Riassunto, formulario e prove d'esame di Econometria Applicata

ECONOMETRIA - NOZIONI DI BASE

• Branca delle discipline economiche in cui si applicano strumenti di matematica, economia e statistica per l'analisi dei fenomeni economici.
• Approccio che utilizza i metodi quantitativi (teorici ed empirici).
• Si propone di confrontare la teoria economica con i dati storici e osservabili, al fine di verificarne/falsificarne l'osservanza teorie e ipotesi attraverso variabili cui si riferiscono i dati disponibili a partire da quantificazioni giustificabili.

Dati empirici corroborano info + Teo economica + Mater. economica + Inferenza statistica

Scopi:

1. Studio strutturale: verifica empirica hp economiche o hp fondamentali nel modello econometrico
2. Analisi strutturale: relazioni economiche ex soggetto economico, intervento economico
3. Previsioni: valutare modifiche variabili economiche, fenomeno econom.
4. Valutazioni di politiche: conseguenze di decisioni, scelte politiche su fenomeno stimato col modello, per scelte politiche ottimali

Ingredienti - Modello - Dati economici

• E' rappresentazione fondamentale della teo. economica e assume tipicamente la configur di un sistema di equazioni.
• Queste esprimono relazioni (lineari o meno) che intercorrono tra le variabili di interesse, endogene o esogene.
• E' la spiegaz di un fenomeno, le variabili usate x esplicare le relazioni sono chiamate esplicative o _esogene.
• Sono destinate al ruolo del sistema economico nel nostro oggetto di studio.

A quale risultato ci dobbiamo adeguare? Direzione del nostro studio

Esempio:

TEO CLO, svolgimento Keynes: alla base presupposto consumo è funzione stabile del reddito disponibile e di altri param.

• Possiamo esprime una variabile endogena = funzione variabili esogene. [Alcuni riorganizzano allocations nel modello]

Nb. La teo economica può solo indicare gli ambiti di validità, o legittimazione a cui sono soggetti i parametri di un modello, non i valori.

Il termine disturbo non è osservabile, può derivare come è risolvido si utilizzeranno dati campionari/statistici.

Forme compatte - Supponiamo ordinato in dati annuali t=1,2,...,N

Ogni equazione del modello esprime una specifica variabile endogena in funzione di variabili esogene

B'x_t è un prodotto scalare quindi non dipende dall'ordine con cui si considerano

Y_t = x'_tβ + E approssima la realtà, consente la discrepanza tra modello e realtà

N sono le osservazioni K le indipendenti

Sistema di N equazioni, domestica sistema Y = XB + E in un unico sistema compatto

N.B. Quando ho un'intercetta la forma compatta rimane uguale tra la prima colonna dell'X

x è il vettore unitario (tutti 1'k')

Modelli econometrici sono parametrici (i parametri sono i pesi/coefficienti delle variabili esogene) hanno natura stocastica → feeling d'errore

Discrepanze modello-realtà dovute a:

• Testo seria incompleta (es. spesso non si deve sostituire sociologici o se c'è solo rilevazioni)
• L'inizio d'osservazioni adottati → periodo d'osservazione dei dati anwali tra esternomi e trimestrali...
• Semplificazioni assuntive → finito di specificazione del modello: 2 (esogene): confrontarli
• Problemi in sede di rilevazione dati (es. variabili non direttamente misurabili)

Conseguenze della presenza di E è:

• Essendo Y funzione lineare di E_t, e se essa stessa variabile casuale → avrà qualche distrib. di prob.
• Essendo il vettore E variabile di N u.c., che essendo Y funzione di E e Y miscela essendo vettore
• D.V.C. è cioè distorsioni comandate da rapporto di probabilità comune

N.B. In specifica di un modello bisogna sempre formulare HP su alcuni dei momenti degli errori E.

