Riassunto di formule Segnali e sistemi - Pillonetto - Carli

O O

O %

*+ | |

= +2 sin 2¹ºD + arg + ¹/2

O O

O %

*+ *+

= + R cos 2¹ºD + ‡ sin 2¹ºD

O O

O % O %

|

R = 2 S = 2| cos arg

O O O O

|

‡ = 2 »? = −2| sin arg

O O O O

< => . /1 => ‡ = 0

O

=> 1,. /1 => = R = 0

O

Potenza

*+ | |

=

¼ O

P O +

Trasformata di Fourier

Equazione di sintesi Equazione di analisi

*+ *+

%

$ '= $x '

x D =( D = =( x D D

¶I6 ¶I6

F F

+ +

Proprietà Trasformate notevoli

Proprietà nel Proprietà in Funzione nel tempo Trasformata di Fourier

R

tempo Fourier R ;

46

− x D %

¶I6 2¹D − λ

n

x D−D

¶I 6 R

n R ; − −

46 % 2¹D − λ

$ ' x D x D

∗ %

% x D AT sinc D·

R ½° ²

·

|||||| x D R; D

R

||||||

||||||| x D R; D − D

R ¶I6

1 D R R

R cos 2¹D +

x° ² ; D−D + ; D+D

/ / / 2 2

1

/ > 1 0<?./ ,,1<@ / > 1 ,. @,1<@ sgn 2¹D

/ < 1 ,. @,1<@ / < 1 0<?./ ,,1<@ 1 1

1 ; D +

; = 1 + sgn

2¹D x D 2 2¹D

% 2

; 1

x D 1

6 + x 0 ; D

( ) ) 2¹D 2 *+ *+

1 º

+ ;À = ; − º· ; °D − ²

¸ · ·

O + O +

Replicazione e Campionamento

Funzione nel tempo Trasformata di Fourier

*+ *+

1 1 º º

$rep ' = − º· x D = x ° ² ; °D − ²

Ásamp %

¸ · · · ·

¸

O + O +

*+ *+

1 1 º

$samp ' = º· ; − º· x D = x °D − ²

Árep %

¸ · · ·

¸

O + O +

Ogni segnale Ä periodico di periodo T può essere rappresentato come la replicazione, con passo T, di un

opportuno generatore. Se è nota la trasformata di Fourier di un opportuno generatore allora i coefficienti sono dati

da:

1 º

= x° ²

O · ·

Energia *+

*+

*+ |y |

|" | =( ˆ D D

=( D D

= ( D Ç

Ç

E +

+

+ |y |

ˆ D = D

Ç

con densità spettrale di energia

Funzione di mutua correlazione Funzione di auto-correlazione

*+ *+

|||||||||||| ||||||||||| ||||'

S ) = ( " " −) S ) = ( " " −) = $" ∗ " )

Ç Ç % Ç

ƒ „ + +

ˆ D = y D y D |y |

S ) → ˆ D = D

Ç Ç % F

con densità spettrale di

ƒ „ Ç Ç

energia mutua dei segnali

ˆ D = ˆ D + ˆ D + ˆ D + ˆ D

Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç

ƒ „ ƒ „ „ ƒ

Potenza 1 *¸ *+

|" |

= lim ( =( ˆ D D

Ç Ç

2·

P ¸→*+ ¸ +

É„

È I

ˆ D = lim

Ç

con densità spettrale di potenza

¸

¸→*+

Funzione di mutua correlazione Funzione di auto-correlazione

1 1

*¸ *¸

|||||||||||| |||||||||||

S ) = lim ( " " −) S ) = lim ( " " −)

Ç Ç % Ç

2· 2·

ƒ „ ¸→*+ ¸→*+

¸ ¸ y D

||||||||||

È I È I

ˆ D = lim ƒÉ „É ¸

S ) → ˆ D = lim

F

Ç Ç

con densità spettrale di

¸

ƒ „ Ç Ç

¸→*+ 2·

¸→*+

potenza mutua dei segnali |X |

ˆ D = D ˆ D

ˆ D = ˆ D + ˆ D + ˆ D + ˆ D ¼ Ç

Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç

ƒ „ ƒ „ „ ƒ

SISTEMI A TEMPO DISCRETO

#

º−1 = ! " º−1

Convoluzione

*+ *+

$ '

∗ º = º−1 1 = 1 º−1

% % %

+ +

Evoluzione libera

1 º−1 = E =0 . /01ò º−1 = E

8 %

9 5 º

2 l

º = 0 T

O

,l

l l l!

% l

Risposta impulsiva

º = ℎ º ," º = ; º ℎ 1 , ℎ 2 , … => ?< >>< /10</,1 < ℎ º = " º = 0, ∀º < 0

<.."/ 0<@<,0 @ < ℎ 1 , ℎ 2 , …

8 %

9 5 º

@>? l

ℎ º = T ; º

O

,l %

l l!

% l 8 %

# 9 5 º

?≤@ l

ℎ º = ; º−1 + T ; º−?+@−1

O

,l %

l l!

