Riassunto Fisica I, prof F. Gonella

∂F

∑ 2

=

δF δ v i

∂ v

i=1 i

∂F v

NB = derivata parziale di F rispetto alla variabile i

∂ v i m L−T

=

ρ=

Vedi esempio con la densità , dove L = peso lordo e T = tara.

V 3

l

Formula propagazione massima degli errori:

| |

n ∂F

∑

=

δF δ v i

∂ v

i=1 i

Media ponderata: utile se abbiamo set di dati misurati con incertezze diverse (es tre

scatole di diversa grandezza), per ogni dato si aggiunge un contributo (coefficiente)

calcolato in base a importanza del dato (incertezza minore implica maggiore

importanza). Formula:

n x

∑ i

2

σ

i=1

x́= n 1

∑ 2

σ

i=1

Formula errore associato alla media ponderata:

1

δ x́= √ n 1

∑ 2

σ

i=1

Altro metodo per calcolare una misura indiretta espressa come rapporto tra due

variabili (es densità): interpolazione con metodo dei minimi quadrati. 1)

costruisco grafico con le due variabili in ascissa e ordinata; 2) inserisco nel grafico le

coppie di dati delle due variabili e ottengo dei punti (mediamente allineati); 3) trovo

retta che meglio interpola dati sperimentali = minimizza somma delle distanze

tra essa e i punti; 4) coefficiente angolare della retta corrisponde al valore della

misura indiretta.

Per ridurre complessità si può trascurare errore di una delle due variabili (considerarlo

nullo). Formula coefficiente retta e sua incertezza:

´

xy−x́ ý

=

m ´

r 2 2

−( )

x x́ √ 2

δ y

=

δ m ´

r 2 2

−( )

[ ]

n x x́

Cinematica

Analisi movimento di un corpo = punto materiale.

dx

( )=

v t dt 2

dv d x

)= =

a(t 2

dt d t

MOTO RETTILINEO UNIFORME (MRU):

+

x=x vt

0

v=cost

a=0 =0

t

Supponendo istante iniziale 0

t ≠ 0 + (t−t )

Se  x=x v

0 0

0

Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato (MRUA):

1 2

+

x=x v t+ at

0 0 2

+at

v=v 0

2 2

=v +2 )

v a(x−x

0 0

a=cost =0

t

Supponendo 0 1 2

( ) ( )

+ +

t ≠ 0 x=x v t−t a t−t

Se 

0 0 0 0 0

2

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ

m

g=9.8 2

s

Moto in un piano vettori r (posizione/raggio vettore), v (velocità), a



(accelerazione) a due componenti x,y combinazione di due moti rettilinei lungo gli



assi, u = VERSORI +

r=x u y u

x y

=v +

v u v u

x x y y

+

a=a u a u

x x y y

VELOCITÀ si può scomporre anche in radiale (variazione modulo vettore r) +

trasversa (variazione direzione vettore r).

Accelerazione: TANGENZIALE (variaz modulo vettore v “accelerare”/”frenare”) +



CENTRIPETA/NORMALE (variaz direzione v “curvare”):



2

dv v

⃗ =a + = ⃗ + ⃗

a a u u

T N T N

dt R

u = versore normale

N

R = raggio di curvatura

MOTO CIRCOLARE posizione r costante in modulo, varia direzione. ϑ = angolo tra



r e asse x = posizione angolare, misurata in rad. Velocità angolare ω = variaz ϑ

nel tempo, misurata in rad/s. Accelerazione angolare α = variaz ω nel tempo,

misurata in rad/s :

2

dϑ

ω= dt 2 ϑ

dω d

= =

α 2

dt d t

MC UNIFORME modulo velocità costante, accelerazione solo centripeta.



Galileo, PRINCIPIO DI INERZIA, rielaborato da Newton, PRIMA LEGGE DELLA

DINAMICA un corpo conserva il suo stato di moto (in movimento o fermo) finché



esso non viene perturbato da un agente esterno.

FORZA: rappresentazione analitica dell’alterazione in grado di cambiare stato di moto

di un corpo, causando un’accelerazione. Ha componente TANGENZIALE (altera

modulo v) e CENTRIPETA (altera direzione v).

Newton, SECONDA LEGGE (assioma):

⃗ =m ⃗

F a

ris

F = FORZA RISULTANTE, insieme di tutte le forze agenti su un corpo. Dato da

ris

massa (coefficiente proprio del corpo) per vett accelerazione. Corpo fermo = F

risultante nulla. Forza espressa in Newton



2 =N

Kg m/ s

+ =m(d /dt+ /dt)

F=F F v d v

Si può scomporre x y x y

Componente tangenziale e centripeta/normale di F risultante:

( )

2

dv v

⃗ ⃗ ⃗

= + =m ⃗ + ⃗

F F F u u

ris risT risN T N

dt R

Classificazione forze macroscopiche:

F

1. FORZA DI GRAVITA’ g

due masse M e M poste a distanza r:

1 2

M M

⃗ 1 2

=G ⃗

F u

g r

2

r

G = costante di gravitazione universale

u versore, indica congiungente delle due masse (lungo cui diretta la forza).

r

Se un corpo di massa m in prossimità della superficie terrestre (r = distanza

2

corpo-centro della Terra): quantità considerata costante =

/r

G M T

2

accelerazione di gravità FORZA PESO:



( )

g=9.8 m/ s N

⃗ =mg

F

diretta sempre verso il centro della Terra.

2. REAZIONE VINCOLARE (F NORMALE) N

È una forza di contatto = forza che si manifesta tra corpi in contatto tra loro.

