Riassunto Meccanica Razionale

RIASSUNTO

ELEMENTI DI

MECCANICA

CLASSICA PER

L’INGEGNERIA

CINEMATICA DEL PUNTO E DEI SISTEMI MATERIALI.

GRANDEZZE CINEMATICHE

POSTO UN OSSERVATORE IN UN PUNTO FERMO E FISSO O;

SUPPONENDO CHE UN PUNTO P SIA IN MOVIMENTO

NELL’INTERVALLO DI TEMPO t Є [t , t ], LE POSIZIONI ASSUNTE DA P

1 2

RISPETTO AL PUNTO FISSO O SARANNO MESSE IN RELAZIONE CON

IL TEMPO DALLA FORMULA:

´ ´ ( ) ∀ ∈[t ]

OP= OP t t , t

1 2

E QUESTA RAPPRESENTA L’EQUAZIONE DEL MOTO DI P.

SIA LA TRAIETTORIA DI P E STABILITO SU UN SISTEMA DI

γ γ

ASCISSE CURVILINEE s:

´ ´ ( )

OP= OP s

s=s(t)

CHE CORRISPONDE ALLA LEGGE ORARIA DEL MOTO DI P.

PER UN PUNTO P CHE SI MUOVE LUNGO LA SUA TRAIETTORIA, SI

DEFINISCONO I VETTORI VELOCITà ED ACCELERAZIONE:

´

d OP ( )

=

v́ t

dt

d v́ (t)

á= dt

VELOCITÀ ED ACCELERAZIONE DEL TERNA INTRINSECA.

STABILITO UN SISTEMA DI ASCISSE CURVILINEE s CON TERNA

^

INTRINSECA ( SULLA TRAIETTORIA DI DI P:

^ γ

^ ¿

t , n , b

^

( ) ( )

=ś

v́ t t t

2

ś

^ ^

+

á= ś t n

ρ

DOVE È IL RAGGIO DI CURVATURA DI NELLA POSIZIONE

ρ γ

OCCUPATA DA P SU ALL’ISTANTE t.

γ

I VERSORI RAPPRESENTANO IL PIANO OSCULATORE A POSIZIONE

γ

OCCUPATA DA P ALL’ISTANTE t.

ESPRESSIONE IN COORDINATE POLARI DELLE GRANDEZZE.

UN PUNTO P SI MUOVE DI MOTO PIANO SE LA SUA TRAIETTORIA γ

è UNA CURVA PIANA.

STABILITO CHE P SI MUOVA DI MOTO PIANO, LA SUA POSIZIONE Può

ESSERE DESCRITTA TRAMITE DELLE COORDINATE POLARI ( , DI

¿

ρ ,θ

VERSORI: ´ ´

OP OP

´

^ =vers =

r OP= ´

| | ρ

OP

^

d r

^

h= dθ

CHIAMATI VERSORE RADIALE E VERSORE TRASVERSO.

SI Otterrà:

^

^

= +

v́ ρ́ r ρ θ́ h ^

( )

2 ^ +(ρ

á= ρ́− ρ θ́ r θ́+2 ρ́ θ́) h

LA VELOCITà ED ACCELERAZIONE Può ESSERE SCOMPOSTA A

SECONDA DEL VERSORE IN RADIALE E TRASVERSA.

FORMULE DI POISSON.

NEL CAMPO DELLA CINEMATICA RELATIVA, Cioè CON IL MOTO

RELATIVO DI UN SISTEMA SOLIDALE RISPETTO AD UN ALTRO,

INTRODUCIAMO LE FORMULE ED IL VETTORE DI POISSON.

