Riassunto Fisica II

A B B C A C C C

1 2

C C

1 1 1 1 2

⇒

= + =

C s +C

C C C C

s 1 2 1 2

CONDENSATORI IN PARALLELO = tutti gli estremi in comune. Entrambi cond

 hanno stessa diff potenziale tra zona A (da un lato) e B (l’altro), piastre da un

lato a stesso potenziale, collegate da circuito; carica dei due può anche essere

diversa (q carica totale):

( ) ( ) ( )

=C −V =C −V −V

q V , q V , q=C V

1 1 A B 2 2 A B p A B

+q =q=(V −V )(C +C )

q

Sommo prime due eq: , quindi:

1 2 A B 1 2

=C +C

C p 1 2

Cariche in un circuito

Per convenzione ci riferiamo a cariche + che vanno da zona a V maggiore a minore, in

realtà PORTATORI DI CARICA sono gli ELETTRONI, negativi, direzione opposta.

3

−¿ / m

Stima numero portatori di carica per utà volume ( ) in det elemento,

¿

e

supponendo che ogni atomo liberi una carica:

−¿

e 3

m

ρ 28

≅6∙ ¿

n= N es Ag n 10

A

A

ρ = densità, A = numero di massa, NA = numero Avogadro.

Due oggetti a diverso V in circuito: cariche tendono a riorganizzarsi finché V non sono

uguali. Utilizzo generatore di tensione o forza elettromotrice (fem) mantiene il V di un

oggetto maggiore dell’altro, in modo da far fluire cariche fino ad esaurimento batterie.

Cariche (+) libere nel circuito sottoposte a F elettrica accelerano (moto UA) fino a



⃗

⃗

v // E.

velocità massima detta VELOCITÀ DI DERIVA D

Data superficie Σ interna a circuito e carica Δq che la attraversa in tempo Δt si

definisce:

Δq C

=i =

CORRENTE MEDIA , espressa in A AMPER E

M

Δt s

Δq dq

= =i

lim CORRENTE ISTANTANEA

Δt dt

Δt → 0 ⃗

Considero superficie infinitesima interna a conduttore, (versore normale a

=d ^

d Σ Σ u

sup), devo trovare carica totale Δq che attraversa sup in Δt. Δ l=v Δt

Portatori che hanno attraversato sup dopo tale tempo saranno a distanza D

costruisco cilindro di altezza Δl; Δq è data da volume cilindro * densità portatori *



carica: ⃗

⃗

Δ q=nq Vol=nq Δ l d Σ cos θ=nq v d Σcos θ Δ t=nq v ∙ d Σ Δt

D D

⃗ ⃗

j=nq v 2

Si definisce DENSITÀ DI CORRENTE misurato in A/m .

D

Quindi: Δq

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⇒ = =di

Δ q= j ∙ d Σ Δt j∙ d Σ corrente ( media ) infinitesima

Δt

∫ ⃗ ⃗

i= j ∙ d Σ corrente totale superficie estesa

Σ

Noi parliamo di fili elettrici cilindrici di sezione Σ ⊥ j (costante) .

i= j Σ



In realtà portatori carica negativi, velocità di verso opposto, ma j rimane uguale

⃗ ( )

(−q ) −⃗ =nq ⃗

j=n v v , quindi anche i non si capisce ancora direz seguita da



D D

cariche, per convenzione movimento cariche + da V maggiore a minore.

v

Elettrone soggetto a F elettrica: accelera liberamente raggiungendo , finché non

D

urta un altro e- τ = tempo trascorso tra due urti. Quindi:



⃗

q E qτ ⃗

⃗ =⃗ =

v a τ= τ E

D m m

⃗ ⃗

j=nq v :

Dato che D

2

qτ nq τ

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⇒

= =σ

j=nq E E j E LEGGE DI OHM della CONDUTTIVIT À ELETTRICA

m m

2

nq τ

=

σ CONDUTTIVIT À ELETTRICA (Siemens)

m

Scritta anche:

