ' ' '

=I + +

Ḱ O ώ= θ́ I i I j I k

13 23 33

SE IL CORPO è UNA FIGURA PIANA I MOMENTI D’INERZIA :

=I =0

I 23 13

^

( )

' =I )

Ḱ O ώ= θ́(I k '

33

ENERGIA CINETICA DEL SISTEMA RIGIDO

ANCHE L’ENERGIA CINETICA DEL CORPO RIGIDO è

RAPPRENSENTABILE TRAMITE LA MATRICE D’INERZIA:

1 1

( )

2 ' '

= + ´ −O + (o )

T M v M v ẃ × P ώ I ώ

o

' '

2 2

(o ) (o )

QUANDO è FISSO RIMANE SOLO L’ULTIMO TERMINE.

SE O’ è IL CENTRO DI MASSA, IL SECONDO TERMINE SI ANNULLA.

1 2

NEL CASO DI CORPO RIGIDO AD ASSE FISSO: =

T θ́ I 33

2

MATRICE D’INERZIA

DALLA DEFINIZIONE DI MATRICE D’INERZIA:

'

−O

P '

i

2

| |

' '

[ −O −O )]

m P 1−(¿)( P

i i i

N

( )

' = ¿

I o i=1

RICAVIAMO L’ESPRESSIONE DETTAGLIATA DEI SUOI ELEMENTI.

LUNGO LA DIAGONALE:

2

y i 2

(¿+ )

m z

i i

N

= ¿

I 11 i=1

2

x

i 2

(¿+ )

m z

i i

N

= ¿

I 22 i=1

2

x i 2

(¿+ )

m y

i i

N

= ¿

I 33 i=1

LA MATRICE è UNA MATRICE SIMMETRICA Perché:

'

( )

I O

'

−O

P '

i

2

| |

' '

[ −O −O )]

m P 1−(¿)( P

i i i

N

( )

' = ¿

I o i=1 ( )

2

x ' y ' x ' z ' x '

i i i i i

( )( )

' ' 2

−O −O =

P P x ' y ' y ' z ' y '

i i i i i i i

2

x ' z ' y ' z ' z '

i i i i i

GLI ELEMENTI FUORI DIAGONALE SONO DETTI PRODOTTI D’INERZIA

O MOMENTI CENTRIFUGHI:

N

=I =−

I m x y

12 21 i i i

i=1

N

=I =−

I m x z

13 31 i i i

i=1

N

=I =−

I m y z

23 32 i i i

i=1

TERNA PRINCIPALE D’INERZIA

UNA MATRICE REALE E SIMMETRICA è SEMPRE DIAGONALIZZABILE.

VUOL DIRE CHE PER QUALUNQUE MATRICE D’INERZIA I ESISTE UNA

MATRICE ORTOGONALE R TALE CHE:

~

R ∙ I ∙ R= Λ

DOVE IL TERMINE Λ è UNA MATRICE DIAGONALE.

DATO UN QUALUNQUE PUNTO O’ DEL SISTEMA SOLIDALE ESISTE

SEMPRE UN SISTEMA DI RIFERIMENTO SOLIDALE O’ (ξ, η, ζ) NEL

QUALE LA MATRICE D’INERZIA è DIAGONALE.

IL SISTEM SOLIDALE è DETTO TERNA PRINCIPALE D’INERZIA ED I

SUOI ASSI SONO CHIAMATI ASSI PRINCIPALI D’INERZIA.

SIMMETRIE MATERIALI

PRESO UN SISTEMA DI N PUNTI AVENTI MASSA E SIA π UN PIANO

DELLO SPAZIO SOLIDALE.


PAGINE

38

PESO

68.65 KB

AUTORE

imo29

PUBBLICATO

5 mesi fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher imo29 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica razionale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico delle Marche - Univpm o del prof Demeio Lucio.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Meccanica razionale

Esercizi meccanica razionale
Esercitazione
Esercizi meccanica razionale
Esercitazione
Riassunto Meccanica Razionale, prof. Demeio
Appunto
Meccanica Razionale - esercizi e soluzioni
Esercitazione