Riassunto corso di Meccanica Razionale

Meccanica Razionale

• Nomenclatura dei vettori

_o P _m

_m = (P - o)

• Proiezione lungo la retta

Proiezione vale:

• Prodotto Vettoriale

|_•x b| = |a| |b| . Sen θ

a x b =

| i j k |

| a₁ a₂ a₃ |

| b₁ b₂ b₃ |

!! Giace su un piano. Il modulo è uguale all'area del piano generato!

• Vettore Applicato

"Formato da una coppia (P, _v)": { P punti di applicazione _v vettore }

• Momento di una forza (o di un vettore)

Chiamando:

P : pt. di applicazione

O : polo

_v: vettore

M_o = (P - O) x _v

• Formula del trasporto dei momenti

Chiamando:

P : pt. app.

O : polo 1

O' : polo 2

_v: vettore

M_o' = (P - O') x _v = M_o + (O - O') x _v

• Fornula per gli esercizi

|_Ho| |_b| • |¹/_b| • |¹/₂| • (P - O)•senθ

Verso di H_O

Uscente se θ è volare in seno autotenova

Entrante α novare danno

b = (b - P)•senθ

Coppia

“Somma di momenti”

Coppia = (P - O) x z^z = ((Q - O) • λ (-z^z))

= [ [(Q - O) - (Q - O)] λ • ū] - (P - O) λ x^z ]

“O, il palo non compare”

Cinetimica del punto Materia

• Ventine posizione

v(t) = (P(t)^ċ - O)

L'ositione di P → fusione del tempe

• Moto rettunioro

v(t) = ṙ(t) ȷ

ṙ(t) = f^[_M](t)

si vetten devoulu lungo la coola

il corpo si muvoo

• Moto cilconale

v(t) = R•cosθ(t)ȷ + Rsenθ(t)ġ

• Sielevuta

Derivate del wettaor poi same invieta et tempo

σ(t) = dv(t)/dt = v(t + Δt) - v(t) / Δt

σ(t) = v̇ (t)

le vettore sour seme tanguale nella dunun

(mutatouva)

• Moto noncaone

‘Cheunando (f) da b a l, l’expression del waton, il auto dihi ueguale x f(t)

C^[_M] =

{f(t) + ⩲0

{f(t) + Ƚ

• Rappresentivone cartesiana

{ - (t) = v̇ (t)x (t) ȷ + y (t)ȷp + z(ż) = z

a(t) = v̇ ȷ(t) - v̇ ȷ(t) = x(t)

K + ẏ (t)ȷ + (1 - (t) ȷ)(R)^

Configurazione del sistema

Insieme di tutte le posizioni dei punti P_i ad un istante t(inclusi nei vincoli)

Atto di moto

Insieme delle posizioni e delle velocità nell'intento t di ogni punto P_i.

Vincolo

Si rappresenta con una funzione differenziabile:

• Bilatero: Se ψ>(P, t) ≥ 0
• Unilatero: Se ψ(P, t) = 0
• Holonomo: Opposto di Lisso
• Lisso: Dipende da esplicita-smente dal tempo
• Holonomo: Se è di relazione che lo traduce in sola dipendenzadalle coordinate dei punti.
  • φ(P) = 0 per come è la F.T
• Amononico: Opposto di Holonomo, cioè contiene per forzadifferenziale

Esempi chiarificatori

1. Parti da un punto lungouna retta fissa

   χ(Olonomo: Per un movimento Gen_i indeterminatoQ_i determinabile)

2. Parti in moto lungo una retta che ruota

   Olonomo: 2Porque el tiempo por forzabilatero

Coordinate libere (gradi di libertà)

Sono gli unici essenziali. Occorre tuttavia definire la configurazione di sistema.

Esempi

1. Spostare 3 dimensione tra 3 quali x' blocco.

1. 1
2. 4
3. ...

