Riassunto corso Meccanica razionale (Prof. Ponno)

Meccanica Razionale

Anno Accademico 2019-2020

Prof. Antonio Ponno

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Dipartimento ICEA

Università degli Studi di Padova - Unipd

(

INTRINSECA

Fisica

CARATT )

Ad al

esempio mezzo

in mare

nave

una

.

. NONCHÉ determinare

loro

sono

→ a

( la degli

aggregati atomi

nonché ) dei

molecole di corpi

atomi

e massa e quindi

macroscopici .

( legame dei

tra neocloni

la massa )

dei macroscopici

la corpi

massa

e

POSIZIONE PUNTO MATERIALE

DEL :

determinare la posizione

per

del istante

punto ad ogni

di t

tempo . Il calcolo effettua

si

componenti

per Ht

÷

-

NOTAZIONI

EQUIVALENTI I

. È

È del tempo

vettori indipendenti

costanti

non e .

Io rt I !

nel tempo

costanti

e

, velocità

La linearmente

→ varia

tempo

nel .

l' accelerazione costante

è

→

L' Alt) wt

angolo velocità Ò=w

costante

avanza poiché

a

= .

[ di fissato

sistema coordinate che misurare

a

serve )

materiali nello

°"d"✓

punti

" spazio

" Esiste cioè un riferimento privilegiato nel quale un punto

isolato persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo

si considera un oggetto sufficientemente lontano da altri oggetti o sistemi con i quali esso possa interagire

S `e il sistema privilegiato ed S `e un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme

′

rispetto ad S con velocit`a ~v costante e arbitraria, allora le posizioni ~x(t) rispetto ad S e ~x′

(t) rispetto ad S′ di un punto materiale sono legate tra loro dalla relazione

In di riferimento materiale

sistema inerziale punto si muove

un

= un ,

È mai

la

secondo legge >

la forza F `e quel vettore che, se noto, permette di determinare il moto del punto materiale risolvendo questa

equazione.

FTH

↳ Si osservi che nel caso particolare di forza F identicamente nulla si ottiene che un punto con accelerazione nulla si

muove di moto rettilineo e uniforme. Se invece F = F `e costante, cio`e indipendente da t, si ottiene un moto

uniformemente accelerato con accelerazione costante F /m che

sappiamo per

Newton

deve

entrambi di

valere la legge :

forza esercita

che Q

→ ←

p

su due forze

Le essere

possono

non

→

forza di P !

→ µ jpg

INDIPENDENTI

Q

su . → appaio )

(

di Newton

deve valere

materiali

che punti la legge

sappiamo n

per

i. .

riferimento

Dato inerziale

di

sistema

un

forza data

punto

la è

che su un

agisce

= delle altri

forze

dalla che punti

gli

somma stesso

esercitano sul punto _

l' :L

anche :

O :*:

:÷:÷

÷ : ÷

po f- In riferimento

di

sistema le forze

qualsiasi agenti

un ,

funzioni

degli delle

note

materiali

punti sono

su ciascuno n del

di tutti

velocità

delle sistema

punti

posizioni e i

• )

( tempo

del NON

eventualmente da

anche DIPENDONO

. )

derivate di ordine !

della 2

a

posizione

htt l' flx

funzione

accelerazione è )

IIH t

,

§ nonché

, ,

dell' accelerazione

↳_È

- - La sola conoscenza di posizione e

velocità iniziali e l’uso ripetuto

dell’equazione per il calcolo delle

derivate successive sono sufficienti

per calcolare la posizione ad un

| istante precedente o successivo

vicino a quello iniziale!

.

m ÉO identicamente

In il sesto

questo implica

principio

caso

→ .

Equazione di Newton materiale

punto

singolo

un

per ( forze dipendono

della dei

basa

fisica dalle

di

parte modelli che

si

→ posizioni

su velocità

)

delle

punti materiali loro

e non forza }

di moto

stante

nulla

D casi

in :

- F- O rettilineo

xltt-xldtrtcdti.fm/!/?fcndrfe+oa--

unif .

È

cost la

una . unif

moto .

I

di Newton #

(

Eq attrito )

escluso accelerato

costante

uniforme

zia e

. di

^ Forza il basso

la verso

gravità

2=-9 .

→ xlhextoitvldttf.fi/os-mgezdr

→

-

Per

componenti : ( )

rettilineo

moto

il uniforme

è non

, parabola

il l'

lungo

punto di

→ si muove arco di

equazione una

→ AF )

parabola nel piano

di

P

consideri punto materiale in

massa

si

→ un

MOLLA IDEALE all'

attaccato della

estremo molla

libero .

P ( lunghezza molla

=

Wye

m

→ i →

Si hanno del

identiche materiale

sala coordinate

quali

3 punto

coinvolge

delle

equazioni una

ognuna f- dell'

É=-uT )

oscillatore

la armonico

risolviamo equazione

prima : funzione derivate

la

trovare cui

ovvero una alla funzione stessa

l'

seconda opposto

sia fatto

di

GENERALE di

soluzione due

SOLUZIONE famiglia

è

ma una a

, di

parametri soluzione .

Zcoslo

poichè )

tbsenlo a

)

XCOI > = awsincottbwcosld

x. cosa -

! wb

2 ! )

ftp..ua/

)

¥ !!

( ! è

La Ìldexo

Ìe

di

soluzione condizioni

uix iniziali :

con > e

-

ftp./! !f--/!)aoslwHtf!!)EsinlwH=XocoslwHtVo )

sinlwt

Ì forma

della

soluzione

cerchiamo

X una :

= - " cotcattgt

! Cnt

the

+ =

ÌÌÈ

" !

.fi?!!:mzeperosni

? "

In

cnnlnest ↳

= am »

EÉO htt

cnn.almtzllmta.int?oCmE--m?Ecm+almtasimtaiaemJ

ÌTX ! Cmlmtzllmttltcm 0

2=7 =

= Cmlmt

Cmtz

cioè : - )

(

1) mtz Ca

Ca E G-

m G-

in +

-

. = _

2 23.4

3.4

G-

Cg

m -4 =

. _

6

5. 3. 4. 5.6

2-

tiff Canti ¥!÷É

:c "

:{ Gcoslt

:{ )

Cari soluzione NA

è

una >

. -

Se costa

la

conosco -42.3

=L 23 = a%ea.FI

CE

EE - .

È .fi?!;;---G.sinh

tu ?

Hhece

.ee pian ! §

rei '

2- Xtiy

= =

l' ecoslotisenq

0

E forza

Consideriamo di

punto F

soggetto

materiale m

massa a :

un una

) P

È ( (

III

=p :#

Te del

IR è rispetto

punto

vettore

→ a

> posizione

te un' 0

fissata

• origine

0 .

Una forza l'

di detta del

0

tipo sistema

centrale

questo chiamato CENTRO FORZA

DI

è è

e origine .

ftp.rzlltp-xal )

) ò Ep

E-

per ,

tal

Ip - aItri

# )

mi

Newton

Eq =

. III fare

Dimostriamo definiamo

moto vettore

il poterlo

che il

su

avviene un piano e per

)

quantità

momento moto

della di

10

momento angolare . )

vettore angolare

momento

(

È Ìexms stxmv del moto relativo

= =

l' tttxttxmiltt

| È

rispetto

deriviamo tempo

al m

xmittthxfmii-it.mn#Ixnii=stxf

!

¥ -

.tk

!!

! - momento

ò poiché della

= paralleli forza

sono e

Io

ÉIINI ) text ]

stx i

forze centrali

Per eo

. . III

È Legge momento

=) di del

=D angolare

conservazione →

vale

( CENTRALI

PER

solo i MOTI

èlz è pt

) =

Ì dai dati

del

indipendente determinato

quindi il

risulta iniziali

valore

quindi tempo suo è :

l' Intimità

= questo

da

spostarsi uscire

possono piano

ma possono

non

!

^

/ jericho Fisica

hipopo

" " bbe !

direzione può

← non

ma

È costante tempo moto

nel nel

mila piano

-

\ .

èlo

di ortogonale ad

Il moto )

è

piano .

Eh

l'

IHI ttt definizione

poiché ortogonali

idea sono

. per .

)

( ÓIOKÌIO

( )

¥ ¥ xlxtylytzlz mito

-0 )

moto

di )

piano x

=

. t.c.l-lz.cz

Con riferimento

di sul

sistema di di il

sposta

cambio moto

ci

un piano

si e

""

"

e-

" "

"

" °

.ie#siiimoioa........i.. ,

»

Scriviamo l' di Newton componenti

equazione per ftp..fm "

*" È

l' ) EHI il ;)

¥ iii.

dove

" - mia EIIIIII

, IN

Introduciamo le legate

questo coordinate vip ad

polari

)

su piano ix. xey :

y TÈ

{

) da

( III

definita notando

rcosi

lo che ①

× F-

r - =

, : ,

tgp.tl

rsinp ②

y - X

) {

( #

Scrivendo È

MÌ NÉ

l' Newton otteniamo

di 0/(1×7) componenti

equazione per

-

- ii. AHI

)

Vogliamo (

polari

sistema ng la

coordinate

il introduciamo variabile

perciò

in

riscrivere :

xtiy-reitf-rcospairs.info dove l'

) !

2- unità ( 1)

i è i

immaginaria

= -

IZ ! III Ippia del

trazione potere Z

complesso

numero

.e u

III. )

lz

Osservazione r= ( )

DINI

A la iii.

Newton

questo di

seconda

punto moltiplichiamo equazione per

l' unità le

immaginaria sommiamo

e )

(

Iollzl ) Tetta

)¥ ZEE

miitimj xtiy mà

cioè

= = ,

Calcoliamo derivate

le al tempo

rispetto :

ora "

"

xltttiyltterltlei

the

2- ftp.reittripeit-liairjleit

E- irfleitotlrtirflipeit-clr-r.fi/tilzifitrjDeito=

lrtiiot

È # #

Sostituiamo di È )f¥

nell'

Ì

l' 2- IZI

( (

=D

)

t la re =p

m =

espressione equazione e

ora ,

mli .ro/tim(2ioitrI)--pmmli-roI=pcnmhi oitrozo {

{ roiaefoa

" ,

da

separando abbiamo

quella

parte reale

la immaginaria Zio È abbiamo

0

tr poichè

= non

immaginaria

parte .

2r.ro/tr=O=O--zfECr2o)=O

la

moltiplichiamo seconda # o

r

per

equazione (

È )

t

( de

ed ✓ Costante indipendente )

solo

è ANG

DEL

Conservazione Momento

se

vera = = .

!

aah

(

»

eàiàxmàhmlxii ! Ì

!

! ,

lz.in/xj-yir)=mImIzEtIzz=lx-iyllxtiid=lxItyj)riliy-yx ) )

[

" (

rei rtiroi lzemtmlzzt-mtmlre.it/rxiro)eid)=mIm/ritirrdl=mrri

È ) è "

E- - di

Cioè legge

coordinate

Newton del

di la

seconda

la polari momento angolare

conservazione

è

equazione in .

mito

le

Si dei dati

la lemridq.io

dunque determinata

costante iniziali

può )

porre con {

H ri )

mfi =p in

-

→

sostituiamo

la

È le →

= mpioitrjf.co

mra

roh.tn

{ mi - lz ( )

costante

mito a-

=

un

Jaffa 1a

sostituisce nella

si equazione

→ =ff÷t

mrffjf-E.lv Er Equazione

mi Moto RADIALE

mi ) DEL

)

- . •

)

Si dunque del dei

lo

ridotto studio due

problema

è studio

allo di sedere

Newton

della

corpi equazione

§ LI tramite

risolta sostituisce §

rft lo

)

ottiene

quale

la nella )

Lt

ricavare

si si

e per

equazione =

integrazione

semplice

una .

CONSERVAZIONE ANALISI QUALITATIVA

DELL' ENERGIA RADIALE

DEL MOTO

e

Abbiamo appena trovato l’equazione del moto radiale del punto, anche se l’equazione

appena determinata non si sa risolvere esplicitamente. Tuttavia possiamo trarre conclusioni

qualitative sul moto sfruttando una ulteriore legge di conservazione:

1) l'

Moltiplichiamo del radiale

moto i #

per

equazione o

È ittiosi

mi ii. ÷ Il

¥.net

k¥1

" ÷

. v'

3) Iolr

definiamo vk.fm

Vir primitiva cambiata di

di cioè

)

