Riassunto Meccanica Razionale ( fisica matematica )

Massa

Si dice massa del corpo C la quantità M così definita:

M: _i=1∑ⁿ m_i caso discreto
M: ∫_C ρ(P) d³x caso continuo

La massa è sempre non negativa e non nulla al variare del sistema di riferimento.

Baricentro

Si dice baricentro o centro di massa di C il punto G detto dalle masse M_i definite rispetto alla terra data C_i, ossia rispetto media continua piena:

OG=¹/_M∑_i=1m_iOP_i caso finito
OG=∫_C1/M ρ(P)dV caso continuo

Proprietà del baricentro

• La definizione di baricentro non dipende dalla terra scelta.

DIM: Se C' è X' Y' Z' un'altra terra:

OG'=¹/_M∑_i=1m_iOP_i=¹/_M∑_i=1m_i(OO'+O'P_i)=OO'+¹/_M∑_i=1m_iOP_i=O = O'CO'+CG: OG'=OG, OG'=0, OG=0, G=G'

Si dice massa del corpo C la quantità M così definita:
M: M:

La massa è sempre non negativa e non varia al variare del sistema di riferimento.

Baricentro

Si dice baricentro o centro di massa di C il punto G detto dalle massa MOG:

• La definizione di baricentro non dipende della terra scelta.

Dim: OG' = OG = OG

• "Il sistema materiale è omogeneo, allora il baricentro coincide con il centro geometrico del sistema".

↥ = pmis(t)Σ∫ 1/M ∫_sρOPdΣ = P/pmis(t)Σ∫_sOPdΣ = 1/mis(B)Σ∫_sOPdΣ

che è proprio a definire il baricentro nella direzione d, R momento• _{o T} volume• massa• volumeo T' della misura spaziale

• "Se le masse di un sistema materiale sono distribuite lungo una retta, o su una superficie piana, allora il baricentro si troverà su quella retta o su quella superficie piana."

Dim: Sia Ox la retta contenente Σ, collea di Pε Σ si ha da OP=x i

Quindi:

Σ∫ 1/M ∫_sρCPdΣ = 1/M ∫_τρx i dxΣ∫_τρx dx[1/M ∫_τρxdx] i x_G i

• "Il baricentro di due punti materiali divide il segmento che li congiunge con misura proporzionale alle rispettive masse."

Dim: Siano (P₁,m₁) e (P₂,m₂) i due punti materiali e calcoliamo il baricentro rispetto a P₁ otteniamo:

P₂G = m₂(m₁+m₂)↝P₁P_C • ottenere

L'inversa proporzionale si ottiene considerando P₂ come origine e calcolando il baricentro rispetto ad esso:

P₂G= m₁(m₁+m₂)↝P₂P₁ • diviene

Dunque rapportando i moduli si ha:

⎟P₂G⎡⧦ = m₂⎟P₂G⎡⧦ m₁

Dim. Nel caso finito si ha: m_i = m, ∀ i, dunque M = m*n

Quindi la definizione :

[ _OG= ¹/_{M i=1}∑^m m_iOP_i = ^pM/_{mM i=1}∑^m OP_i = ¹/_{m i=1}∑^m OP_i]

Nel caso continuo le masse => M = ρmis (3)

Quindi il baricentro è dato:

[₀G=¹/_M∫_f ρOP ds =^p/_ρmis(3) ∫_f OP ds= ¹/_mis(3) ∫_f OP ds]

Lo è la definizione che controlla! Indipendente dalla nome dai singoli elementi.

Proprietà distributiva del baricentro

Comunque si decomponja un sistema materiale C di due sottosistemi di massa m₁ ed m₂ e baricentri G₁ e G₂, allora il baricentro totale G è dato da:

CG = 1/ (m₁+m₂) (m₁OG₁ + m₂OG₂ )

Sia S l'unione disgiunta dei due sottosistemi S₁ e S₂ cioè :

S = S₁ ∪ S₂ Allora si ottiene :

M= ⨍_S ρ dΣ = ⨍_S1 ρ dΣ + ⨍_S2 ρ dΣ = m₁ + m₂ ed :

⨍_S