Riassunto corso di Meccanica Razionale

Meccanica Razionale

• Nomenclatura dei vettori

  _{O O'} P

  ^M→ = (P - O)

• Proiezione lungo la retta

  y ≡ y(t)

  x = x(t)

  z ≡ z(t)

  La proiezione vale: [(P-O)∙^M]= [(_O-_M)∙^M]^x

• Prodotto Vettoriale

  |^a_xb^b| = |a| |b| sin θ

  i j K a_x a_y a_z b_x b_y b_z

  !! Genero un piano. Il modulo è uguale all'area del piano generato !!

• Vettore Applicato

  Fornito da una coppia (P,^u): P - punto di applicazione, ^u - vettore

• Momento di una Forza (o di un vettore)

  Chiamando:

  P - p.to di applicazione

  O - polo

  ^v - vettore

  M_O = (P-O) × ^v

• Formula del trasporto dei momenti

  Chiamando:

  P - p.to appli

  O - polo 1

  O' - polo 2

  ^v - vettore

  M_O' = (P-O') × ^v = M_O + (O-O') × ^v

Meccanica Razionale

• Nomenclatura dei vettori

  \(\vec{M} = (\overrightarrow{P-O})\)

• Proiezione lungo la retta

  Per proiezione vale: \(\left( \overrightarrow{P-O} \cdot \overrightarrow{M} \right) = \left( \overrightarrow{O-M} \right) \cdot \overrightarrow{x}\)

• Prodotto Vettoriale

  \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta\)

  \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}\)

• Vettore Applicato

  Definito da una coppia \((P, \vec{u})\): P punto di applicazione, \(\vec{u}\) vettore

• Momento di una forza (\(p.d.\) in vettore)

  Chiamando:

  • P: p.to di applicazione
  • O: polo
  • \(\vec{u}\): vettore

  \(M(O) = (\overrightarrow{P-O}) \times \vec{u}\)

• Formula del trasporto dei momenti

  Chiamando:

  • P: p.to di applicazione
  • O: polo 1
  • O': polo 2
  • \(\vec{u}\): vettore

  \(M_{O'} = (\overrightarrow{P-O'}) \times \vec{u} = H_O + (\overrightarrow{O-O'}) \times \vec{u}\)

!! Genera un piano. Il modulo è uguale all'area del piano generato.

Formula per gli scivolii

|H_o| = |l²| b · sin² |(P-O) senΘ

Vesco di H_o

Uscente se Φ > 0, Entrante se Φ < 0

Coppia

"Somma dei momenti"

Coppia (P-O) × v³ + (Q-O) × (-v³)

= [(P-O) - (Q-O)] × v³ - (P-Q) × v³

O_o, il polo, non compare

Cinematica del punto materiale

• Vettore posizione

  v(t) = (P(t) - 0)

• Moto rettilineo

  v(t) = (f t) î

  î = vettore direzione lungo la quale il corpo si muove

• Moto circolare

  v(t) = [R cos Θ] î + R sen Θ ĵ

• Velocità

  Derivato del vettore posizione rispetto al tempo

  v(t) = d(v t) / dt = (v(t+Δt) - v(t)) / Δt = dv / dt = lim (Δt → 0) Δv / Δt

  v(t) = ý(t) î

  (il vettore resta sempre tangente alla curva traettoria)

• Moto regolare

  Chiamando f(t) da O a t₁ l'espressione del moto, il moto si dice regolare ↔ f(t) ∈ C¹ da t₀ a t₁ ∧ f'(t) ≠ 0

• Rappresentazione cartesiana

  { ý(t) = x'(t) î + y'(t) ĵ + z'(t) &kcirc;

  a(t) = (x'(t) î + y'(t) ĵ + z'(t) &kcirc;)

Coordinate Polar

x = r cosθy = r senθ ⇔

r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)

Vettor Posizione in Coord. Polar

r(t) = x(t)i + y(t)j ⇔ r(t) = x(t)i + y(t)j

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