Riassunto esame Meccanica razionale, Prof. Mauri Marco, libro consigliato Teoria meccanica razionale , Magri

Un sistema strutturale si dice isostatico quando:

 Dove: •  è il numero di aste (o elementi strutturali),

•  è il numero di reazioni vincolari,

•  è il numero di nodi o giunzioni.

Questo implica che il sistema non è né iperstatico (troppi vincoli) né labile

(insufficienza di vincoli).

1.2 Calcolo delle reazioni vincolari

Le reazioni vincolari sono le forze e i momenti generati dai vincoli (ad esempio,

cerniere, incastri, appoggi fissi o mobili) per mantenere l’equilibrio della

struttura. Si calcolano utilizzando le equazioni di equilibrio:

• Somma delle forze orizzontali (): l’equilibrio lungo l’asse ,

• Somma delle forze verticali (): l’equilibrio lungo l’asse ,

• Somma dei momenti (): l’equilibrio rotazionale.

Ad esempio, per una trave semplicemente appoggiata:

1. Si calcolano le reazioni verticali nei due appoggi.

2. Si considerano eventuali carichi concentrati, distribuiti o momenti

applicati.

1.3 Azioni interne nelle travi

Le azioni interne rappresentano le forze e i momenti interni che agiscono sulla

sezione trasversale della trave. Vengono determinate tagliando virtualmente la

trave e applicando le equazioni di equilibrio al segmento rimanente.

• Sforzo normale (N): Componente lungo l’asse della trave

(compressione o trazione).

 • Taglio (T): Forza perpendicolare all’asse della trave.

 • Momento flettente (M): Momento che tende a piegare la trave.

 1.4 Diagrammi delle azioni interne

I diagrammi di sforzo normale (N), taglio (T) e momento flettente (M)

descrivono la distribuzione delle sollecitazioni lungo la trave. Sono costruiti:

1. Determinando le discontinuità dovute a carichi concentrati o

distribuiti.

2. Risolvendo le equazioni di equilibrio per ogni tratto della trave.

3. Integrando per ottenere il momento flettente a partire dal taglio.

Esempio per una trave con carico concentrato  al centro:

• Diagramma di taglio: costante su ciascun lato ( e ).

• Diagramma di momento flettente: parabola con massimo al centro.

1.5 Applicazioni

• Ponti, edifici, gru e altre strutture ingegneristiche.

• Analisi preliminare per strutture più complesse (iperstatiche).

2. Meccanica del continuo

La meccanica del continuo studia il comportamento di materiali e strutture

considerandoli come mezzi continui, senza discontinuità o microstrutture

(idealizzazione valida per molti problemi ingegneristici).

2.1 Stato di sforzo

Lo stato di sforzo in un punto di un corpo è descritto dal tensore degli sforzi di

Cauchy:

 Dove: •  sono gli sforzi normali.

•  sono gli sforzi di taglio.

Le equazioni di equilibrio per il tensore degli sforzi sono:

 Dove  sono le forze per unità di volume.

2.2 Stato di deformazione

Lo stato di deformazione è descritto dal tensore delle deformazioni:

ESERCIZI TRATTATI

Ecco una panoramica degli esercizi tipici trattati nel corso di “Meccanica dei

Solidi e delle Strutture”, basato su quanto generalmente previsto per un corso

da 10 CFU in ingegneria dei materiali al Politecnico di Milano.

1. Esercizi sulla Statica dei Sistemi Isostatici

1. Calcolo delle reazioni vincolari:

• Una trave semplicemente appoggiata con carichi concentrati e

distribuiti.

Esempio: Determinare le reazioni agli appoggi per una trave con un carico

concentrato  al centro e un carico distribuito  lungo la trave.

Soluzione:

• Scrivere le equazioni di equilibrio ().

• Determinare le reazioni agli appoggi.

2. Diagrammi delle azioni interne:

• Tracciare i diagrammi di taglio e momento flettente per una trave

con carico uniforme.

Passaggi: