Riassunto esame Sistemi e modelli, prof. Bisiacco e Pillonetto, libro consigliato Sistemi e modelli, M. Bisiacco e G. Pillonetto

1) SISTEMI DINAMICI E MODELLI DI STATO

MODELLI DI STATO

Modello che tiene conto delle VARIABILI DI STATO

La conoscenza delle loro condizioni iniziali e dell'ingresso permette la risoluzione delle corrispondenti equazioni differenziali.

Mentre i MODELLI DI STATO LINEARI troviamo solo la relazione tra INGRESSO e USCITA.

Possano essere:

• DETERMINISTICI: noti gli andamenti di alcune variabili, conosco con certezza come evolverà il sistema.
• STOCASTICI: descritti tramite variabili aleatorie.

CAUSALI: ad ogni causa che inizia in t₀ corrisponde un effetto che si manifesta NON prima di t₀ (NO anticipatori).

• TEMPO INVARIANTI: leggi che descrivono il fenomeno rimangono invariate nel tempo.
• STATICI: l'uscita dipende dall'ingresso nell'istante t (PRESENTE).
• DINAMICI: l'uscita dipende da PASSATO e FUTURO dell'ingresso.
• LINEARE: uscita dipende solo da una relazione lineare dell'ingresso.
• NON LINEARE: uscita dipende da una funzione NON LINEARE dell'ingresso.

es

y(t) = a·u(t) è LINEARE

y(t) = a·u(t)² NON è LINEARE

MODELLI DI STATO

Porteranno a tante equazioni differenziali quante le variabili di stato, ma tutte del primo ordine (DERIVATA PRIMA).

SISTEMI DINAMICI E MODELLI DI STATO

MODELLI DI STATO

Modello che tiene conto delle VARIABILI DI STATO

La conoscenza delle loro condizioni iniziali e dell'ingresso permette la risoluzione delle corrispondenti equazioni differenziali

Mentre i MODELLI I/O evidenziano solo la relazione tra INGRESSO e USCITA

Possono essere

• DETERMINISTICI: noti gli andamenti di alcune variabili, conosco con certezza come evolverà il sistema
• STOCASTICI: descritti tramite variabili aleatorie
• CAUSALI: ad ogni causa che inizio a tempo t corrisponde un effetto che si manifesta non prima di t y(t) = (Mu(t-τ))
• TEMPO INVARIANTI: leggi che descrivono il fenomeno rimangono invariate nel tempo
• STATICI: l'uscita dipende dall'ingresso nell'istante t (PRESENTE)
• DINAMICI: l'uscita dipende da PASSATO e FUTURO dell'ingresso
• LINEARE: uscita dipende solo da una relazione lineare dell'ingresso
• NON LINEARE: uscita dipende da una funzione NON LINEARE dell'ingresso

es

y(t) = a · u(t) è LINEARE

y(t) = a · u(t)² NON è LINEARE

MODELLI DI STATO

porteranno a tante equazioni differenziali tante quante le variabili di stato, ma tutte del primo ordine (DERIVATA PRIMA)

Distinguiamo

TEMPO CONTINUO

eq dominio di stato

eq stato di uscita

TEMPO DISCRETO

come prima solo che

1. uscita diversa
2. Bisogna aggiungere un termine nell'equazione

Quindi

• CONTINUO → variabile reale → EQ DIFFERENZIALI
• DISCRETO → variabile naturale → EQ ALLE DIFFERENZE

Nel caso di

Quindi

Nel caso AUTONOMO diventa

CAMBIO DI BASE

Definiamo

Quindi

Forma di Jordan

Ho una matrice F : M in M con un solo autovalore λ₁ perciò U_F = M

Poichè so che g_λ(x) = (avendo dim (λ₁I-F)^k =