Riassunto istituzioni e mercati finanziari 3

M

R

∑

= ( ) )

M R=(

E quindi ∑ −t

t (1+i)

(1+i)

Obbligazione con cedola

Per calcolare il rendimento a scadenza per un'obbligazione con cedola, si utilizza la stessa

impostazione usata per il prestito a rata costante (facendo corrispondere al valore odierno, ovvero il

prezzo, dell'obbligazione il valore attuale di tutti i suoi flussi futuri).

Nel caso dei titoli obbligazionari con cedola, si è soliti parlare in Italia, oltre che di rendimento a

scadenza, di tasso di rendimento effettivo a scadenza, conosciuto con l'acronomico TRES.

Il TRES si basa su questi ipotesi:

1. Il mantenimento del titolo fino a scadenza e di conseguenza il suo rimborso al valore

nominale

2. Il reinvestimento dei flussi intermedi (le cedole) a un tasso che è costante e pari al TRES ed

è determinato al momento iniziale dell'investimento.

Il TRES rappresenta una misura ex ante.

11 C C C VN FC

∑

+ + + ( )

P= P=

(1+i ) 2 n n t

(1+i ) (1+i) (1+i) (1+TRES)

Obbligazione con cedola semestrale

La cedola semestrale si ottiene dividendo per 2 la annua, il TRES utilizzando l'inversa.

Quando il prezzo dell'obbligazione con cedola corrisponde al suo valore nominale, il TRES

equivale al tasso cedolare.

Il prezzo di un'obbligazione con cedola e il TRES sono negativamente correlati, se il rendimento a

scadenza aumenta, il prezzo dell'obbligazione diminuisce e viceversa.

Il TRES è superiore al tasso cedolare quando il prezzo dell'obbligazione è inferiore al suo valore

nominale.

Esiste un caso speciale di obbligazione, chiamata rendita perpetua o consol, si tratta di

un'obbligazione perpetua senza data di scadenza e nessun rimborso del capitale che garantisce per

sempre pagamenti di cedola fissi pari a C.

C

=

P C i c

Una caratteristica interessante delle rendite perpetue è che consentono di vedere immediatamente

che, quando i aumenta, il prezzo dell'obbligazione diminuisce.

c

Quando un'obbligazione di questo tipo ha una scadenza a lungo termine (più di 20 anni, per

esempio) diventa molto simile a una rendita perpetua.

Questo accade perché i flussi di cassa, proiettati nel futuro per oltre 20 anni, hanno valori attuali

scontati così bassi che il valore di un'obbligazione con cedola a lungo termine è molto prossimo a

quello di una rendita perpetua con lo stesso tasso cedolare.

Per questo motivo i vale a dire il pagamento di cedola annuale diviso per il prezzo del titolo, ha

c

preso il nome di tasso di rendimento immediato e viene spesso usato come un'approssimazione per

descrivere i tassi di interesse sulle obbligazioni a lungo termine

Zero-coupon bond

Lo zero-coupon bond è un titolo obbligazionario privo di cedole, il cui rendimento è determinato

dalla differenza tra il prezzo di emissione (o di acquisto) e il valore di rimborso.

Viene sempre acquistato a un prezzo inferiore al valore nominale e per questa ragione viene

denominato “titolo a sconto”. 360

(VN−P) VN ( )

) −1

ggg

i= i=(

P P

Abbiamo utilizzato all'esponente un anno di 360 giorni. Per convenzione si distinguono l'anno civile

(formato dal 365 giorni) e l'anno commerciale (formato da 360 giorni).

3.1.4 Riepilogo

Il rendimento a scadenza di un titolo è il tasso di interesse che fa corrispondere il valore attuale dei

flussi di cassa futuri su quello strumento al valore del titolo stesso.

3.2 Differenza fra tassi di interesse reali e nominali

Finora, abbiamo ignorato gli effetti dell'inflazione sul costo del prestito.

E' importante distinguere il cosiddetto tasso di interesse nominale (che appunto non considera

l'inflazione) dal tasso di interesse reale, che può essere chiamato tasso reale ex ante, perché è

aggiustato per le variazioni attese nei prezzi. Quest'ultimo è considerato il più importante nelle

decisioni economiche.

Il tasso di interesse aggiustato per tenere conto delle variazioni effettive nel livello dei prezzi è

12

chiamato tasso di interesse reale ex posto.

Il tasso di interesse reale è definito più esattamente dell'equazione di Fisher. La quale afferma che il

tasso di interesse nominale i è uguale al tasso di interesse reale i , più il tasso di inflazione previsto π

r

i =i-π

r

Quando il tasso di interesse reale è basso o negativo, vi sono notevoli incentivi nel prendere in

prestito e pochi motivi per prestare.

In alcuni casi come negli Stati Uniti, fino a tempi recenti i tassi di interesse reali non erano

osservabili, perché venivano forniti soltanto i tassi nominali. Questo approccio è cambiato dal

gennaio del 1997, quando il Tesoro ha cominciato a emettere obbligazioni indicizzate all'inflazione,

vale a dire obbligazioni i cui pagamenti di capitale e di interesse sono collegati alle variazioni nel

livello dei prezzi.

3.3 Differenza fra tassi di interesse e rendimenti

La “bontà” (redditività) di un'obbligazione o di qualunque altro titolo posseduto per un determinato

periodo di tempo è misurata esattamente dal rendimento, o, per essere più precisi, dal tasso di

rendimento.