CONSIDERANDO UN SISTEMA RIGIDO, UNA TERNA CARTESIANA

ORTOGONALE ( ED UNA TERNA SOLIDALE (0; x, y, z) IL

¿

Ω ; ξ , η , ζ

MOTO DEL CORPO RIGIDO è NOTO QUANDO è NOTO IL MOTO DELLA

TERNA SOLIDALE. QUINDI OCCORRE CONOSCERE COME VARIANO

^

^ ^

NEL TEMPO I VERSORI ( DEGLI ASSI SOLIDALI, OVVERO LE

¿

i, j , k

FUNZIONI:

´ ´ ( )

ΩO= ΩO t

^ ^

i= i(t)

^ ^ )

j= j(t

^ ^ ( )

=

k k t

PER LE QUALI VALGONO LE SEGUENTI CONDIZIONI:

^ ^

i∙ i=1

^ ^

j ∙ j=1

^ ^

k ∙ k=1

^ ^

i∙ j=0

^

^

j ∙ k=0

^

^ =0

i∙ k ^

^ ^

i× j= k

^

^ ^

=

j × k i

^ ^ ^

k × i= j

OTTENENDO:

^

^

( )=0

i∙ k

d ^

^

( ) =0

i ∙ k

dt

( )

^ ^

=−d

d i k

^ ^

k ∙ i

dt dt

ESISTE UNICO IL VETTORE TALE CHE:

ώ

( )

^

d i ^

= ώ × i

dt

( )

^

d j ^

= ώ × j

dt

( )

^

d k ^

= ώ × k

dt

IL VETTORE è DEFINITO VETTORE DI POISSON.

ẃ

DIMOSTRAZIONE.

DIMOSTRO L’ESISTENZA DEL VETTORE DERIVANDO RISPETTO

ώ

^

AL TEMPO IL VERSORE .

i

{ } { } { }

( ) ( ) ( )

^ ^ ^ ^

d i d i d i d i ^ ^

^ ^ ^ ^

= + +

i i j j k k=¿

dt dt dt dt

{ }

{ } ( )

( )

^ ^

d i d k

^ ^ ^ ^

¿ =¿

j j− i k

dt dt

{ }

{ } { }

( )

( ) ( )

^ ^ ^

d i d k d j

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

( ) ( ) ( )

¿ + + =¿

j k × i i j × i k i × i

dt dt dt

{ }

[ ]

[ ] [ ] ( )

( ) ( ) ^

^ ^

d i d j d k

^ ^

^ ^ ^ ^ ^

¿ + + =¿

j k k i i j × i

dt dt dt

^

¿ ώ × i

FORMULA FONDAMENTALE DEI MOTI RIGIDI.

CONSIDERANDO DUE PUNTI O E P APPARTENENTI AL CORPO RIGIDO,

´

IL VETTORE è SOLIDALE E LA SUA DERIVATA è DATA DALLA

OP

FORMULA DI POISSON:

´

d OP ´

= ẃ × OP

dt

DA CUI SI OTTIENE LA FORMULA FONDAMENTALE DELLA

CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI:

´

´ ´

= +

v v ẃ × OP

( ) ( )

P O

CINEMATICA RELATIVA DEL PUNTO

STABILITA UNA TERNA FISSA (Ω; ξ, η, ζ) ED UNA TERNA SOLIDALE

(O; x, y, z) A .

Σ

SI DEFINISCE MOTO ASSOLUTO DEL PUNTO IL MOTO DI P RISPETTO

ALLA TERNA FISSA; MOTO RELATIVO IL MOTO DI P RISPETTO ALLA

TERNA SOLIDALE; MOTO DI STRASCINAMENTO IL MOTO DELLA

TERNA SOLIDALE RISPETTO ALLA TERNA FISSA.

MOTI PIANI.

IL PUNTO P HA MOTO PIANO SE LA SUA TRAIETTORIA è UNA

γ

CURVA PIANA.

MOTO CIRCOLARE UNIFORME.

IL PUNTO P HA UN MOTO CIRCOLARE SE LA SUA TRAIETTORIA è UN

ARCO DI CIRCONFERENZA.

IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME è UN MOTO PERIODICO.

SIANO O e R RISPETTIVAMENTE IL CENTRO ED IL RAGGIO DELLA

CIRCONFERENZA TRAIETTORIA DI P.