) una segno ,

finti ⇐

Ionie

f- )

Vini f- Veri

ovvero - - >

La funzione V(r) viene detta p

energia potenziale della forza #

)

¥1 tantum

)

Il

¥4 viri » -0 cioè si conserva

-

mjtzffftkrr.EU

Hraalrit ) l' moto

del radiale

potenziale

µ è

- energia e

- Hrad ( totale

) del

l' moto

i radiale

energia

è

r , ÒLO

determinate

Ig dei dati ridirlo

E costante ) )

iniziali e

=

La di

legge conservazione ttraalriit-EHHlrios.hn)

dell' del moto

energia

radiale .

fino ad ;

ora

abbiamo visto del moto radiale

in

IRT Se Se allora

trova

di intervallo

E radiale

moto

il

dato

corrispondenza valore che lz

in è

a energia un

si

un , ,

infinito definitivamente

SE dell'

limitato è allontana

punto

il

è semi in

se origine

si

invece ez -

, .

,

✓ )

( vuoto

insieme t

il EI

quindi rlt) istante

ogni

per .

Questo significa che la distanza del punto dal

centro di forza può variare da un valore minimo

a un valore massimo, ovvero che sul piano di

moto il punto si muove all’ interno di una

corona circolare delimitata dalla circonferenza

interna di raggio r1 e dalla circonferenza

esterna di raggio r2. § tempo

nel

#

Ovvero cresce

la decresce nel tempo

so e

se !

lzco

se

l' angolo antiorario

La rotazione diviene uniforme nel caso in cui l’intervallo in senso

avanza

I collassa in un punto (è il caso di moto circolare uniforme cambiare

può mai

orario

oppure

Corrispondente ai minimi locali di Ue.) e non

di !

rotazione

verso indefinitamente

rft ) può crescere velocità

la

ovvero diventa

radiale

costante

allontana

quindi indefinitamente

materiale

punto

il si

se

moto asintotica uniforme

rettilineo

il è e .

l' È

Ò

Nel LEO che O

segue

cui

in per

ovvero

caso -

= l'

rettilineo

t radiale

moto contiene

il è e equazione

ovvero

ogni , 0/(1×1)

tutta mi poichè

di

l' informazione esso

su >

. variabile

considerata reale

viene come

✓ .

La legge di conservazione dell’energia si interpreta dicendo che le coppie di

•

- )

(

posizione e velocità radiali permesse Appartengono all’insieme di livello

r.si

)

E della funzione hradlr.si .

Tale insieme è dato in generale dall’unione di curve e punti isolati nel piano i

r .

,

L’insieme di tutte le curve di livello E dell’energia, al variare di E, prende il nome

di diagramma di fase del moto radiale.

L’insieme di livello Si determina in questo modo:

Arad E Descrive due grafici di funzioni che

possono appartenere alla stessa curva

oppure no, ma sicuramente sono

simmetrici rispetto all’asse r.

ai Andiamo ora a fare l’analisi del moto di due punti materiali

isolati P e Q che interagiscono tra loro tramite una forza.

di Newton

Equazioni del sistema : Èpa

{ mp =

:

funzione :O " =

e

. Èpa

ma -

=

membro

membro a :

Vettore posizione = del

l'

risolve

se si

e equazione

moto risolve

di questa

radiale si

equazione

,

il problema due !

dei corpi

15-10-2019

Posizionatela baricentro

p f

÷ ,

È

mpÌ+mo

f. emicrania

mpi-mo.IQ

mq

mpt Xa

O ' ,

tempo 1- tema

mptmq mptmq

forma

di

Equazione rotta parametrica

punti

2 in

una per 1=1

P

Ilva a)

Atp Io

4- *

+ =

,

zittita

altre beh

= - a. o

f- Aitiatxioi ) o

Per ( )

Q

Eh P

# segmento orientato

0 parametri il

si -

zza .

Leggi di 2

dei

problema

il

generali

conservazioni corpi

per

Il problema dei due corpi ammette due leggi di conservazione generali, precisamente si

conservano il Momento Angolare Totale e l’energia totale del sistema

1) Conservazione totale

del momento angolare )

(

Si definisce due

sistema pe

momento totale di Q

del

angolare punti

il vettore dei punto

del