2. Consideriamo due parti A, B mozzi vertici nelai due motionabili.Scopo: Assegnare la configurazione del sistema.

1. Deve col gruppo di assegurre le posizioni A, B
2. a. In A trovato X_A, x', X istante necessario perdare la coordinazione dei terzu
3. b. Lo spostarsi essendo esiste coordinate. F_xEs. F_yA
   • ^X_A X_fucker R^oto(costo) -> x'—Vedere d'angle sin
   • Re_act.io.n Eremi

Osservazione

Nota a piè presente:N'3 grado liberimeterX_F q_1.sub Mexes q_p

Notazione delle coordinate libere

q₁, q₂, q₃, q₃ = Θ

(Riproponendo Esempio 2)

Riduzione di Sistemi di Forze

• Sistemi Equivalenti (S ≈ S')
  • S ≈ S' sono equivalenti se { R = R', H_P = H'_P }
• Detrazione Risultante
  • H_B = (A - B) × R, H_A = (B - X) × R + H_X
• Invariante rispetto
  • I = R ⋅ H_P P è un polo qualsiasi

Teorema

"Polo P invariante e H_P invariato, mentre nel calo P del sistema S

e I = R ⋅ H_P, allora il problema si risolve nei seguenti casi:

• I ≠ 0 Sistema F ha una coppia
• I = 0, R = 0, H_P ≠ 0 S è un Sistema Nullo (S è un problema Equilibrato)
• I = 0, R = 0, R ≠ 0 S ad maiorem coppia (non solvato)
• I ≠ 0, R ≠ 0 S non ad un sistema complesso per una unica forza F è riportata nelle...

Per Risolvere con I = 0

• Forze Centrali
  • S = L contiene una Forza centrale, le retto di applicazione...
• I = 0: Forze Piane
  • Δ_E (piano inclinato) ≈ Δ_X P...
• I = 0: Forze Parallele
  • Tutte le F_x scrivono F_X (il valore generico coincide...

Tracciando I = (R ⋅ H_P), e_X, e_X, cos(30)

1. Annula il qui scritto ♯ ΣF_i = Σ(A - G) ... = 0

• G è il centro della Forze Parallele ed è unico

Quantità Meccaniche per i Sistemi di Pti Materiali

• Sistema a punti materiali
  1. Quantità di moto: \( \mathbf{Q} = \sum_{k = 1}^N m_k \mathbf{v}_k \)
  2. Momento angolare: \( \mathbf{T}_A = \sum_{k = 1}^N (\mathbf{R}_{P_k} - \mathbf{A}) \times m_k \mathbf{v}_k \)
  3. Energia cinetica: \( T = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^N m_k \mathbf{v}_k^2 \)
  4. Potenza: \( \dot{T} = \sum_{k = 1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{v}_k \)

• Sistema a differenzio baricentrale (con origine in G)
  1. \( \mathbf{Q} = M \mathbf{v}_G \)
  2. \( T = \frac{1}{2} M v_G^2 + T' \)

dove

• \( M = \sum_{k = 1}^N m_k \) massa tot del sistema
• \( \mathbf{v}_G = \sum_{k = 1}^N \left( \frac{m_k \mathbf{v}_k}{M} \right) \) velocità del centro della massa

• \( \mathbf{T}_A = (\mathbf{G} - \mathbf{A}) \times M \mathbf{v}_G + \mathbf{T}_G \) attività: \( \mathbf{T}_A = (\mathbf{G} - \mathbf{A}) \times M \mathbf{v}_G + \sum_{k = 1}^N (\mathbf{R}_{P_k} - \mathbf{G}) \times m_k \mathbf{v}_k \)

• Momento di Inerzia
  1. Per un sistema S ed un asse una retta r
     • \( I_a = \sum_k U_k (r_k)^2 \) con d.o.c. dist. P_i-a
  2. B_ds in CR continuo Bordo \( B \) da punti P ed un asse a
     • \( I_{a} = \int_{B} \rho (P) d^*(P) dV(P) \) Sog a quasuna di P
       ...
• Momenti d'Inerzia Importanti
  • Disco di raggio R e massa m
    • \( I_x = I_y = \frac{1}{4} mR^2 \)
    • \( I_z = \frac{1}{2} mR^2 \)
  • Anello di raggio R e massa m
    • \( I_x = I_y = \frac{1}{2} mR^2 \)
    • \( I_z = mR^2 \)
  • Ellisse rettangolare di semiassi a, b; massa m
    • \( I_x = \frac{m}{4} (a^2 + b^2) \)
  • Asta passante su z di lunghezza L e massa m
    • \( I_x = 0 \)
    • \( I_y = I_z = \frac{1}{12} mL^2 \)
• Teorema di Huygens-Steiner (o degli assi paralleli)
  • Un momento di inerzia rispetto ad un asse esterno a =
  • \( I_a = I_0 + md^2 \)
  • dove \(\int_{B} \rho (P) d^*(P_o) \), per un asse passante per il baricentro
• Matrice d'inerzia (tensore d'inerzia)
  • É una matrice che riguarda

Esendo I la quantità. I=AA