Riassunto Fisica II

Fisica 2

Forze fondamentali: gravitazionale, elettrica, magnetica, nucleare (forte, debole).

Forza elettrica e magnetica sono manifestazioni della forza elettromagnetica;

elettromagnetica e nucleare debole manifestazioni della forza elettrodebole (Rabbia).

Carica elettrica

Elektron (= ambra) elettricità. CARICA positiva (protoni) o negativa (elettroni, si



muovono in direzione opposta alla corrente elettrica), proprietà:

Quantizzata: multiplo intero carica fondamentale, espressa in Coulomb

 −19

(grandezza derivata, 1 C = 1 A/s) . Carica protoni +e,

 e=1,6∗10 C

elettroni –e.

Si conserva in un sistema isolato.



Numero atomico Z = num protoni = num elettroni (≠ se ioni).

≅1836

/m

m

Massa atomica = num protoni + neutroni, .

p e

Elettrostatica

LEGGE DI COULOMB: date due cariche puntiformi ferme qa e qb poste ad una

distanza tra loro r, il modulo della FORZA ELETTRICA tra loro è dato da:

q q

| |

⃗ a b

=F=k

F 2

r

Essa scala con l’inverso del quadrato.

=1/4

k πε ε = COSTANTE DIELETTRICA (permittività) mezzo in cui si trovano



cariche. Nel vuoto:

−12 −12 2 2

≅9∗10

=ε =8,85∗10 /

ε C N m

0 1 9 9 2 2

≅

= =8,99∗10 /C

k 9∗10 N m

4 π ε 0

Forza elettrica molto intensa rispetto gravitazionale (due e- distanti 1 cm:

42

/ =4∗10 ) Big Bang: inizia ad agire prima F elettrica (formazione atomi) dopo

F F 

e g

F gravitazionale (atomi si aggregano).

Legge in forma vettoriale: versori ua e ub indirizzati rispettivamente verso qb e qa

(stessa direzione antiparalleli), forza elettrica che sente b data da:

q q

1

⃗ a b ^

=

F u

b b

2

4 π ε r

0

=−F

F (vettori), uguali ma verso opposto principio azione-reazione.



a b

Cariche discordi F attrattiva (versori orientati come sopra), concordi repulsiva

 

(versori orientati verso l’esterno). Fe detta forza RADIALE, diretta solo lungo

congiungente cariche.

PRINCIPIO SOVRAPPOSIZIONE: data qualsiasi distribuzione di cariche e carica

riferimento q0, forza risultante agente su di essa è pari a somma vettoriale singole

∑

⃗ ⃗

=

R F

forze di ogni carica, 0

Data carica qa e generico punto P, se poniamo su P qualsiasi carica q notiamo che F

calcolata è composta sempre da stesso fattore moltiplicato per la carica posta su P 

fattore detto CAMPO ELETTRICO E, vale per qualsiasi punto dello spazio:

q

1

⃗ ⃗ ⃗

a ^ ⇒

= =q

E u F E

a

2

4 π ε r

0 / /m

N C V

Unità di misura: (oppure , vedi sotto).

Vale sempre pr sovrapposizione: date n cariche e carica q, risultante agente su essa

∑

⃗ ⃗

=q( )

R E .

CAMPO = grandezza fisica che assume valori differenti ogni punto dello spazio, in

funzione anche del tempo (se non è stazionario). Può essere scalare, ogni pto spazio-

tempo (xyzt) associato ad un numero (temperatura, pressione, densità) o vettoriale

(elettrico, magnetico, velocità).

Rappresentazione grafica c vettoriale LINEE DI CAMPO: ogni loro pto presenta



vettore campo tangente ad esse, più fitte dove campo più intenso, non si intersecano

mai.

LINEE CAMPO ELETTRICO: CARICA POSITIVA USCENTI, carica NEGATIVA

 

ENTRANTI.

⃗ ⃗ linee di forza identiche a linee campo per cariche positive, verso opposto

=q 

F E

per cariche negative.

Carica è qtà discreta, ma molto piccola immaginare distribuzione continua in un



volume V densità di carica ρ: rapporto carica/volume infinitesimo,



⇒dq=ρ

ρ=dq/dV dV . 2 ^

∗dq /r ∗

Considero pto P esterno a V, esso è soggetto a campo elettrico dE=1/4 π ε u

0 r

.

Campo elettrico totale dato da integrale:

1 ρdV

∫

⃗ = ^

E u r

4 π ε 2

r

0

V

Sbarra lunghezza L e carica totale Q, posta su asse x (origine ad un’estremità):

>

x x L

determinare E in pto P posto su asse x, posizione ( ). Immagino sbarra

0 0

formata da tanti pezzetti di egual carica.

λ=Q/ L⇒ Q=λL dq=dxλ

Densità lineare . Carica di ogni pezzetto .

