Riassunto, formule e definizioni esame 'Complementi di Matematica'

n ⟶ < , > = ;[(dove < , >= 0 ⊥

Prodotto Scalare R v=(x , .., x ) e w=(y )] se sono

1 1 n n 1 n 1 n

▪ 12 n2

⟶ ∥ ∥ = √< , > =

Norma x + .. + x

1

▪ ⟶ = (se la ℬ =

Vettore (v) Normalizzato base (v , .., v ) di E è ortogonale allora i suoi vettori

1 k

∥∥

1 1

, ……. , formano una base ortonormale di E )

normalizzati v = v =

1 k

1 k

∥1∥ ∥∥

<, >

▪ = (

⟶ c = ½ allora faccio arcoseno ½ = = )

Angolo tra due Vettori 3

∥∥ ∥∥

▪ Siano v , .., v vettori non nulli di R a due a due ortogonali (⊥); allora sono linearmente indipendenti e formano una

1 k n

base ortogonale di R

n 0 ≠

▪ ℬ = < , > {

Una base (v , .., v ) di un sottospazio E di R è una base ortonormale di E se: = (norma)

1 k n i k 1 =

ℬ ℬ

quindi se è una base ortonormale allora le coordinate del vettore v rispetto a sono date dai coefficienti di fourier

▪ ⟶ permette di ottenere una base ortogonale dal sottospazio stesso, normalizzando

Algoritmo di Gram-Schmidt

i vettori di tale base. Sia dato un sottospazio E e una sua base (v , .., v ) la dimensione di E (dimE) = k.

1 k

Se k=1 la base è formata da un solo vettore, basterà quindi normalizzare questo per ottenere la base ortnormale.

Se k=2 e sia (v1 , v2) una base, introduciamo i nuovi vettori (w1 , w2) tali che:

Se k=3 e sia (v1 , v2 , v3) una base, abbiamo:

▪ una matrice ortogonale allora detM = 1 o detM = −1.

⟶ se M M = I e quindi se M = M

t -1 t

Matrice Ortogonale se M è

▪ + … +

< , > < , >

Proiezione ortogonale di v [P (v)] =

E 1 1 k k

▪ ⟶ se la sua matrice associata rispetto alla base canonica è simmetrica (M = M ) (Gli

t

Endomorfismi simmetrici ∈

autospazi di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali fra loro. Se λ1 e λ2 sono autovalori distinti di f, e se u

∈ < , >

E(λ1) e v E(λ2) allora: = 0.) n

Teorema Spettrale: Sia f un endomorfismo simmetrico di R . Allora f è diagonalizzabile; inoltre esiste una base

n −1 t

ortonormale di R costituita da autovettori di f. Ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile. D = M AM = M AM.

– I

1) Calcolare polinomio caratteristico P e quindi gli autovalori: detA = 0

A – I

2) Trovare le basi ortonormali con algoritmo di Gram-Schmidt oppure basi ortonormali di autovettori A = 0

3) Normalizzo i vettori così da avere delle basi ortonormali. I nuovi vettori formeranno le colonne della mia

matrice di rotazione (o ortogonale) M , mentre la matrice diagonale D sarà composta dagli autovalori del

polinomio nella diagonale principale e tutti gli altri sono zeri.

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▪ ⟶ data una retta, un suo punto P = (x ,

Equazioni parametriche 0 0

y ) e un suo vettore direttore v = OQ di

0

coordinate (l , m). la retta sarà descritta come:

▪ Equazione cartesiana ax + by + c = 0

▪ ⟶ P1=(x1 , y1) e P2=(x2 , y2) due punti distinti del piano

Retta passante per due punti

l= x2 – x1 m= y2 – y1

abbiamo che ; allora la retta sarà descritta come :

▪ Tre punti sono allineati: P1= (x1 , y1) ,

P2=(x2 , y2) , P3= (x3 , y3)

▪ →

tra due rette r: ax + by + c = 0 e r’: z’x + b’y + c’ =0

Parallelismo e Intersezione

▪ generica retta parallela r’:

⟶

Fascio di rette parallele eq ax + by + k = 0 per trovare k sostituire x e y con le coordinate

del punto per cui passa la retta. a e b saranno = ad a e b della retta data.

▪ Fascio di rette passanti per un punto P0 = (x0 , y0) si scrive: a( x-x0) + b( y-y0) = 0

▪ → –

2 2

(2

− 1) + − 1)

√(2

Distanza tra due punti A=(x1 , y1) e B=(x2 , y2): d(A,B) = B A = (x2–x1 , y2–y1)

▪ ⟶ r: ax + by + c =0 e r’: a’x + b’y + c’ =0 sono perpendicolari se aa’ + bb’ =0

Rette Perpendicolari

▪ Proiezione ortogonale di un punto su una retta ⟶ dato un punto e una retta trovo una retta r’ perpendicolare a r

e passante per il punto P. dopo di che metto a sistema le due eq. delle rette (r e r’) e trovo H, la proiezione ortog.

▪ Distanza punto-retta ⟶ d(P0, r) = d(P0, H). ▪ Punto medio

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▪ I punti P1, …, Pn sono allineati se appartengono alla stessa retta, complanari se appartengono allo stesso piano. Due

punti sono sempre allineati e tre punti sono sempre complanari.

▪ Due vettori sono allineati o paralleli solo se i loro punti sono allineati. Due vettori allineati sono linearmente

indipendenti. Tre vettori complanari sono linearmente indipendenti.

