Riassunto e formulario Termodinamica applicata e trasmissione del calore

GAS IDEALI: fluidi omogenei, processo quasi-statico, Ep e Ek trascurabili ∗

•

∗ • λ = =p

• c − c = R* •

= = v

dove R= 8314 J/(kmol K) dove R* =R/M →

h= u +pv = u(T) + R*T h=h(T)

p v

∗ •

Λ =p

•

•

c = •

= v

R* T c = o per un processo a v=cost

p Calore specifico

v

−1 ∗

•

• −

λ = = - indipendente da

∗

= / p ℎ

• •

c = c = o per un processo a p=cost

v p T

−1

GAS REALI

• Coefficiente di comprimibilità Z = per i gas ideali Z=1

∗

TRASFORMAZIONE CALORE LAVORO INTERNO U H S SISTEMA LAVORO CALORE

APERTO

∫ ̇,

Ipotesi: −

= ∫

̇

- processo

Processo quasi statico + sistema quasi statico

→

chiuso area sotto pV = L - Ep=Ek=0

- calore

Se ho trasformazione reale specifico

indipendente

L= L -L da T

id attr

Ottenuto per integrazione ̇ ̇ ̇

− =

(h – h )

Lavoro di espansione/compressione 2 1

Δh= c (T – T )

p 2 1

2 ̇ ̇

ISOCORA 0 mc ΔT= C ΔT = −

̇ = ̇

(p -p ) c (T -T )

2

C ln

∫

Q(P)= v p 2 1 v 2 1

v

1 1

C ΔT

v

=̅ (T – T )

2 1

(T

= – T )

2

1

2 ̇

ISOBARA C ΔT C ΔT 0

(T = ̇ c (T -T )

L = p (V – V ) = m R* – T ) 2

C ln

∫

Q(P)= v p

2 p 2 1

i 1 2 1 1 p

1 1

=m (T – T )

2 1

̇

̇

2 2 2

ISOTERMA 0 0

2 2 = −

̇ = ̇

R* ln = R* T ln R* T ln

Q(P)=mR* T ln L =m R* T ln

1 i 1

1 1 1

1 1

(spostamento

2

1 - R* ln

= mR* T ln

1

lento)

1

2 ̇

(γ-1) (γ-1)

ADIABATICA T v =cost C ΔT = -L C ΔT 0 T v =cost

(T = −

̇ (h -h )

L = - m c – T ) v p

2 2 1

v 1

reversibile −

̇

= c (T -T )

p 2 1

(1−)

LAVORO INTERNO:

γ=

T =cost

1 1 1 (γ-1)

l = [1- ( ) ]

i −1

2

∗1 γ

p v =cost

-spostamento 1 (γ-1)

= [1- ( ) ]

−1

2

veloce o isolato -

Valide per gas

- buon isolante L =m l

i i perfetti,

trasformazioni

1 1

2 (1-γ)

= [ ( ) - 1 ] isoentropiche,

1−

1 calore specifico

costante

LAVORO TECNICO

L =-

∫

t

γ

2 (γ-1)/γ

= p v [1- ( ) ]

1 1

−1

1

(1−)

T =cost

γ

p v =cost −

n n ̇ ̇

POLITROPICA PV =cost mc ΔT C ΔT PV =cost

2 = −

̇ R* (T - = ̇ (T -

C ln -

v p 2 2

p −1 1−

(n-1) (n-1)

1

ogni trasformazione T v =cost T v =cost

T ) T )

2 1

R* ln = 1

di un fluido (1−) (1−)

1

T =cost T =cost

omogeneo per la

quale si possa

2

C ln +

n=esponente caratteristico di n=esponente

v

scrivere:

∗(−) 1

una trasformazione politropica caratteristico di una

⋅

L =

2

i

̅

= () R* ln

2 − trasformazione

(c− )

• 1

1

: (c-c ) dT - = politropica

Da cui n=

p 1

(− ) − (c− )

2 ( − )

dp=0 Q = m n=

− (− )

−

• c= c v −

−1 c= c v −1

−

= −

1−

= 1−

PRIMO PRINCIPIO Q – L = ΔE + ΔE + ΔU

k p

SISTEMI CHIUSI: SISTEMI APERTI

•

scambia energia tramite calore Q e lavoro L

• ∑

̇ ̇

=∑ -

Conservazione della massa

=1

=1

• ΔE = ΔE = 0 •

k p Flusso unidimensionale: 1. Il flusso è normale al confine

2. all’ingresso e all’uscita dell’imboccatura tutte

le proprietà intensive sono uniformi

• ̅ ̇ ̅

̇ /

Portata di massa (G o ) = = (kg/s) dove =velocità

• ̇ ̅ 3

Portata volumetrica (G o ) = (m /s)

v

2 2

̅

̅

̇ ̇

ΔU = Q- L

− +

{ {

̇ ̇

+ gz } - + gz }

+

= + i e

2

2

∫ 2

2

̅ ̅

̇ ̇

- - p v + p v

{ {

̇ ̇

+ gz + } + gz + }

+

= +

e e i i

e i

2 2

P che agisce sul sistema Ricordando h=u + pv 2

2

̅ ̅

̇ ̇

- - +

{ℎ {ℎ

̇ ̇

+ gz } + gz }

+

= +

ΔU = - ΔU e i

→ →

1 2 2 1

2 2

→ ̇ ̇ ̅ ̅

∑ ∑

In generale ΔU = - =

+ (p A ) - (p A )

e e i i

→

Ciclo ΔU =0 ̇ ̇

= + (p v ) - (p v )