Forza esercitata da una superficie su un oggetto appoggiato su di essa per

contrastare il suo peso e impedire che esso cada. Agisce sempre nella direzione

perpendicolare al piano d’appoggio.

3. TENSIONE T

Forza di contatto, agisce su un corpo appeso a una corda Macchina di



Atwood

4. FORZA DI ATTRITO

Attrito STATICO agisce quando a un corpo fermo è applicata una forza

 

esterna (oltre e forza peso e forza normale), impedisce (se forza esterna

non troppo elevata) al corpo di muoversi. Direzione contraria a forza

esercitata sul corpo.

Attrito DINAMICO resistenza allo scivolamento di un corpo, subisce

 

accelerazione discorde alla direzione della velocità e del moto (rallenta e

si ferma). Formula:

⃗ =−Nμ ⃗

F u v

Forza normale (con cui oggetto appoggia sulla superficie)

N=¿ Coefficiente attrito dinamico, dipende dal tipo di superficie

μ=¿

=¿

u versore, indica direzione della velocità (e del moto)

v

segno – direz inversa rispetto a v.



5. FORZA ELASTICA

Forza non costante, direz inversa (discorde) allo spostamento dalla posizione di

riposo della molla e intensità proporzionale a tale spostamento:

F=−k ∆ x

Costante elastica, misurata in N/m varia a seconda della forza della



=¿

k

molla.

Se considero origine asse x come la posizione di riposo della molla :

 ∆ x=x

F=−kx

Moto corpo soggetto alla F elastica MOTO ARMONICO SEMPLICE



−kx=ma

Porre , si ottiene equazione differenziale:

2

d x k ⇒

+ x=0 x= A cos ωt

2 m

d t

Ampiezza del moto x varia tra (estremi moto del corpo)



A=¿ ± A

√ /s

Pulsazione in rad

/m=¿

ω= k −1

=ω/2 Frequenza in Hertz (oscillazioni al secondi)

ν π=¿ H=s

−1 Periodo del moto in s (secondi per un’oscillazione)

=ν =¿

T

Equazioni del MAS: ( )=

x t A cos ωt

( )=x (t)=−

v t ' Aω sin ωt

2

( )=v (t)=−A

a t ' ω cos ωt

Grafici:

x max (positivo/negativo) v = 0

 

x max positivo a max negativa (e viceversa)

 

x = 0 F = 0 (F = -kx) a = 0 (F = ma)

  

x = 0 v max

 

LAVORO compiuto da una forza F su un corpo (pto materiale) lungo percorso A-B:

B

∫ ⃗

= ⃗

W F ∙d s

AB A ( )

2 2

UDM: Joule (“Giul”)

/ =J

N∗m Kg∗m s

NB Prodotto scalare di 2 vettori è un numero (angolo compreso),

 ϑ

A ∙ B= AB cos

+ +

A ∙ B= A B A B A B

oppure (componenti cartesiane). Metodo grafico: moltiplico B

x x y y z z

* la proiezione di A su di esso (o viceversa).

W inteso come somma dei prod scalari tra lunghezza infinitesima ds e la forza F

agente su ogni intervallo (sempre la stessa, es Fp) nel percorso AB,

indipendentemente da altre forze.

W positivo (angolo tra F e ds < 90°, cos > 0), negativo (angolo > 90°) o nullo

(angolo = 90°) tutte le forze (o componenti delle forze) centripete compiono W



nullo (es satellite).

Considero lavoro totale:

B

∫ ⃗

= ⃗

W F ∙ d s

¿T ris

AB A

Passaggi ottengo:



1 1

2 2

= −

W m v mv

¿T B A

2 2

AB

Lavoro indipendente dal percorso, dipende solo da v iniziale e v finale.

E

ENERGIA CINETICA K

1 2

=

E m v

K 2

Ek = energia posseduta da un corpo quando esso è in movimento (se fermo K = 0),

espressa sempre in J. Sempre un valore positivo.

Teorema dell’Energia cinetica:

=∆ =E −E

W E

¿T K KB K A

AB

Sempre valido. W sul corpo > 0 Ek del corpo aumentata, W < 0 Ek calata

 

(sempre positiva!).

W compiuto da ciascuna forza (peso, elastica, attrito) lungo percorso A-B:

{ PAB =mg −mgz

W z A B

2

1 1

EAB 2

= −

W k x kx

A

2 2 B

AB =−μN

W s

A AB

Wp dipende solo da quota del punto di partenza e di arrivo

 We dipende solo da posizione iniziale e finale rispetto all’equilibrio della molla

 Wa dipende da lunghezza della traiettoria compiuta



F peso ed elastiche sono FORZE CONSERVATIVE

Lavoro può essere calcolato come variazione di una funzione scalare delle



coordinate di partenza e arrivo

Espresso come l’opposto della variazione di qtà chiamata ENERGIA POTENZIALE



E P ( )=−∆

=−∆

W mgz E ( )

P P P

( )

12 2

=−∆ =−∆

W k x E (E )

E P

Moto con sole forze conservative CONSERVAZIONE ENERGIA MECCANICA



=E −E =E −E

W K B K A P A PB

+ =E +

E E E

K A P A KB P B

+ =costante

E E

K P

+ =0

∆ E ∆ E

K P

Studio moto attraverso bilanci energetici dove perdo En cinetica guadagno En



potenziale (e viceversa). + =W

∆ E ∆ E

F di attrito è DISSIPATIVA energia non perduta ma

 

K P dissipato

convertita in CALORE.

QUANTITÀ DI MOTO (momentum = “inerzia”) = prodotto massa e velocità:

⃗ ⃗

p=m