1 m

⃗ ⃗ ⃗

= =ρ

E J j ρ= RESISTIVITÀ

σ 2

nq τ

Applico legge Ohm a conduttore cilindrico (filo) di sezione Σ e lunghezza l (da A a B),

i= j Σ

collegato a generatore fem (vale ):

i

E= ρj=ρ Σ A B

∫ ∫

⃗

⃗

=V −V =− (l=B−

Δ V E d l=+ Edl=El A , E // l)

A B B A

ρl

=

Δ V i=R i LEGGE DI OHM per un conduttore cilindrico

Σ

ρl

R= RESISTENZA ( Ω OHM)

Σ

Proporzionalità diretta tra i e ΔV. R ∝ ρ (materiale conduttore, caratteristica fisica), ∝



l e 1/∝ Σ (lunghezza e area, caratt generiche).

RESISTENZE in un circuito (resistori)

Collegamento due resistenze R1 e R2 e calcolo R equivalente, due modi (inverso

condensatore):

IN SERIE: un estremo in comune, attraversate da stessa corrente; considero

 punti A (prima delle resistenze), B (tra esse), C (dopo):

−V =R −V =R −V =R

V i ,V i , V i

A B 1 B C 2 A C s

( )

−V = +

V R R i

Sommo prime due eq: , quindi:

A C 1 2

=R +

R R

s 1 2

IN PARALLELO: entrambi estremi in comune e alla stessa ΔV, corrente i si

 divide in i1 e i2; considero punti A e B (prima e dopo il parallelo):

( )

−V

V

−V −V

V V A B

A B A B

= =

i , i , i=

1 2

R R R

1 2 p ( )

1 1

+i =i=(V −V ) +

i

Sommo prime due eq: , quindi:

1 2 A B R R

1 2

R R

1 1 1 1 2

⇒

= + =

R p +

R R R R R

p 1 2 1 2

<

R R , R .

 p 1 2

Effetto Joule corrente che attraversa resistenza

Considero circuito con generatore di fem ℰ e resistenza R, ai suoi capi punti A e B,

corrente i in senso orario. Qtà carica Δq passa da A a B attraverso R T En cinetica:



( )

(B) A v

=E −E =L

Δ E (lavoro fatto sui portatori). A regime stazionario D

K K K TOT

⇒

=0 =0

Δ E L

costante .

 K TOT

Su cariche agiscono F elettrica e attrito:

⇒

=L + =0 =−L

L L L

TOT F F F F

el attr el attr

=−q

L ΔV

Dato che :

F el

( ) ( ) ( )

⇒

=Δq −V =−Δq −V =−E = −V

L V V E Δq V

F B A A B dissipata diss A B

attr −V =ΔV

V ¿

NB: in questo caso solo generatore e R (ai capi R) .

E

 A B

POTENZA DISSIPATA MEDIA e ISTANTANEA RESISTENZA:

E Δ q Δ V

diss

= = =i

P ΔV

diss media M

Δt Δt 2

ΔV

2

= =i =R =

P lim P ΔV i → EFFETTO JOULE di ENERGIA DISSIPATA

diss diss media R

Δt→ 0

POTENZA EROGATA GENERATORE:

=Ei

P gen =P =E

P i

Una resistenza: .

gen diss (1) (2) 2

( )

=Ei =P + = +

P ; P P R R i

Due resistenze: gen diss diss diss 1 2

GENERATORI REALI: visti come gen ideali con resistenza interna Rint (ideali: forniscono

−V =E

V

P costante e infinita, Rint nulla). Se A e B capi del gen (+ Rint), ΔV a



A B

circuito aperto. ∫ ¿

Gen reale collegato a resistenza R Rint e R in serie, :

 =R +

R R ¿

s

<

R+ R E

∫ ¿ RE

⇒ =Ri=

R+ R Δ V ¿

∫ ¿ E E

=

i= ¿

R s

in realtà generatore eroga fem leggermente inferiore.