̇ ̇ dove pv è il flusso di lavoro

e e i i

FLUSSO STAZIONARIO

o La forma di potenza si scrive Φ – W =

i

∑ ∑

̇ ̇

=

-

o

Una formulazione che mette in evidenza l’attrito interno (es. fluido =1

=1

=0

-

viscoso) Q – L , + L = ΔU

i R a

Da cui il PRIMO PRINCIPIO (valido per processi rev e irr)

o Nel caso di un fluido omogeneo (che può essere anche viscoso) il 2

̅

2

̅

̇ ̇

- =

{(ℎ

̇ − )+ g (z - z )}

− ℎ ) + (

CV e i

.

primo principio diventa 2

2

Q - + L = ΔU

∫ a

W kg/s J/kg m/s

Φ – +Wa =

SE E SOLO SE: - il processo è quasi statico e Ep= Ek =0 + flusso stazionario

̇ 2

,12 −

= ∫

1

̇

Altrimenti usa Bernoulli

2 2 1 22 12

( ) )

+ + − + ( − + = 0

+

∫ ∫

2 1

1 1 2

TURBINE:

- Stato stazionario

- Adiabatiche

- Ep e Ek trascurabili ̇

= ̇

( ℎ − ℎ ) >0

.

COMPRESSORE:

- Stato stazionario

- Adiabatiche

- Ep e Ek trascurabili ̇

= ̇

( ℎ − ℎ ) <0

.

RIEPILOGO: Ipotesi: stato stazionario + Ek e Ep trascurabili RIEPILOGO: Ipotesi: stato stazionario + Ek e Ep trascurabili

̇

̇

= + du .

. + ℎ

=

̇ ̇

. .

̇

Per processi internamente reversibili = + du

. − + ℎ

Per processi internamente reversibili =

̇ .

SECONDO PRINCIPIO 2

=0 <0

ENTROPIA: ds= = S – S

∫ ∮ ∮

2 1

1

- Varia o per trasmissione del calore o per irreversibilità

Termostato:

➢ sistema in grado di mantenere la sua temperatura costante scambiando calore con altri sistemi.

➢ è un sistema ideale ove tutte le trasformazioni sono reversibili ΔS = S – S

termostato,12 2 1

➢ Es: oceano o atmosfera (elevata capacità termica), fluidi in cambiamento di stato

Processo irreversibile: sistema isolato, processo spontaneo

Processo reversibile: sistema non può essere isolato

Fattori capaci di rendere irreversibili i processi termodinamici:

➢ →

Attrito irreversibilità interna

➢ Espansione libera L=0

➢ →

Scambio termico con una differenza finita di temperatura irreversibilità esterna

➢ Miscelazione di sostanze differenti

CICLO IDEALE DI CARNOT ➢ Sistema chiuso | | 1° corollario: i rendimenti di tutti i motori termici

➢ Fluido: gas ideale = 1 − =1− reversibili che operino tra i due stessi serbatoi di

| |

➢

Processi quasi statici/reversibili calore sono gli stessi

➢ →

T =T =T =T e T =T =T =T possibile - T espresse in kelvin

1 2 max c 3 4 min f

< ,

2° corollario: in un ciclo se entrambe

irr rev

Solo per un ciclo ideale - Il rendimento dipende solo le macchine operano tra gli stessi termostati. È

dalle T dei due termostati come se il processo irreversibile prende meno

→

1 2 isoterma espansione →0K

- raggiunge 1 quando T calore dal termostato caldo

f

→

2 3 adiabatica espansione Questi enunciati formano la base per stabilire la

scala assoluta di temperatura, la scala Kelvin, che

→

3 4 isoterma compressione è legata allo scambio termico tra una macchina

reversibile e i due serbatoi ad alta e bassa T dalla

→

4 1 adiabatica compressione (Q /Q ) =T /T

relazione s i rev s i

SISTEMI CHIUSI SISTEMI APERTI

≤0

Disuguaglianza di Clausius, valida per ogni ciclo termodinamico ∮ ̇

∑ ∑

̇ = −∑

̇

̇

- s s

i + u

S / σ è l’entropia generata (J/K) all’interno del sistema

g ciclo

= − σ

∮ ciclo stesso a causa delle irreversibilità presenti

→

=0 = 0

̇ =

̇ = ̇

Stato stazionario + una sola entrata

se: ➢ →

σ = 0 processo reversibile

ciclo ̇

̇ = ̇

Stato stazionario + un termostato (s – s ) -

➢ →

σ >0 processo irreversibile 2 1

Dal punto di ciclo

➢ →

σ < 0 processo impossibile

vista del ciclo

sistema

= - ∮

Entropia scambiata per trasmissione del calore.