Campo elettrico totale (porto fuori costanti):

L

λ dx 1 Q

∫

⃗ =( )

= ^ = ^

E x … x

2 ( )

4 π ε 4 π ε −L

x x

( )

−x

x

0 0 0 0 0

0 ≫ ⇒ −L

x L x → x

Se ci troviamo a grande distanza , quindi:

0 0 0

1 Q

⃗ ≅ ^

E x

4 π ε 2

x

0 0

a grande distanza sbarra si comporta come carica puntiforme.



FORZA CONSERVATIVA:

1. Per spostare un oggetto lungo un qualsiasi percorso (A-B) il lavoro totale non

cambia, dipende solo da posizione iniziale e finale (lavoro indipendente dal

percorso).

2. Lungo qualunque percorso chiuso (A-A, parto e arrivo nello stesso punto) il

lavoro totale per spostare l’oggetto è nullo. L

LAVORO TOTALE FORZA ELETTRICA per spostare lungo traiettoria carica

puntiforme q0, da punto A a B:

B B

∫ ∫

⃗ ⃗

⃗ =q ⃗

L= F ∙ d s E ∙ d s

0

A A

B

∫ ⃗ ⃗ =¿

E ∙ d s lavoro per unità di carica.

A

NB: lavoro (“mio”) per portare carica in una posizione è sempre opposto a lavoro forza

elettrica.

Dimostrazione:

Considero prodotto scalare F elettrica per spostamento ds, corrisponde a F moltiplicata

per la componente radiale di ds (parallela a F), ossia dr, unica che conta ai fini del

B

∫

⃗

lavoro , quindi (porto fuori costanti):

  L= F dr

⃗ =F

F ∙ d s dr A

|

B

B ( )

q q q q q q

dr 1 1 1

∫

0 0 0

=− = −

L= 2

4 π ε 4 π ε r 4 π ε r r

r

0 0 A 0 A B

A

L dipende da rA e rB = distanze carica q da punto A e B, inizio e fine percorso F



elettrica è conservativa. L

Quindi (definizione forza conservativa), per ogni traiettoria chiusa:

A

∫ ∮

⃗ ⃗

⃗ = ⃗ =0

L= F ∙ d s F ∙ d s

A CIRCUITAZIONE di F = 0

Da questa si deriva che:

∮ ⃗ ⃗ =0

E ∙ d s

2° EQUAZIONE DI MAXWELL in caso di campi statici, anche E è conservativo.

Forza conservativa esiste una funzione U scalare, detta ENERGIA POTENZIALE,



tale per cui:

∫ ⃗ ⃗ =−∆

L= F ∙ d s U ∫ ⃗ ⃗ =−q

L=q E ∙ d s ∆ V

Nel caso della forza elettrica V detto POTENZIALE



0 0

ELETTRICO = energia potenziale per unità di carica:

∆U

⇒

=q =

∆ U ∆ V ∆V

0 q 0 =J /C

V

Unità di misura: VOLT .

⃗ ⃗ =dL=−dU

F d s

U funzione di variabili xyz dU pari a somma derivate parziali:



∂U ∂U ∂U

=

dU dx+ dy+ dz

∂x ∂y ∂z

Ogni componente di F sarà uguale a ogni derivata parziale con segno opposto 

introduzione funzione GRADIENTE:

}

−∂U

=

F x ∂x ( )

∂ ∂ ∂

−∂ U ⃗ ∇=

=−∇

F U , ,

=

F y ∂ x ∂y ∂z

∂y

−∂ U

=

F z ∂z }

⃗ ⃗

=q =−∇

F E U ⃗ =−∇

E V

0

⇒−∇ ∇

U=q V U=−q V

0 0

Considero lavoro forza elettrica: { q q 1

0

U=

( )

q q 1 1 4 π ε r

0 ⇒

− =−∆ =U −U

L= U 0

A B

4 π ε r r q 1

0 A B =

V 4 π ε r

0

Dove U e V sono energia potenziale e potenziale elettrostatico prodotti da carica

puntiforme q. NB sarebbe da aggiungere costante a risultato U e V, ma concordata

nulla. ∇

Dimostrazione, da E = - V a legge Coulomb:

Considero carica q con coordinate (0,0,0) che genera campo E. Posiziono carica di

⃗ (x

r , y , z)

prova in generico punto P (x,y,z), a distanza da q modulo



√ ^ =⃗ /r

2 2 2 r r

, versore .

+ +

r= x y z ∇

Calcolo componenti E (E = - V):

( )

1

∂ ( )

−∂ −q

V r q ∂r q x ∂r 2 x x

= = = = = =

E √

x ∂x 4 π ε ∂ x ∂ x r ∂ x r

2 2 2 2 2

4 π ε r 4 π ε r + +

2 x y z

0 0 0

Stesso procedimento per Ey e Ez:

( )

q x y z q

⃗ ( )

= = = ^

E E , E , E , , r

x y z r r r

2 2

4 π ε r 4 π ε r

0 0

SUPERFICI EQUIPOTENZIALI:

Tutti i punti presentano stesso valore di V, spostandosi lungo essa ΔV sempre

 nulla L nullo (integrale nullo f integranda nulla).

 

Sempre perpendicolari a campo elettrico.

