Riassunto, formule e definizioni esame 'Complementi di Matematica'

Prodotto scalare e norma

▪ Nel contesto del prodotto scalare, abbiamo la seguente espressione: yx y + ….. + x yn ⟶ <, > = ;[(dove <, >= 0 ⊥ Prodotto Scalare R v=(x , .., x ) e w=(y )] se sono 1 1 n n 1 n 1 n▪ 12 n2⟶ ∥ ∥ = √< , > = Norma x + .. + x1▪ ⟶ = (se la ℬ = Vettore (v) Normalizzato base (v , .., v ) di E è ortogonale allora i suoi vettori 1 k∥∥1 1 , ……. , formano una base ortonormale di E) normalizzati v = v = 1 k1 k∥1∥ ∥∥<, > ▪ =

Angolo tra due vettori

(⟶ c = ½ allora faccio arcoseno ½ = = ) Angolo tra due Vettori 3∥∥ ∥∥▪ Siano v , .., v vettori non nulli di R a due a due ortogonali (⊥); allora sono linearmente indipendenti e formano una 1 k n base ortogonale di Rⁿ 0 ≠ ▪ ℬ = < , > { Una base (v , .., v ) di un sottospazio E di R è una base ortonormale di E se: = (norma) 1 k n i k 1 = ℬ ℬ

Algoritmo di Gram-Schmidt

Quindi se è una base ortonormale allora le coordinate del vettore v rispetto a sono date dai coefficienti di Fourier ▪ ⟶ permette di ottenere una base ortogonale dal sottospazio stesso, normalizzando Algoritmo di Gram-Schmidt i vettori di tale base. Sia dato un sottospazio E e una sua base (v , .., v ) la dimensione di E (dimE) = k. 1 k Se k=1 la base è formata da un solo vettore, basterà quindi normalizzare questo per ottenere la base ortnormale. Se k=2 e sia (v1 , v2) una base, introduciamo i nuovi vettori (w1 , w2) tali che: Se k=3 e sia (v1 , v2 , v3) una base, abbiamo:

Matrice ortogonale

▪ Una matrice ortogonale allora detM = 1 o detM = −1. ⟶ se M M = I e quindi se M = Mt -1 t Matrice Ortogonale se M è ▪ + … + <, > <, > Proiezione ortogonale di v [P (v)] = E 1 1 k k▪ ⟶ se la sua matrice associata rispetto alla base canonica è simmetrica (M = M ) (Gli Endomorfismi simmetrici ∈ autospazi di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali fra loro. Se λ1 e λ2 sono autovalori distinti di f, e se u ∈ <, >E(λ1) e v E(λ2) allora: = 0.)

Teorema spettrale

n Teorema Spettrale: Sia f un endomorfismo simmetrico di Rⁿ. Allora f è diagonalizzabile; inoltre esiste una base n −1 tortonormale di R costituita da autovettori di f. Ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile. D = M AM = M AM.– I

• Calcolare polinomio caratteristico P e quindi gli autovalori: detA = 0 A – I
• Trovare le basi ortonormali con algoritmo di Gram-Schmidt oppure basi ortonormali di autovettori A = 0
• Normalizzo i vettori cos&