Il tasso di rendimento si compone di diversi elementi, che è necessario considerare nell'analisi del

titolo stesso. Un valido indicatore di rendimento tiene in debito conto il profilo finanziario e

considera l'entità dei diversi flussi finanziari e il momento in cui questi flussi si manifestano.

In particolare, possiamo bipartire questi elementi in:

• flussi relativi alla componente per interessi

• flussi relativi alla componente per capitale

Della prima categoria fanno parte le cedole e i proventi che derivano dall'investimento delle cedole

che maturano via via sul titolo, la seconda categoria, invece, si compone del prezzo di rimborso e di

quello che si ottiene smobilizzando il titolo prima della scadenza.

Su questa seconda categoria possiamo fare una precisazione ulteriore: se l'investitore detiene in

portafoglio fino alla scadenza il titolo obbligazionario, gli verrà rimborsato il valore nominale, nel

caso in cui, invece, decidesse di smobilizzare il titolo prima della scadenza, sarà soggetto a un

prezzo di vendita stabilita dal mercato, non stimabile ex ante. Ecco quindi che le componenti

appena indentificate (in conto interessi e in conto capitale) possono essere distinte in due categorie,

relative alla certezza del valore o alla loro aleatorietà: per dirlo in termini più semplici possiamo

individuare alcuni elementi in cui valore è certo quando acquistiamo il titolo e altri il cui valore

muta in base alle variabili di mercato. Le componente certe sono relative alle cedole periodiche sui

titolo a tasso fisso e allo scarto di emissione, ovvero la differenza tra il prezzo di acquisto e il valore

nominale di rimborso. Le variabili invece, relative al reinvestimento dei flussi periodo e al prezzo di

vendita (quando il titolo è smobilizzato prima della scadenza) sono considerate aleatorie.

Il rendimento effettivo di un'obbligazione può differire dal suo tasso di interesse.

Non siamo in grado di incorporare nel rendimento le variabili aleatorie: esse saranno computabili

solo ex post. Il TRES utilizzato come tasso di rendimento, presenta alcuni limiti evidenti.

L'ipotesi di detenzione del titolo fino a scadenza rende utilizzabile il TRES solo nel caso in cui

l'holding periodo (cioè il periodo di detenzione del titolo in un portafoglio) coincida con la durata

residua del titolo. In secondo luogo, l'assunzione che i tassi di interesse rimangano stabili nel tempo

implica che la loro curva non sia soggetta ad alcun movimento, rimanga cioè piatta. La curva dei

tassi si muova spiega perché il rendimento effettivamente conseguito ex post possa sensibilmente

differire dal rendimento stimato ex ante tramite il calcolo del TRES.

Il rendimento su un'obbligazione non è necessariamente uguale al suo tasso di interesse, né al TRES

calcolato ex ante. La distinzione fra il tasso di interesse e il rendimento può essere importante,

anche se per molti titoli i due valori possono essere strettamente collegati. La differenza sta nel fatto

che il tasso di interesse non tiene conto degli eventuale guadagni o perdite legati alla differenza tra

il prezzo a cui si acquista il titolo e il prezzo al quale il titolo può essere smobilizzato. Vendiamo il

13

titolo sul mercato prima della scadenza, otteniamo un prezzo “di mercato” che non è possibile

stimare ex ante e che può essere anche sensibilmente differente dal valore nominale.

L'effetto positivo o negativo di questa vendita è riflesso nel rendimento, ma non nel tasso di

interesse in base al quale sono calcolate le cedole.

I rendimento di un'obbligazione posseduta dal tempo t al tempo t+1 può essere espresso come:

( −P )

C+ P t

(t +1)

R= P t

dove per R= rendimento derivato dal possesso dell'obbligazione dal tempo t al tempo t+1

P =prezzo dell'obbligazione al tempo

t

P =prezzo dell'obbligazione al tempo t+1

t+1

C= pagamento di cedola

Se noi separassimo l'equazione in due termini:

−P

P

C (t +1) t

+

R= P P

t t

dove il primo termine è il rendimento corrente i ossia il rapporto fra il pagamento della cedola e il

c,

prezzo d'acquisto.

Il secondo termine rappresenta il guadagno in conto capitale (capital gain), ovvero la variazione nel

prezzo dell'obbligazione al suo prezzo d'acquisto (g).

Laddove il termine fosse negativo, sarebbe corretto dire perdita in conto capitale (capital loss). Una

perdita in conto capitale si verifica quando rivendiamo il nostro titolo a un prezzo inferiore a quello

al quale lo avevamo acquistato.

R=i +g

c

Se vogliamo generalizzare per il tempo e tenere in debito conto anche il capital gain o il capital loss

FC

∑ ( )

P=

è sufficiente riutilizzare l'equazione: t

(1+TRES)

Il TRES (che però, questa volta, rappresenta una misura effettiva ex post) viene calcolata in modo

iterativo, uguagliando al prezzo di acquisto del titolo il valore attuale di tutti i flussi futuri.

Cosa accade ai rendimenti sulle obbligazioni con diverse scadenze quando i tassi di interesse sono

in rialzo.

• L'unica obbligazione per la quale il rendimento è uguale a quello a scadenza iniziale è quella

per la quale la vita residua coincide con il cosiddetto holding period (1 anno) ossia il periodo

per il quale deteniamo il titolo

• Un aumento dei tassi di interesse è associata a una diminuzione dei prezzi dell'obbligazione,

con conseguente perdita in conto capitale sulle obbligazione la cui vita residua (la scad