FISSATO UN SISTEMA DI ASCISSE CURVILINEE s, CON ORIGINE IN

CORRISPONDENTE AL VALORE O DELL’ANOMALIA , SI HA:

P θ

O

s(t)=Rθ(t) E )

ś=R θ́( t

NEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME SI HA: ś=v ∀ t

o

v

E QUINDI: o ∀ t.

θ́= R ( ) v

v 2 πR o

+ e =

o θ ( )

+ = +2 +θ

θ t t π θ t

θ= t o o

v R

R

DA CUI:

( )

2 πR 2 πR = Rθ(t)=s(t)

+ =Rθ( )

s t t+

v v

MOTO ARMONICO.

IL PUNTO P HA MOTO OSCILLATORIO ARMONICO SE LA SUA LEGGE

ORARIA è DEL TIPO:

c t

2

+c

(¿ )

3

( )=c ¿

s t cos

1

SIANO A e DUE COSTANTI: ( )= +γ )

γ s t A cos( wt

IL MOTO DI P SI DEFINISCE OSCILLATORIO ARMONICO E

| | | |

OSSERVANDO CHE s(o)=A E , LA

) = (wt + )

cos γ s(t A cos γ ≤ A

COSTANTE A PRENDE IL NOME DI AMPIEZZA DEL MOTO, LA

COSTANTE FASE INIZIALE ED INFINE w PRENDE IL NOME DI

γ

PULSAZIONE.

LE PROIEZIONI DI P SUGLI ASSI CARTESIANI SONO:

=R

x cosθ

(t ) =Rsenθ

y

(t )

LE CUI DERIVATE SECONDE SONO:

2

x́=−R θ́ senθ−R θ́ cosθ

2

ý=R θ́ cosθ−R θ́ senθ

IL MOTO è UNIFORME SE:

v o

θ́= R

E

θ́=0

QUINDI:

( )

2

v o

x́+ x=0

R

( )

2

v o

+ =0

ý R

MOTO ELICOIDALE.

IL PUNTO P HA MOTO ELICOIDALE SE LA SUA TRAIETTORIA è UN

ARCO DI ELICA CIRCOLARE.

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

LEGGI DELLA DINAMICA.

UN CORPO SOGGETTO AD UNA FORZA SI MUOVE IN MODO CHE LA

VARIAZIONE NEL TEMPO DEL SUO “MOMENTUM” UGUAGLIA LA

FORZA ESERCITATA.

QUESTO CI PERMETTE DI STABILIRE LA PRIMA EQUAZIONE

FONDAMENTALE DELLA DINAMICA:

m á= F́

SE LA FORZA è APPLICATA NEL PUNTO P DI MASSA m, DURANTE

TUTTO IL MOTO DI P IL SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

DIVENTA:

´

( )

( )

m á= F́ ΩP , v́ t ,t

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA.

SE LE FORZE CHE AGISCONO SUL SISTEMA SONO CONSERVATIVE,

´

´

LE FORZE ATTIVE CHE AGISCONO SUI PUNTI POSSONO

a ia ,e a , i

= +

F́ F F

i i

ESSERE DERIVATE DA UN’ENERGIA POTENZIALE V FUNZIONE DELLE

COORDINATE DI TUTTI I PUNTI DEL SISTEMA. V=V (x, y, z)

E TALE CHE:

´

a ∇

=−

F́ V

i i

DUNQUE PER UN SISTEMA VINCOLATO, CON VINCOLI FISSI LISCI E

BILATERALI, L’ENERGIA TOTALE MECCANICA E=T+V, SI CONSERVA

DURANTE TUTTO IL MOTO.

DIMOSTRAZIONE.

n n

´

∑ ∑

∇

+ = + =W − =W −W =0

É= T́ Ẃ Ẃ V v F́ v

i i i i

i=0 i=0

CAMPO DI FORZA.

CHIAMEREMO CAMPO DI FORZA UNA FUNZIONE VETTORIALE F:

→ LE CUI COMPONENTI SIANO DI CLASSE C1 IN Ω. DOPO

3 3

❑

R R

AVER INTRODOTTO UN SISTEMA DI COORDINATE O (x, y, z)

SCRIVIAMO: ^

^ ^

F (x, y, z) =Fx (x, y, z) + Fy (x, y, z) + Fz (x, y, z)

i j k

CON Fx, Fy, Fz DI CLASSE C1 in Ω.

MOTO DEI GRAVI.

IL MOTO DEI GRAVI è IL MOTO DI UN PUNTO MATERIALE SOTTO

L’AZIONDE DELLA Gravità.

DUE ESEMPI DI MOTO GRAVE SONO QUELLO DEL MOTO BALLISTICO

E QUELLO DELLA CADUTA VERTICALE DI UN GRAVE.

MOTI OSCILLATORI.

UN PUNTO MATERIALE SOGGETTO UNICAMENTE ALLA FORZA

ELASTICA SI CHIAMA OSCILLATORE ARMONICO LINEARE SEMPLICE.

SE OLTRE ALLA FORZA ELASTICA AGISCE ANCHE UNA FORZA

VISCOSA CHE SI OPPONE AL MOTO, IL PUNTO MATERIALE SI DICE

OSCILLATORE ARMONICO LINEARE SMORZATO.

SE OLTRE AD UNA FORZA ELASTICA AGISCE UNA FORZA ESTERNA,

IL PUNTO MATERIALE SI DICE OSCILLATORE ARMONICO LINEARE

FORZATO.

SE AGISCE ANCHE UNA FORZA VISCOSA ASSIEME ALLA FORZA

ESTERNA, SI DICE OSCILLATORE ARMONICO LINEARE FORZATO E

SMORZATO.

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO E DEL

MOMENTO ANGOLARE

DIFINITA UNA Quantità DI MOTO O MOMENTO LINEARE:

ṕ=m v́

SIA UN VERSORE LA FORZA E SIA , ABBIAMO ALLORA:

^ ^ =0

e , F́ F́ e

^

( )

d p e ^ ^

= = =0

ṕ e F́ e

dt

^

SE ABBIAMO CHE Fx=0 E QUINDI px=0.

^ =

e i

ANALOGO RAGIONAMENTO VALE PER GLI ALTRI VERSORI.

SE TUTTE LE COMPONENTI DELLA FORZA SONO NULLE ALLORA p È

UNA COSTANTE DEL MOTO.

DEFINITO IL MOMENTO ANGOLARE:

( )=(P−O)

Ḱ o × ṕ ´

SIA UN VERSORE, LA FORZA E SIA =0, ABBIAMO

^ ^

e e

F́ (o)

N

ALLORA:

´

( )

^

( )

d K o e ´

( ) ( )

= ^ = ^ =0

Ḱ o e Ń o e

dt ^

SE PER Nx=0 E TUTTE LE COMPONENTI SONO NULLE,

^ =

e i

ABBIAMO CHE è UNA COSTANTE DEL MOTO.

( )

Ḱ O

VINCOLI.

SI DEFINISCE VINCOLO UN QUALUNQUE DISPOSITIVO ATTO A

LIMITARE L’INTERVALLO DI VARIAZIONE DI UNA O Più COORDINATE

DI UN INSIEME DI PUNTI.

L’ESPRESSIONE MATEMATICA DI UN VINCOLO è UN’EQUAZIONE O

DISEQUAZIONE DETTA DI VINCOLO.

NEL CASO DI EQUAZIONE DI VINCOLO è DETTO VINCOLO

BILATERALE, NEL CASO DI DISEQUAZIONE è DETTO UNILATERALE.

SPOSTAMENTI VIRTUALI.

IN ASSENZA DI VINCOLI I PUNTI MATERIALI POSSONO MUOVERSI IN

QUALUNQUE DIREZIONE NELLO SPAZIO.

^

^ ^

INDICHIAMO CON IL GENE