Riassunto Meccanica Razionale

Riassunto elementi di meccanica classica per l’ingegneria

Cinematica del punto e dei sistemi materiali

Grandezze cinematiche

Posto un osservatore in un punto fermo e fisso O; supponendo che un punto P sia in movimento nell’intervallo di tempo t Є [t , t ], le posizioni assunte da P1 2 rispetto al punto fisso O saranno messe in relazione con il tempo dalla formula: ´ ´ ( ) ∀ ∈[t ]OP= OP t t , t1 2

E questa rappresenta l’equazione del moto di P.

Sia la traiettoria di P e stabilito su un sistema di γ γ ascisse curvilinee s: ´ ´ ( )OP= OP ss=s(t)

Che corrisponde alla legge oraria del moto di P.

Per un punto P che si muove lungo la sua traiettoria, si definiscono i vettori velocità ed accelerazione: ´d OP ( )=v́ tdtd v́ (t)á= dt

Velocità ed accelerazione della terna intrinseca

Stabilito un sistema di ascisse curvilinee s con terna ^intrinseca ( sulla traiettoria di di P: ^ γ ^ ¿t , n , b^( ) ( )=śv́ t t t2ś^ ^+á= ś t nρ

Dove è il raggio di curvatura di nella posizione ρ γ occupata da P su all’istante t. γ

I versori rappresentano il piano osculatore a posizione γ occupata da P all’istante t.

Espressione in coordinate polari delle grandezze

Un punto P si muove di moto piano se la sua traiettoria γ è una curva piana.

Stabilito che P si muova di moto piano, la sua posizione può essere descritta tramite delle coordinate polari ( , di ¿ρ ,θ versori: ´ ´OP OP´^ =vers =r OP= ´| | ρOP^d r^h= dθ

Chiamati versore radiale e versore trasverso.

Si otterrà: ^^= +v́ ρ́ r ρ θ́ h ^( )2 ^ +(ρá= ρ́− ρ θ́ r θ́+2 ρ́ θ́) h

La velocità ed accelerazione può essere scomposta a seconda del versore in radiale e trasversa.

Formule di Poisson

Nel campo della cinematica relativa, cioè con il moto relativo di un sistema solidale rispetto ad un altro, introduciamo le formule ed il vettore di Poisson.

Considerando un sistema rigido, una terna cartesiana ortogonale ( ed una terna solidale (0; x, y, z) il ¿Ω ; ξ , η , ζ moto del corpo rigido è noto quando è noto il moto della terna solidale. Quindi occorre conoscere come variano ^^ ^nel tempo i versori ( degli assi solidali, ovvero le ¿i, j , k funzioni: ´ ´ ( )ΩO= ΩO t^ ^i= i(t)^ ^ )j= j(t^ ^ ( )=k k t

Per le quali valgono le seguenti condizioni:

• ^ ^i∙ i=1
• ^ ^j ∙ j=1
• ^ ^k ∙ k=1
• ^ ^i∙ j=0
• ^^j ∙ k=0
• ^^ =0i∙ k
• ^^ ^i× j= k
• ^^ ^=j × k i
• ^ ^ ^k × i= j

Ottenendo: ^^( )=0i∙ kd ^^( ) =0i ∙ kdt( )^ ^=−dd i k^ ^k ∙ idt dt

Esiste unico il vettore tale che: ώ( )^d i ^= ώ × idt( )^d j ^= ώ × jdt( )^d k ^= ώ × kdt

Il vettore è definito vettore di Poisson. ẃ

Dimostrazione

Dimostro l’esistenza del vettore derivando rispetto ώ ^al tempo il versore .i

{ } { } { }( ) ( ) ( )^ ^ ^ ^d i d i d i d i ^ ^^ ^ ^ ^= + +i i j j k k=¿dt dt dt dt

{ }{ } ( )( )^ ^d i d k^ ^ ^ ^¿ =¿j j− i kdt dt

{ }{ } { }( )( ) ( )^ ^d i d k d j^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^( ) ( ) ( )¿ + + =¿j k × i i j × i k i × idt dt dt

{ }[ ][ ] [ ] ( )( ) ( ) ^^ ^d i d j d k^ ^^ ^ ^ ^ ^¿ + + =¿j k k i i j × idt dt dt^¿ ώ × i

Formula fondamentale dei moti rigidi

Considerando due punti O e P appartenenti al corpo rigido, ´ il vettore è solidale e la sua derivata è data dalla OP formula di Poisson: ´d OP ´= ẃ × OPdt

Da cui si ottiene la formula fondamentale della cinematica dei sistemi rigidi: ´´ ´= +v v ẃ × OP( ) ( )P O

Cinematica relativa del punto

Stabilita una terna fissa (Ω; ξ, η, ζ) ed una terna solidale (O; x, y, z) a . Σ

Si definisce moto assoluto del punto il moto di P rispetto alla terna fissa; moto relativo il moto di P rispetto alla terna solidale; moto di strascinamento il moto della terna solidale rispetto alla terna fissa.

Moti piani

Il punto P ha moto piano se la sua traiettoria è una γ curva piana.

Moto circolare uniforme

Il punto P ha un moto circolare se la sua traiettoria è un arco di circonferenza.

Il moto circolare uniforme è un moto periodico.

