Riassunto di formule Segnali e sistemi - Pillonetto - Carli

Formulario segnali e sistemi

Formule di trigonometria

cos + = cos cos − sin sin sin + = sin cos + sin cos cos 2 = cos − sin sin 2 = 2 sin cos 1 + cos 2 1 − cos 2 cos = sin = 2 2

Formule di Eulero

−+ = cos + j sin sin = cos = 2 2 = cos − j sin

Sistemi a tempo continuo

"# = ! Convoluzione *+ *+$ '∗ =( ) −) =( −) )% % %+ + Evoluzione libera 1 = , =0 . /01ò = ,8 %9 52 l= 0 4 65,ll l l!% l Risposta impulsiva 1 8 %9 5 lℎ = ; + ; < ; ≠0 , ,<>< , ?=@4 65,l %l l!% l2 =ℎ ," =; => B. 1DD. 1@ D"@E1<@ 1 ;3 ℎ = B. 1DD. 1@ D"@E1<@ 1 ; => /< < 1 0< DD101 @ 1 1 ℎℎ = 0, ∀ < 0 => ,1, ? 0 ", > Evoluzione forzata K*+ 6$ℎ= ∗ "' =( ℎ ) " −) =( ℎ −) " )I +J? @ / @ > 0 ,< 1 , L@ >1 0 ", >1K K6 6$ℎ= ∗ "' =( ) −) =( −) )I % %J J

Stabilità

BIBO stabile Asintoticamente stabile Se almeno una delle seguenti condizioni è verificata: lim =0/1,.<@ 0<@ ",01 >1?1 <L@1 , L@ > 1 1@L/ ,,< >1?1 < O→*+ lS T <0è R,1@ < 10 ? @ , !1>*+|ℎ |è ,<?? !1> : ( < +∞+X , 1@ D</? 0<./1? < . ,<@< 1 ,"<1 .<>1: S . < 0

Modi elementari

Carattere dei modi 6? = , ∈ ℝ, ∈ ℤ T ∈ ℂ4 6l= 0 = 5Y − 1, T=Z∓ \ +l Il modo elementare con e , è: l l 1 l! → ∞ S T < 0 • Convergente a zero per se e solo se Modi reali Modi complessi $0, +∞ S T ≤ 0 • Limitato in se e solo se e, nel caso in T = 0, = 0 l l lcos \ ∓ sin ωt4 6 ]6 ]65 lcui → ∞l! l! l! • Divergente per in tutti gli altri casi

Risposta in frequenza

Nel caso di sistemi LTI BIBO stabili *+X \ =( ℎ ) )ef+

Risposta in regime permanente

∑ \1 |X |,X \ => \ arg \kX lX \ = ∑ ! \#2 9m Per sistemi LTI causali e BIBO stabili nel caso di ingresso fasoriale causale ingresso sinusoidale causale" = R cos \ + ;" =R ;e 6*n %% = X \ R cos \ + ;=X \ R ;e 6*n 9m %9m %|X |R |X |R= \ ; = \ cos u\ + + arg \ ;kX lv6* *pqr eoe ks ltn n % % Trasformata di Laplace *+$ '=( w6L +. , @ ,x , = + y , = x , + X , y , = x , + x ,I, , l l

Proprietà trasformate notevoli

Proprietà nel Proprietà in Funzione nel tempo Trasformata di Laplace; 1 tempo Laplace 1, $ 'L ,1x ,K6 ;( ) ) % ,,J 1x , ; − −%−1 ,Rx ,wf R ;46f % ,−λx ,−T46 RR ; −46 −$ ' x , x ,∗ % ,−λ%% lim lim , x , R6→+ w→ lR ;6 ,−λ% *% lim lim , x , ll6→ w→+ R−lR ; −6 ,−λ% *% ll , cos − \ sinR cos \ + ; R% , +\,RR cos \ ; % , +\\RR sin \ ; % , +\, − Z cos − \ sinRR cos \ + ;]6 % ,−Z +\,−ZRR cos \ ;]6 % ,−Z +\\ cos − , − Z sinR e sin \ + ; R]6 % ,−Z +\

Poli e Zeri

@ , @| ,1 X , = = ̅,Rappresentazione irriducibile ,~E • ~E •/1 1 X , ⊆ /1 1 @| ,2 ̅~.<>1 •1 X , ⊆ /1 1 ,•E ‚Frazioni parziali (Heaviside) @ , @| ,1 X , = = ̅,Rappresentazione irriducibile ,@| ,X , = , − T , − T ⋯ , − T8 8 8ƒ „ †% 9R ‡R ‡8 8% %= + ⋯+ + + ⋯+ +⋯ƒ „, − T , − T ,−T ,−T8 8ƒ „% % , #X , =@| , = , # , − T , − T ⋯ , − T8 8 8ƒ „ †%

Casi particolari

90<@ ? > @ #@ = Y + ⋯ +Y = R , +⋯#2 % 9 1 1X ˆ = = Casi particolari ,−T − Z + \k, l‰ ‰ ∗Poli complessi = +− Z + \ − Z − \k, l k, lR1 R 8%X ˆ = = + ⋯+ ƒ,−T ,−T ,−TPoli multipli 8 8|R = , − T X , , … , R , …% % w 4 8ƒ ƒ3 @| , = , # . / /< / R !1,<L@ L" L>1 / 1 " X , /< 10<@ ? > @ Casi particolari Bode Forma di Bode , − E , − E ⋯ , − E1 % #X , =‹ , − . , − . ⋯ , − . Rappresentazione irriducibile % Ragionamenti validi sia per un polo che per uno zero / ../ , @ E1<@ @<?1@ </ 0<@ ,.<@ @ ±•1,−. 0<@ . = 0 , Ž 1, − . = −. 1 + ,) 0<@ ) =,−. 0<@ . ≠ 02 ., ,|. |, − . , − |||. = + 2• +•1 ‘O O O O \ \, − . , − |||. O OO O S .O|. |,< \ = • = −O O O |. |O Diagrammi asintotici Punto di spezzamento e Termine Modulo Fase Note 0°, ‹ > 0’|20 log|‹ “ /∓180°, ‹ < 0’ ’X \ = ‹’ Nota|20 log|‹ < 0’0<@ 0 < ‹ < 1’1+20 ‡/ 0 , —"? +90°, —Y“ Y™ \= = 10−20 &Da