▪ –

03

I vettori in v sono rappresentati da una terna di numeri ( x, y, z) ascissa, ordinata, quota. Il piano xy ha eq. z=0; il

piano xz ha eq. y=0 e il piano yz ha eq. x=0. asse x : y=z=0 , asse y : x=z=0 , asse z : x=y=0

▪ Due vettori sono equipollenti se hanno coordinate uguali. Sono Paralleli se hanno coordinate proporzionali.

▪

▪ ⟶

Retta passante per due punti

⟶

Equazioni parametriche dati i punti

dove x0 , y0 , z0 sono P1=(x1 , y1 , z1) e

e coordinate del punto P2=(x2 , y2 , z2)

e l ,m ,n i parametri

direttori della retta. ▪ ⟶ fai il sistema

Intersezione tra due rette

▪

▪ Due rette sono complanari se e solo se sono incidenti oppure

Tre punti sono allineati se: sono parallele.

▪ Equazione cartesiana di un piano:

▪ Quattro punti sono complanari se: (per tre punti non allineati)

▪ Una retta si può rappresentare come intersezione (sistema) tra

due piani non paralleli

▪ Intersezione e parallelismo di due piani: ▪ Data una retta r e un piano π abbiamo tre possibilità

- r e π si incontrano in un punto: diremo allora che sono

incidenti.

- r e π non hanno intersezione.

- r è interamente contenuta in π.

(Negli ultimi due casi, diremo che la retta r è parallela al

piano π. )

E un piano e una retta sono paralleli se al + bm + cn = 0

+ + + = 0

▪ ⟶ data una retta di eq. cartesiane: r: {

Fascio di piani di una retta ′ ′ ′ ′

+ + + = 0

: ℎ( + + + = 0) + k( + + + = 0) sarà l’equazione del piano generico contenente r.

▪ ⟶ insieme di tutti i piani passanti per un punto P0.

Stella di piani di centro un punto

Ed ha eq. a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.

▪ ⟶ Siano date le rette r, r’ non parallele,

Piano parallelo a due direzioni

di parametri direttori (l, m, n) , (l’ , m’ , n’ ), rispettivamente.

Allora il piano per P0 = (x0, y0, z0) parallelo a r e r’ ha equazione:

▪ 2 2 2

(2 (2

⟶ ( , ) = − 1) + − 1) + − 1)

√(2

Se A=(x1, y1, z1) e B=(x2, y2, z2) :

Distanza tra due punti

▪ Area di un parallelogramma ▪ ⟶

Prodotto Vettoriale Il prodotto vettoriale di v = (a, b, c) e w = (a’ , b’ , c’ ) è il

∧ )

vettore v w = (α, β, dove:

=| , = −| , =

| | | |

′ ′

′ ′ ′ ′

▪ e dati due vettori dello spazio v, w, si ha:

Perpendicolarità di due rette: ∧

ll’ + mm’ + nn’ = 0. - v, w sono allineati (paralleli) se e solo se v w = O .

∧

- v w è un vettore ortogonale sia a v che a w.

▪ ∧

- Il modulo del prodotto vettoriale v w uguaglia l’area del

Vettore normale a un piano:

un piano. Proposizione Dato il piano parallelogramma definito da v e w

π : ax + by + cz + d = 0, il vettore n

di coordinate (a, b, c), applicato in

un punto qualunque di π, è ortogonale

a π. In altre parole, i parametri di giacitura

di un piano rappresentano le coordinate di

un vettore normale al piano.

▪ ⟶ Una retta r di parametri direttori (l, m, n)

Perpendicolarità retta e piano

È ortogonale a un piano π di parametri di giacitura (a, b, c) se e solo se:

▪ ⟶ Il piano π : ax+by+cz+d = 0 è ortogonale al piano π’ : a’x+b’y+c’ z+d’ = 0 se e solo se:

Perpendicolarità di due piani

aa’ + bb’ + cc’ = 0

▪ ⟶ Dato il piano di equazione π : ax+by+cz+d = 0 e il

Distanza punto-piano

punto P0 = (x0, y0, z0) si ha:

▪ ⟶ e la retta r’ intersezione di π con il piano π’ contenente r e

Proiezione ortogonale di una retta su un piano

perpendicolare a π: r’ = π’ ∩ π

▪ ⟶ d(r, r’ ) = d(H, H’) (dove H e H’ sono punti qualsiasi di r e r’)

Distanza tra due rette

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▪ ⟶ () = ( 0, 0, 0 )

Quando una curva si dice regolare? quando

▪ Lunghezza d’arco (o ascissa curvilinea; o data una porzione di curva calcolarne la lunghezza.)

1 1

′ ′ ′

′ 2 ′ 2

() ()] [ ()] () (),

= ∥ ∥ = + = ( ′()

√[

∫ ∫ ;

y 0 0 PIANO OSCULATORE

▪ TRIEDRO DI FRENET x’ è la derivata prima

- Dove

′()

Versore ⟶ () =

- Tangente e x” è la derivata seconda

∥′()∥

′ - Dove t =t esempio se t è

()

∧ "() 0

Versore Binomiale ⟶ () =

- ′ () compreso tra [0,2]

∥ ∧ "()∥

Versore Normale ⟶ () = () ∧ ()

- allora pongo t = 0 oppure =2

′ ()

∥ ∧ "()∥

⟶ () =

- Curvatura ′ 3

()∥

∥

′ ′′ ′′′

() (), ()

| , |

[ ]

Torsione ⟶ () = −

- ′ ()

∥ ∧ "()∥ ^2

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