% l

ℎ º = 0, ∀º < 0 => ,1, ? 0 ", >

Evoluzione forzata

1 , 2 , … => ?< >>< /10</,1 < º = " º = 0 ∀º < 0

<.."/ 0<@<,0 @ < ℎ º

O *+

$ℎ

º = ∗ "' º = ℎ º−1 " º = ℎ º " º−1

I +

? @ / @ > 0 ,< 1 , L@ >1 0 ", >1

O O

$ℎ

º = ∗ "' º = ℎ º−1 " 1 = ℎ 1 " º−1

I

Stabilità BIBO stabile Asintoticamente stabile

Se almeno una delle seguenti condizioni è verificata: lim º =0

/1,.<@ 0<@ ",01 >1?1 <L@1 , L@ > 1 1@L/ ,,< >1?1 < O→*+ l

|T |

è R,1@ < 10 ? @ , !1> < 1

*+ |ℎ |

è ,<?? !1> : º < +∞

O + |. |

X E 1@ D</? 0<./1? < . ,<@< 1 ,"<1 .<>1: < 1

Modi elementari

= 0 = Y − 1, T=Ê ∓ Ë

l l 1

Modi reali Modi complessi

º º º

l l l

T Ê cos ˺ ∓ Ê sin Ëk

O O O

l! l! l!

Carattere dei modi O

? = T , ∈ ℝ, ∈ ℤ T ∈ ℂ

O

l +

l

Il modo elementare con e , è:

l! |T|

→ ∞ < 1

• Convergente a zero per se e solo se

|T|

$0, +∞ ≤ 1 T = 1, = 0

• l

Limitato in se e solo se e, nel caso in cui

→ ∞

• Divergente per in tutti gli altri casi

Risposta in frequenza • = Ë/2¹

Nel caso di sistemi LTI BIBO stabili con frequenza numerica

*+ *+

Xk l= ℎ º Xk l= ℎ º

Í ÍO ¶Ž ¶ŽO

O + O +

Trasformata Zeta

*+

$ '= º E O

Z

Proprietà

Proprietà nel tempo Proprietà in Zeta

x E

º º −E E

x E x E

º º E +E

E E

º− E x E +$ − + − +1 E + ⋯+ −1 E '

§ % §*%

º− º E x E

§

con causale

º+ E x E + $ 0 E + 1 E + ⋯+ − 1 E'

§ § § %

E

xu v

T º

O T

$ ' x E x E

∗ º %

%

Trasformate notevoli

Funzione nel tempo Trasformata Zeta RdC

|E|

; º 1 > 0

|E|

; º−1 > 0

E

E |E|

; º > 1

% E−1

E E

T |E| |T|

= >

T ; º

O E

% E−T

−1

T TE |E| |T|

>

º T ; º

O % E−T

E$E cos − cos − Ë |E| |T|

R cos Ë + ; º R >

% E − 2E cos +1

E

º! º |E| |T|

T = ° ² T >

O O E − T

l

l *%

º − ! ! l

l

l l

Antitrasformata

x E

x E = => D/ E1<@1 . /E1 >1 => x E = E x′ E

œ E E

º º º º−1 ⋯ º− +1

° ² T 0<@ ° ² =

O l E − T

º! º − ! +1

l l

l l l

; º−1 E

Modelli di stato

Ï º + 1 = RÏ º + ‡" º ∆ E = det E» − R .<>1@<?1< 0 / /1, 10<

Ñ

º = ‰Ï º + ˜" º ˜ = 0 º " º

In questo caso il sistema è proprio. Nel caso in cui e non dipende istantaneamente da allora il sistema

è strettamente proprio.

Modi elementari = 0 = Y − 1, T=Ê ∓ Ë

l l 1

Modi reali Modi complessi

T≠0 T=0 º º

° ² Ê cos Ë º − ∓ ° ² Ê sin Ë º −

º! º º O O

l l

O 8*% l l

T = ° ² T = ° ² T

O O ; º−

l l l l

Y−1

º − ! ! l

l

l l

Evoluzione libera e forzata

O %

Ï º = Ï º + Ï º = R Ï + R ‡" 1

O O %

I

l O %

º = º + º = ‰R Ï + ‰R ‡" 1 + ˜" º

O O %

I

l O O

$ℎ

º = ∗ "' º = ℎ º−1 " 1 = ℎ 1 " º−1

I

Forma di Jordan

R = · ·

O %

J

=

J

Nota: T

• coincide con la molteplicità degli autovalori

Molteplicità algebrica: T

• coincide con il numero di miniblocchi relativi ad un dato autovalore

Molteplicità geometrica:

1 ≤ ≤ 1 => 1

molteplicità geometrica molteplicità algebrica se ma= mg=

NB:

Y T

Nel caso in cui la molteplicità di un autovalore è maggiore di uno sono possibili due casi:

Y => 1

1) All’autovalore corrispondono miniblocchi di Jordan di dimensione 1 molteplicità geometrica=

Y => Y

2) All’autovalore corrisponde un unico miniblocco di Jordan di dimensione molteplicità geometrica=

T:

Dato che la molteplicità geometrica coincide con la dimensione del nucleo dell’autospazio relativo all’autovalore

= ÒÓÔ ÕÖ× ØÙ − Ú =

molteplicità geometrica numero di variabili libere

Dominio trasformata Zeta

Û E = Û E + Û E = E» − R EÏ + ‡ E» − R y E

% %

I

l $‰

x E = x E + x E = ‰ E» − R EÏ + E» − R ‡ + ˜'y E

% %

I

l

x E

I = ‰ E» − R ‡ + ˜

X E = %

y E

Matrice inv