Riassunto esame Sistemi e modelli, prof. Bisiacco e Pillonetto, libro consigliato Sistemi e modelli, M. Bisiacco e G. Pillonetto

1) Sistemi Dinamici e Modelli di Stato

Modelli di Stato

Modello che tiene conto delle variabili di stato

• Modelli di Stato Lineari

La conoscenza delle loro condizioni iniziali e dell’ingresso permette la risoluzione delle corrispondenti equazioni differenziali.

Mentre i modelli IO evidenziano solo la relazione tra ingresso e uscita

Possano essere

• Deterministici: noti andamenti di alcune variabili, conosco con certezza come evolverà il sistema.
• Stocastici: descritti tramite variabili aleatorie.
• Causali: ad ogni causa che si manifesta in un istante t corrisponde un effetto che si manifesta non prima di t.
• Tempo Invarianti: leggi che descrivono il fenomeno rimangono invariate nel tempo.
• Statici: l’uscita dipende dall’ingresso nell’istante t (presente).
• Dinamici: l’uscita dipende da passato e futuro dell'ingresso.
• Lineare: uscita dipende solo da una relazione lineare dell’ingresso.
• Non Lineare: uscita dipende da una funzione non lineare dell’ingresso.

es: y(t) = a * u(t) è lineare

y(t) = a * u(t)² non è lineare

Modelli di Stato - porteranno a tante equazioni differenziali tante quante le variabili di stato, ma tutte del primo ordine (derivata prima).

Distinguere

TEMPO CONTINUO

x(l) ∈ dominio di stato → χ(l) = [X(l), u(l)]

eq. statica di uscita

Y(l) = ψ(l, u(l))

TEMPO DISCRETO

• come prima solo che

Quindi

TEMPO CONTINUO → variabile reale (N) → EQ DIFFERENZIALI

TEMPO DISCRETO → variabile naturale (N) → EQ ALLE DIFFERENZE

CAMBIO DI VARIABILE

Se ho X(t+z) - a · X(t) = b · u(t+1)

2 SISTEMI LINEARI AUTONOMI

SISTEMI AUTONOMI: assenza di INGRESSI che influiscono sul sistema.

SISTEMI LINEARI: tutte le funzioni in gioco sono LINEARI.

Quindi la FORMA MATRICIALE è un sistema LINEARE di:

ẋ = Fx + G u

Y = Hx + J u

CAMBIO DI BASE

ẋ = Fx

Definiamo ẋ = Tx = T·ẋ

3) LAPLACE

Calcolo MATRICE INVERSA A =

1) Per calcolare la cella (1,1) della MATRICE INVERSA tolgo riga e colonna dell'elemento e faccio il determinante della matrice che rimane ovvero det

adj(A)

2) Faccio il passo 1 per tutti gli elementi e TRASPONGO il tutto 3) Cambio segni secondo questo schema:

- + - + + - + - - + - + + - + -

4) Divido tutta la matrice per il determinante della matrice iniziale

Quindi

A^-1 = ^{adj (A)}/_{det (A)}

det(A)

ORA

La soluzione del x(t) = e^Ft x(0) deriva dall'equazione differenziale con condizione iniz x(0) quindi si usa pure la LAPLACE.

x˙ = F·x

(sI - F) X(s) = X(0) → X(s) = (sI - F)^-1 X(0)

Posso incut. nella JORDAN

Quindi per risolvere un esercizio bisogna scegliere Q e valutare P (Lyapunov 2),

• Non scegliere P e valutare Q ([espressione] curve di livello).

Esempio:

A F=[0 -1 4 -4]

Autovalori det[A-lI]=det [4-l l]=(-l)²=0

Lyapunov 1 (Scelgo P e valuto Q)

Scegliamo P= [0 2] quindi

Q=F^TP+ ^PF

• ^{0 2} _{0 0} 0 0
• ^{1 0} _{0 1} [x 0]=[2x 4x -2x-y] [x -2x 0 0]
• [y 0]
• [0 4 -2]
• Q=[2 12 -2 0]

Quindi valutato per Q la matrice Q risulta definita positiva ∀ x₀

• det[A-lQ]= (2-l)(4-l)-0→ det= 2(l-2)Per l=3
• Ricorda!!! non basta neanche
• per le informazioni che voglio

Lyapunov 2 (Scelgo Q e valuto P)

• Scegliamo Q= [0 1] quindi P= [x y] [x -2x -2ey4y] [x -2x -4y]
• Risulta dac equazione di Lyapunov V(1)= x₁4

• Metodo Giusto
• V(2)= 2x², x², x² per l>0>

Domande

• Stabilità autovalori[4 3]
• Stabilità V(x n)= x¹x;
• Stabilitàdeterminare V₀ ciò che V₀ = 0 >0>
• Quindi [2 5]
• Test stabilità p
• Per l=4 [1 0]
• Attenzione!!!
• non posso stabilire neanche che non aumenta stabilità₃

Non posso concludere niente [9 3, 1]

Teorema di Cayley-Hamilton

Per ogni matrice quadrata F il suo polinomio caratteristico è sempre un POLINOMIO ANNULLATORE di F stesso.

Quindi

F_n = a_n-1F_n-1 + ... + a₀I

Pertanto la potenza F^m può essere espressa come combinazione lineare delle potenze precedenti.

SISTEMI A TEMPO DISCRETO

Nel caso DISCRETO uso EQUAZ ALLE DIFFERENZE

x(t+1) = F x(t) + G u(t)

y(t) = H x(t) + J u(t)

CASO LINEARE

• x(t+1) = F x(t) + G a(t)
• y(t) = H x(t) + J a(t)

EQUAZ DI STATO

CONTINUO

x(t) = e^Ftx(0) + ∫^t₀ e^F(t-σ)G u(σ) dσ

LIBERA: x(t) = e^Ftx(0)

FORZATA: e^F(t-σ) G u(σ) dσ

DISCRETO

x(t) = F x(t) + G u(t)

LIBERA: F^k x(0)

PUNTI DI EQUILIBRIO

CONTINUO

X = FX=0

PongoF X = 0↓

DISCRETO

Devo imporre che NON si vera manzia tra l'istante t e l'istante t+1, quindiX(t+1) = X(t)Per cui

F (F-I)

MINIBLOCCHI DI JORDAN

CONTINUO

e^t e^2t e^3t

DISCRETO

λ = 0

F^t

e^Ft

F^t

λ ≠ 0

6. Identificazione parametrica di sistema

Identificabilità: 2 piani

1. Globalmente identificabile
2. Localmente identificabile
3. Non identificabile

Caso lineare

Metodo del EDT

Esame:

• X_k+1 = AX_k + Bu_k
• Y_k = HX_k + Ju_k

W_d= H(SI-F)^-1G

X_eq = X(∞)

Siccome il sistema NON ha uscite verso l'esterno deve verificarsi:

X(0) = X(∞)

26 = 26