= S – S dipende solo dallo stato iniziale e finale. È nulla se si opera in condizioni

- 2 1

stazionarie.

- + dipendono dalla natura del processo

∮

Se ho più di un termostato

Dal punto di vista dell’ambiente

∑ ≥ 0

= S – S +

2 1

➔ →

Sistema isolato o soltanto chiuso e adiabatico ≥0 PRINCIPIO DELL’AUMENTO DELL’ENTROPIA:

durante una trasformazione l’entropia di un sistema isolato non diminuisce mai e al più rimane costante

se la trasformazione è reversibile. In assenza di scambio termico, l’aumento di entropia è dato dalle

irreversibilità: S

g = +

S =

g - Indipendente dal cammino

• >0 irreversibile - Lo stesso per processi rev o irr

• =0 reversibile

• <0 impossibile

1° EQUAZIONE DI GIBBS (stato stazionario + Ek e Ep trascurabili) 2° EQUAZIONE DI GIBBS (stato stazionario + Ek e Ep trascurabili)

→Valida →Valida

T ds = p dv + du per processi rev e irr T ds = -v dp + dh per processi rev e irr

Per un GAS IDEALE Per un GAS IDEALE

2 2 2 2

) ) ) )

s – s = c ln( + R* ln( ricorda di moltiplicare per m s – s = c ln( - R* ln( ricorda di moltiplicare per m

2 1 v 2 1 p

1 1 1 1

Per un processo a p=cost (dp=0)

Per una sostanza incomprimibile (es: liquidi e solidi) (v=cost, dv=)

2 )

s – s = c ln( ricorda di moltiplicare per m

2 1 p

1

2 )

s – s = c ln( (kJ/kg K) ricorda di moltiplicare per m

2 1

1

➔ Una trasformazione isoentropica per una sostanza incomprimibile è sempre

isoterma →

sistema chiuso + processo reversibile l’entropia può aumentare, diminuire, rimanere

costante →

> 0

- dS >0 aumenta

)

dS =(

sistema rev →

< 0

- dS <0 diminuisce

→ →

= 0

- dS=0 rimane costante processo isoentropico

Una adiabatica reversibile (quasi statica) è

un processo isoentropico (non vale il

contrario)

dS=

RENDIMENTO ISOENTROPICO o adiabatico

➢ I processi reali hanno delle irreversibilità interne (attrito) a per questo l’entropia aumenta tra lo stato iniziale e finale

TURBINA: processo di espansione p > p COMPRESSORE: processo di compressione p < p POMPA

1 2 1 2

Ipotesi: stato stazionario + processi adiabatici + Ipotesi: stato stazionario + processi adiabatici + Ep=Ek=0 Ipotesi: stato stazionario + processi adiabatici +

Ep=Ek=0 Ep=Ek=0

= dove l = l

iso adiabatica reversibile

,

= dove l = l = dove l = l

iso adiabatica reversibile iso adiabatica reversibile

, ,

Nota stesse pressioni di ingresso e uscita sono le stesse

per il processo ideale e reale Nota stesse pressioni di ingresso e uscita sono le

stesse per il processo ideale e reale

Nota: stesse pressioni di ingresso e uscita sono le stesse

per il processo ideale e reale ℎ − ℎ

2 1

=

, ℎ −ℎ

ℎ − ℎ ( − )

2 1

ℎ =

1 2 2 1

= =

2

, ,

ℎ

ℎ −ℎ ℎ −ℎ

2

1 2 2 1

= −

2 1

Se il fluido è un gas ideale =

, −

− 2 1

1 2

Se il fluido è un gas ideale =

, −

1 2

DIAGRAMMA DI GIBBS T-S L’area sotto la curva è il calore trasferito durante un processo reversibile: T dS=

→

RENDIMENTO ISOTERMO trasformazione isoterma reversibile: modello realistico per compressori che vengono raffreddati durante la compressione (per ridurre il lavoro

entrante richiesto) =

,

CICLO:

➢ →

DIRETTO: ciclo motore Q in entrata, L o W in uscita −

= = =1−

➢ INVERSO: frigoriferi (se l’effetto utile è calore sottratto a un sistema esterno alla temperatura più bassa) o pompe di calore (se l’effetto utile è calore fornito a un

→

sistema esterno che si trova alla temperatura più alta ) W in entrata, Q in uscita

✓ →

Efficienza (o COP) di un frigorifero ciclo inverso

= =

| | |

− +|

✓ →

Efficienza (o COP) di una pompa di calore ciclo inverso ➢ =1+

➢ Ciclo bitermico di massimo rendimento: ciclo di Carnot

Idealizzazioni nell’analisi dei cicli diretti:

→

-