CIRCUITO RC: generatore, condensatore, resistenza (senso orario).

Circuito chiuso (t > 0): inizia a circolare corrente in senso orario, cariche + si

accumulano su piastra cond, quindi sull’altra cariche - si genera una ΔV. Analisi ΔV



ai capi R (A, B) percorrendo tratti opposti circuito (attraverso R e attrav cond-gen):

−V =Ri

V A B −q

−V = +

V E

A B C /C

– q

Col tempo aumenta carica accumulata cond e quindi fattore (opposto a fem),

−q ⇒ ⇒

=E =0

ΔV i=0

fino a che non si eguagliano: , non circola più corrente.

C −q ⇒

+ =E

E=0 q C

Qtà max carica accumulata cond: .

0

C

Andamento q in funzione del tempo, eq differenziale:

−q −q

dq dq E E C−q

⇒

= + = + =

Ri=R E

dt C dt RC R τ

RC=τ COSTANTE DI TEMPO circuito.

Soluzione equazione:

( ) ( )

−t −t

τ τ

( )=E =q

q t C 1−e 1−e

0

=E

q=q C

Grafico t-q: asintoto orizzontale.

0

Andamento corrente:

−t −t

τ

q e τ

dq Ee

0

= =

i= dt τ R q E

0 =

i iniziale (t = 0): .

i= τ R

Diff potenziale ai capi R e C:

−t −t −t

τ τ

R q e q e

0 0 τ

=Ri= = =E

Δ V e

R RC C

( )

−t

q τ

= =E

Δ V 1−e

C C

+ =E

Δ V ΔV .

 R C ∞

ENERGIA TOTALE EROGATA GENERATORE nel tempo (da 0 = cond scarico a +

= cond carico):

+∞ +∞ +∞ dq

∫ ∫ ∫

=

E P dt= E idt=E dt=E q

gen gen 0

dt

0 0 0

ENERGIA DISSIPATA RESISTENZA:

+∞ +∞ +∞ −2 +∞ −2

t t

2 2

E E

∫ ∫ ∫ ∫

2 τ τ

=

E P dt= R i dt=R e dt= e dt

diss diss 2 R

R

0 0 0 0

−2 −τ

t = y , dt= dy

Risolvo per sostituzione, :

τ 2

−∞

−1 −1 1 1

∫

2 y 2 2

( )=

=

E E C e dt= E C 0−1 E C= E q

diss 0

2 2 2 2

0

in questo caso R ha dissipato METÀ En generata.



Altra metà? IMMAGAZZINATA da CONDENSATORE:

2

1 1 1 q

2

= = =

E q ΔV C ΔV

cond 2 2 2 C

Dove q = carica tot accumulata. Dimostrazione:

Lavoro per portare carica di prova q da pto 1 a 2:

( )

=−(−q )=q

=−L =q −V

L Δ V ΔV V .

io F 2 1

el

Condensatore carico, ΔV tra piastre = q/C porto carica infinitesima dq da piastra + a

 q

=dq

dL=dq Δ V

-, compio lavoro infinitesimo .

C

Lavoro totale compiuto = En accumulata cond integrale:



|

Q

2 Q 2 2

q 1 q 1 Q 1 1

∫ ∫ 2

=E = = = =

L dL= dq= Q ΔV C ΔV

io cond C C 2 2 C 2 2

0

1 0

Dove Q = carica tot accumulata.

SCARICA CONDENSATORE: rimosso generatore da circuito RC (cond in alto, R in

basso).

ΔV tra punti A e B (dx e sx circuito) attraverso cond e R:

q dq

−V = =Ri=−R

V A B C dt

Perché corrente fa calare q (dq negativo). Andamento q mentre cond si scarica:

−t

−q

dq τ

( )=q

⇒q

= t e

0

dt RC q q

−1 0 0

≅