Siano O e R rispettivamente il centro ed il raggio della circonferenza traiettoria di P.

Fissato un sistema di ascisse curvilinee s, con origine in corrispondente al valore O dell’anomalia , si ha: P θOs(t)=Rθ(t) E )ś=R θ́( t

Nel moto circolare uniforme si ha: ś=v ∀ tov

E quindi: o ∀ t.θ́= R ( ) vv 2 πR o+ e =o θ ( )+ = +2 +θθ t t π θ tθ= t o ov RR

Da cui: ( )2 πR 2 πR = Rθ(t)=s(t)+ =Rθ( )s t t+v v

Moto armonico

Il punto P ha moto oscillatorio armonico se la sua legge oraria è del tipo: c t2+c(¿ )3( )=c ¿s t cos1

Siano A e due costanti: ( )= +γ )γ s t A cos( wt

Il moto di P si definisce oscillatorio armonico e | | | | osservando che s(o)=A E , la) = (wt + )cos γ s(t A cos γ ≤ A costante A prende il nome di ampiezza del moto, la costante fase iniziale ed infine w prende il nome di γ pulsazione.

Le proiezioni di P sugli assi cartesiani sono: =Rx cosθ(t ) =Rsenθy(t )

Le cui derivate seconde sono: 2x́=−R θ́ senθ−R θ́ cosθ2ý=R θ́ cosθ−R θ́ senθ

Il moto è uniforme se: v oθ́= REθ́=0

Quindi: ( )2v ox́+ x=0R( )2v o+ =0ý R

Moto elicoidale

Il punto P ha moto elicoidale se la sua traiettoria è un arco di elica circolare.

Dinamica del punto materiale

Leggi della dinamica

Un corpo soggetto ad una forza si muove in modo che la variazione nel tempo del suo “momentum” uguaglia la forza esercitata.

Questo ci permette di stabilire la prima equazione fondamentale della dinamica: m á= F́

Se la forza è applicata nel punto P di massa m, durante tutto il moto di P il secondo principio della dinamica diventa: ´( )( )m á= F́ ΩP , v́ t ,t

Conservazione dell’energia

Se le forze che agiscono sul sistema sono conservative, ´´ le forze attive che agiscono sui punti possono a ia ,e a , i= +F́ F Fi i essere derivate da un’energia potenziale V funzione delle coordinate di tutti i punti del sistema. V=V (x, y, z)

E tale che: ´a ∇=−F́ Vi i

Dunque per un sistema vincolato, con vincoli fissi lisci e bilaterali, l’energia totale meccanica E=T+V, si conserva durante tutto il moto.

Dimostrazione

n n´∑ ∑∇+ = + =W − =W −W =0É= T́ Ẃ Ẃ V v F́ vi i i ii=0 i=0

Campo di forza

Chiameremo campo di forza una funzione vettoriale F:→ le cui componenti siano di classe C1 in Ω. Dopo 3 3❑R R aver introdotto un sistema di coordinate O (x, y, z) scriviamo: ^^ ^F (x, y, z) =Fx (x, y, z) + Fy (x, y, z) + Fz (x, y, z)i j k

Con Fx, Fy, Fz di classe C1 in Ω.

Moto dei gravi

Il moto dei gravi è il moto di un punto materiale sotto l’azione della gravità.

Due esempi di moto grave sono quello del moto balistico e quello della caduta verticale di un grave.

Moti oscillatori

Un punto materiale soggetto unicamente alla forza elastica si chiama oscillatore armonico lineare semplice.

Se oltre alla forza elastica agisce anche una forza viscosa che si oppone al moto, il punto materiale si dice oscillatore armonico lineare smorzato.

Se oltre ad una forza elastica agisce una forza esterna, il punto materiale si dice oscillatore armonico lineare forzato.

Se agisce anche una forza viscosa assieme alla forza esterna, si dice oscillatore armonico lineare forzato e smorzato.

Principio di conservazione della quantità di moto e del momento angolare

Definita una quantità di moto o momento lineare: ṕ=m v́

Sia un versore la forza e sia , abbiamo allora: ^ ^ =0e , F́ F́ e^( )d p e ^ ^= = =0ṕ e F́ edt^

Se abbiamo che Fx=0 e quindi px=0. ^ =e i

Analogo ragionamento vale per gli altri versori.

Se tutte le componenti della forza sono nulle allora p è una costante del moto.

Definito il momento angolare: ( )=(P−O)Ḱ o × ṕ ´

Sia un versore, la forza e sia =0, abbiamo ^ ^e eF́ (o)N allora: ´( )^( )d K o e ´( ) ( )= ^ = ^ =0Ḱ o e Ń o edt ^

Se per Nx=0 e tutte le componenti sono nulle, ^ =e i abbiamo che è una costante del moto. ( )Ḱ O

Vincoli

Si definisce vincolo un qualunque dispositivo atto a limitare l’intervallo di variazione di una o più coordinate di un insieme di punti.

L’espressione matematica di un vincolo è un’equazione o disequazione detta di vincolo.

Nel caso di equazione di vincolo è detto vincolo bilaterale, nel caso di disequazione è detto unilaterale.

Spostamenti virtuali

In assenza di vincoli i punti materiali possono muoversi in qualunque direzione nello spazio. ^^ ^Indichiamo con il gene