Riassunto esame Sistemi e modelli, prof. Bisiacco e Pillonetto, libro consigliato Sistemi e modelli, M. Bisiacco e G. Pillonetto

Sistemi dinamici e modelli di stato

Modelli di stato

Modello che tiene conto delle variabili di stato. La conoscenza delle loro condizioni iniziali e dell'ingresso permette la risoluzione delle corrispondenti equazioni differenziali. Mentre i modelli di stato lineari troviamo solo la relazione tra ingresso e uscita.

• Deterministici: Noti gli andamenti di alcune variabili, conosco con certezza come evolverà il sistema.
• Stocastici: Descritti tramite variabili aleatorie.
• Causali: Ad ogni causa che inizia in t₀ corrisponde un effetto che si manifesta non prima di t₀ (NO anticipatori).
• Tempo invarianti: Leggi che descrivono il fenomeno rimangono invariate nel tempo.
• Statici: L'uscita dipende dall'ingresso nell'istante t (PRESENTE).
• Dinamici: L'uscita dipende da passato e futuro dell'ingresso.
• Lineare: Uscita dipende solo da una relazione lineare dell'ingresso.
• Non lineare: Uscita dipende da una funzione non lineare dell'ingresso.

esy(t) = a·u(t) è lineare

y(t) = a·u(t)² non è lineare

I modelli di stato porteranno a tante equazioni differenziali quante le variabili di stato, ma tutte del primo ordine (derivata prima).

Sistemi dinamici e modelli di stato

Modello che tiene conto delle variabili di stato. La conoscenza delle loro condizioni iniziali e dell'ingresso permette la risoluzione delle corrispondenti equazioni differenziali. Mentre i modelli I/O evidenziano solo la relazione tra ingresso e uscita.

• Deterministici: Noti gli andamenti di alcune variabili, conosco con certezza come evolverà il sistema.
• Stocastici: Descritti tramite variabili aleatorie.
• Causali: Ad ogni causa che inizio a tempo t corrisponde un effetto che si manifesta non prima di t, y(t) = (Mu(t-τ)).
• Tempo invarianti: Leggi che descrivono il fenomeno rimangono invariate nel tempo.
• Statici: L'uscita dipende dall'ingresso nell'istante t (PRESENTE).
• Dinamici: L'uscita dipende da passato e futuro dell'ingresso.
• Lineare: Uscita dipende solo da una relazione lineare dell'ingresso.
• Non lineare: Uscita dipende da una funzione non lineare dell'ingresso.

esy(t) = a · u(t) è lineare

y(t) = a · u(t)² non è lineare

I modelli di stato porteranno a tante equazioni differenziali quante le variabili di stato, ma tutte del primo ordine (derivata prima).

Tempo continuo e discreto

• Tempo continuo: Equazione nel dominio di stato e di uscita.
• Tempo discreto: Come prima, solo che l'uscita è diversa. Bisogna aggiungere un termine nell'equazione.

Quindi:

• Continuo: Variabile reale → Equazioni differenziali.
• Discreto: Variabile naturale → Equazioni alle differenze.

Autonomo e cambio di base

Nel caso autonomo, diventa cambio di base. Definiamo quindi la forma di Jordan. Ho una matrice F : M in M con un solo autovalore λ₁ perciò U_F = M. Poiché so che g_λ(x) = (avendo dim (λ₁I-F)^k = ...