Si assumo sempre E(E) = 0 errori non sistematici

Kalmick 6^o cov.V(β) = E{[E - E(E)][E - E(Y)]} = E{E'E'}

Un modello econometrico è parziale se nella parte dx o outlet il riso delle attuali e fumatrice ma solo attraverso variabili

Non ammissibile che un endosofta attuale si esiga se stessa (È a sx e a dx dell'equazione)

Analisi dei residui

• I residui, seppur essendo anche loro non sistematici, non sono sferici

e = Y - Xβ - Y + X(X'X)^-1X'Y = [I_N - X(X'X)^-1X']Y = MY

M = I_N - X(X'X)^-1X' = H¹ = H²

HX = 0 = ortogonalità con i regressori

H(H) = E(H'Y) - N = K

e = MY = M(Xβ + ε) = HXβ + Mε = Hε

E(e) = E(Hε) = H E(ε) = 0

E(ee') = E(Heε'H') = E(Hεε'H') = σ²E(HH') = σ²M

I residui sono quindi non sistematici (E(ε) = 0) e non sferici (E(εε') = σ²I)

Inoltre sono ortogonali ai regressori

e'X = e'HX = 0 [Anche ai singoli regressori]

Il vettore stimato delle elongazioni ŷ = Xβ̂ è ortogonale ai residui

e'ŷ = e'HXβ̂ = 0

I residui sono ortogonali a ŷ

Stima di σ²

s² = (1 / (N-K)) e'e

Si parte dalla considerazione che essendo errori fossero noti, si quantifica quale stimatore corretto di σ²

E(e'e) = E(∑_i=1^N ε_iε_i' ) = ∑_i=1^N E(ε_iε_i) = ∑_i=1^N σ² = Nσ² ⇒∑_i=1^N E(ε_iε_i) / N = σ²

In media, s² non sbaglia

Sostituendo i residui agli errori si ottiene uno stimatore distorto di σ²

E(e'e) / N ≠ σ² ⇒ E(e'e) / (N-K) = σ²

V(β̂) = σ²(X'X)^-1 =

Quindi: Z = β̃₃-β₃ / √d₃₃~ N(0,1)

⇒ Può essere utilizzata per calcolare test su parametri.

Test di significatività sui parametri del modello di regressione

Considero modello k=2 Y_e = X_1eβ₁ + X_2eβ₂ + ε_e

Vogliamo verificare:

• H₀: β₄P IP. Nulla
• H₁: β₄P IP. Alternativa ⇒ Bilaterale quindi non specifica direzione lungo la quale si rifiuta quando H₀ rifiutata.

E_c = β̂₁ - β₁ / √S²_β̂1

Statistica t

Se H₀ è vera t₀ ~ t_n-k

→ Valori di E_c che sono molto grandi o molto piccoli rispetto di zero sono valori che si verificano con una prob. molto alta quando H₀ è falsa.

→ Si fissa livello di prob/significatività α → In genere del 5% o 1%.

Utilizzando le tabelle della distrib. t con n-k gradi di libertà e con α fissato, determiniamo t_α/2 e t_1-α/2, tali che:

P(|Z| > t_{n-k; α/2}) = α

→ Oppure P-Value

P-value ≤ α si rifiuta H₀, P-value > α si accetta H₀

QUINDI SI HA IL NUOVO MODELLO CON ERRORI SFERICI!

È IMPORTANTE CON GLI NT (È LA UNICA LORO OSSESSIONE VALUTARE I _cov etc.

LA PROBLEMA È ORA QUELLO DI STIMARE RHO, MENTRE ES UN O DENTRO IN e_t = ρe_t-1 + u_t E QUINDI NON POSSO STIMARE CON I MINIMI QUADRATI (MON HO OSSERVAZIONI SUOI ERRORI)

E MON AVENDO RHO NON POSSO STIMARE Γ.

• STIMA DI ρ E Γ CON PROCEDURA A 4 STADI DETTA DI PREIS−WEISTEN

  1. SI STIMA ^B CON OLS SI CALCOLANO I RESIDUI ê^t (ê^t = y - xB̂)

  2. SI CONSIDERA IL MODELLO ê_t = ρê_t-1 + v_t E SI STIMA ρ APPLICANDO OLS

  3. ^B È USATO PER STIMARE Ĝ (Γ̂)

  4) CON Γ̂ SI TRASFORMA IL MODELLO Γ̂y = Γ̂Xβ + Γ̂ε

SI RIPETE LA PROCEDURA DALLO STEP 4) FINO A QUANDO NON SI OTTENGONO 2 STIME DI ρ CHE DIFFERISCONO TRA LORO PER UNA PICCOLA QUOTA A PIACERE.

OLS

e^t = ρe_t-1 + v_t → ρ̂ → Γ̂

Γ̂y = Γ̂Xβ + Γ̂ε → β̂ → ρ̂ → Γ̂ FINCHÉ NON OTTENGO (β^j - β^j-4) ≤ μ