Teoria degli errori
Cifre significative
L'attendibilità delle misure è strettamente legata all'incertezza. La sensibilità di uno strumento rappresenta la minima quantità che esso riesce a misurare.
Errori casuali e sistematici
Errori casuali (fonti di incertezza) si manifestano con fluttuazioni attorno al valore vero nelle misure ripetute, determinando la precisione.
Errori sistematici rappresentano lo scostamento di tutti i dati misurati in una direzione specifica (sottostima o sovrastima, come nel caso di una bilancia tarata male), influenzando l'accuratezza.
Un caso di alta precisione e bassa accuratezza è un orologio ben tarato ma che misura sempre un’ora indietro. Viceversa, un caso di bassa precisione e alta accuratezza è un orologio regolato giusto ma senza lancetta dei minuti.
Media aritmetica e distribuzione gaussiana
La formula della media aritmetica è: n∑i=1 xi = x̄/n.
La curva gaussiana, o distribuzione normale, è ottenuta attraverso un istogramma. Sull'ordinata è indicata la frequenza con cui appare un determinato valore, sull'ascissa le misure del valore. La funzione gaussiana è: f(x) = e-(x-x̄)2/2σ2 / √(2πσ2).
La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è la media dei quadrati degli scarti: σ = √(n∑i=1(xi - x̄)2/n).
Significato probabilistico della deviazione standard
- 68.3% di possibilità di ricadere nell'intervallo ± σ
- 95.4% in ± 2σ
- 99.7% in ± 3σ
Per la valutazione numerica dell'attendibilità del dato, se non è possibile effettuare n misure, l'incertezza sulla misura può essere considerata come σ, con il 99.7% di possibilità che la misura sia compresa in un intervallo tra ± 3σ.
Misure indirette e propagazione degli errori
La maggior parte delle misure di una grandezza sono indirette, ovvero funzione di una o più misure dirette. Ogni variabile ha un'incertezza associata, e l'obiettivo è trovare l'incertezza di F.
La formula di propagazione quadratica degli errori è: δF = √(Σi=1n(∂F/∂vi)2(δvi)2).
Esempio: densità, dove L = peso lordo e T = tara.
La propagazione massima degli errori è: δF = |Σi=1n(∂F/∂vi) δvi|.
Media ponderata e metodo dei minimi quadrati
La media ponderata è utile per set di dati misurati con incertezze diverse. Per ogni dato si aggiunge un contributo (coefficiente) calcolato in base all'importanza del dato. Formula: x̄ = (Σi=1nxi/σi2) / (Σi=1n1/σi2).
L'errore associato alla media ponderata è: δx̄ = √(Σi=1n1/σi2).
Altro metodo per calcolare una misura indiretta espressa come rapporto tra due variabili è l'interpolazione con metodo dei minimi quadrati. Procedura:
- Costruire un grafico con le due variabili in ascissa e ordinata
- Inserire nel grafico le coppie di dati e ottenere punti mediamente allineati
- Trovare la retta che meglio interpola i dati sperimentali minimizzando la somma delle distanze tra essa e i punti
- Il coefficiente angolare della retta corrisponde al valore della misura indiretta
Per ridurre complessità, si può trascurare l'errore di una delle due variabili considerandolo nullo. La formula del coefficiente della retta e della sua incertezza è: m = Σ(xy - x̄ȳ) / Σ(x - x̄)2, con δm = δy / √Σ(x - x̄)2.
Cinematica
Analisi del movimento di un corpo
Il movimento di un corpo può essere analizzato come un punto materiale. Le equazioni principali sono:
v(t) = dx/dt
a(t) = dv/dt = d2x/dt2
Moto rettilineo uniforme (MRU)
Per il moto rettilineo uniforme (MRU), valgono le seguenti equazioni:
- x = x0 + vt
- v = costante
- a = 0
Supponendo l'istante iniziale t = 0, si ha: x = x0 + v(t - t0).
Recensioni
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