Riassunto Meccanica Razionale ( fisica matematica )

Massa e baricentro

Massa

Si dice massa del corpo C algebrica M cosi definita

M = Σ_i m_i - caso discreto

Il numero M puo essere negativo a non senso al valore del sistema di riferimento

Baricentro

Si dice baricentro o centro di massa di C il punto G dello stesso C algebrico soggetto dalla tema che ... , statici seguendo media conturiera pesata

OG = 1/M Σ_i m_iOP_i - caso finito

OG = 1/M_h (P)OP_i ...

Proprieta del Baricentro

La definizione di baricentro non coincide dalla tema statico

Dim

Sea C i x_i y_i z_i unica la tema

"se il sistema materiale è omogeneo, il centro di massa coincide con il centro geometrico del sistema".

ck e proprio c definizione di continuità

"le masse di un sistema materiale sono distribuite lungo una retta

o su una superficie piana, allora il baricentro si troverà su quella

retta o su quella superficie piana."

DIM: Sia CmX la retta contenenti i, allora se P ∈ i si ha che OP = x → i quindi:

[^{OG = \frac{1}{M} \int_T \rho OP d \varphi = \frac{1}{M} \int_T \rho x i dx = [ \int_T \rho x dx ] i = X _G i]}

3)"il baricentro di due punti materiali divide il segmento che li congiunge in

inversa proporzionalità alle rispettive masse."

Dim: Siano (P₁, m₁) e (P₂,m₂) i due punti materiali

se calcoliamo il baricentro rispetto ad P₁ otteniamo:

[^{PG= \frac{m_2}{m_1+m_2} P₂ P₁}]

Divider

l'inversa proporzionalità si ottiene considerando P₂ come origine e calcolano

il baricentro rispetto ad essa :

[^{P₂G= \frac{m_1}{m_1+m_2} P₂ P₁}]

Divider

Dunque zappato i modulo si ha : [^{\frac{|PG|}{|P₂G|} = \frac{m_2}{m_1}}]

Piano di simmetria

Dato un sistema materiale C, si dice piano di simmetria materiale per C un piano π che sia un piano di simmetria per il sistema geometrico corrispondente e tale che i punti simmetrici rispetto col loro cubito e danno mezzi.

Momento d'inerzia

Sia n una retta ed X = (Ω,m) un elemento retine

d (Ω,n) = la distanza di X da n

I_n^a = md² → momento di masse

nel caso online

[ I_n = ∫_t ρ(P) d²(P,n) dt ≥ 0 ]

Velocità e accelerazione nella cinematica rigida

Introduciamo due terne solide. O₁, X₂, X₃ dei versi Û_k con k=1, 2, 3 fiss e la seconda O', Ỹ₄, Ỳ₃ di versore i ^q con k=1, 2, 3 solidale al corpo rigido. Studiamo il moto del generico punto P del C

L'equazione del moto di P:

OP(t) = OO'(t) + O'P(t) =:

= c₁(t) e•₁ + c₂(t) e$ⁱ₁ + c₃(t)e♌^¹ + Ỹ₄ ß_i(t) Ỳ + Ỹ₄(t) + Ỳ₃ ß₁(t)

dove c_i sono le componenti del vettore OO’' e Ỹ_i le componenti del vttore O'Pⁱ

Derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità di P rispetto la terna fissa

V_p = ^dOP^d_dt = ^d_dt ∑c_i(t)i^fk Û_i + ^d ÷_dt ∑^dt șiⁱ'∫(t)

La prima sommatria e la velocità dell'origine solidale O' Û₁:/VO^{i d} ÷_ci^t△

Per la seconda sommatoria introduciamo la formula di Poissson:

[_di^ϵt ÷^c] = w χ i

dove w e della velocità angolare della terna solidale rispetto a quella fissa

Applicando quindi la formula di Poisson otteniamo

[ V _p = V ʘ' + w χ ∑ Ⓐ ß_i(t) Û]= Ỹ₄(O'P)