 In ogni punto dello spazio passa solo una superficie (funzione V univoca, ogni

 punto associato a un solo valore di V).

V carica puntiforme superfici equipotenziali sferiche, centrate nella carica (tutti i



punti a stessa distanza da essa).

Considero superficie Σ divisa in porzioni infinitesime dΣ, versore u normale a esse, su

ognuna agisce vettore campo elettrico.

FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO attraverso superficie infinitesima:

⃗

⃗ ⃗ Σ=⃗

^

( )= .

d Φ E E ∙ u d E ∙ dΣ

d Σ

Flusso totale superficie Σ:

∫

⃗ ⃗ ⃗

( )

=

Φ E E ∙ dΣ

Σ Σ

Valore Φ massimo (EΣ) se E // alla normale superficie, 0 se ⊥ a essa. Verso positivo

flusso sempre uscente (verso l’esterno).

LEGGE DI GAUSS DEL CAMPO ELETTRICO – 1° EQUAZIONE DI MAXWELL:

Q

∮ ⃗

⃗ TOT

E ∙ d Σ= ε 0

Σ

Per Σ chiusa, sempre valida (campi statici e non).

Qualsiasi superficie chiusa Σ attraversata da E prodotto da q puntiforme esterna ad

essa flusso totale = 0: tutte le porzioni dΣ perpendicolari hanno Φ = 0, altre



presentano contributi che si annullano due a due (opposti, uno entrante l’altro

uscente, ed uguali: E cala con quadrato distanza, superficie aumenta con quadrato

distanza).

Qualsiasi superficie chiusa S contenente carica q: considero superficie sferica S’

interna a S flusso S corrisponde solo a flusso S’ (regione tra S e S’ non contiene



cariche, quindi Φ = 0).

q q q q q

∮ ∮ ' ' 2

= = = =

E= →Φ E d S '= d S S 4 π r

' ε

2 S 2 2 2

4 π ε r 4 π ε r 4 π ε r 4 π ε r 0

' '

0 S 0 S 0 0

Quindi ho dimostrato legge Gauss. 2

Campo elettrico generato da piano infinito con densità di carica superficiale σ (C/m ):

σ

E= 2 ε 0

E sempre in direzione ⊥ al piano (simmetria) con verso uscente (dimostr con T Gauss,

costruisco cilindro).

Forma vettoriale (asse x ⊥ piano, positivo a dx):

{ σ

⃗ ^

= >0

E x x

2 ε 0

−σ

⃗ = ^ <0

E x x

2 ε 0

Potenziale elettrico a dx e sx piano:

B (x > 0): −σ −σ

σ

∫ ∫

⃗ ⃗

=− +k =

V E dl=− dx= x x

2 ε 2 ε 2 ε

0 0 0

V diminuisce se mi allontano; k costante arbitraria impongo V(x = 0) = 0 quindi k =



0. ( )

σ σ

⃗

⃗ dx

)

E ,0 , 0 , dl(dx ,dy , dz

NB componenti , prodotto scalare .

2 ε 2 ε

0 0

A (x < 0): σ σ

= +k =

V x x

2 ε 2 ε

0 0

Differenza potenziale tra due pti P e Q nelle due regioni:

{ −σ ( )

( )−V ( )= −x >0

V P Q x x

P Q

2 ε 0

σ ( )

( )−V ( )= −x <0

V P Q x x

P Q

2 ε 0

Due piani infiniti paralleli caricati +σ e -σ (stesso modulo) a distanza D, analisi

regioni A (sx), B (in mezzo), C (dx):

Campo elettrico: +σ σ ⃗ ⃗

⇒

− =

E 0

Regione A:

 tot

2 ε 2 ε

0 0

−σ σ ⃗ ⃗

⇒

+ =

E 0

Regione C:

 tot

2 ε 2 ε

0 0

+σ σ σ

⃗

⇒

+ = ^

E x

Regione B:

 tot

2 ε 2 ε ε

0 0 0

Potenziale (imposto origine asse x su piastra sx):

−σ '

= +k

V x

Regione B, 0 ≤ x ≤ D:

 ε 0 −σ

σ σ

' '

( )=0 ⇒− ⇒ ⇒V

=D = = (

V x D+ k k D x−D)

Impongo ε ε ε

0 0 0

σ

=

V D

Regione A, x ≤ 0:

 ε 0

=0

Regione C, x ≥ D: V



NB se E nullo V costante.

Lavoro per portare carica q0 da regione A a B (opposto L forze elettriche) positivo (da

( )

=−L =q =q −V

L ΔV V

V più alto a più basso, diminuisce Ep e aumenta Ek): .

io Fel 0 0 A B

Guscio sferico cavo (raggio R) caricato uniformemente sulla superficie,

( )

Q C

=

σ . Calcolo E con T Gauss, scelgo superfici sferiche concentriche (raggio

2 2

4 π R m

r) E radiale, stessa intensità.

 Esterno della sfera, r > R:

 Q Q

⃗ ⃗ ⃗

2 tot ^

⇒

¿ =