Riassunto esame Scienza delle Costruzioni - Prof. F. Vestroni - Libro consigliato Casini Vasta

Strutture reticolari staticamente indeterminate

1 volta staticamente indeterminata. 1 volta cinematicamente impossibile. Divido il problema elastico in due sottoproblemi: uno staticamente indeterminato e uno cinematicamente impossibile. L'altro è staticamente e cinematicamente determinato, cioè "risolvibile una volta risolto il precedente".

Sottosistema con nodi liberi

Considero il sottosistema che coinvolge 2 nodi liberi 1 e 2 (non vincolati da vincoli esterni ma solo dai vincoli cedenti delle aste). Ho 14 incognite (5N, 5Δ, 4u):

Equilibrio: BN + f = 0. Ho più incognite che equazioni: (4 equazioni di equilibrio e 5 incognite esterne su 5 aste). Il problema è 1 volta staticamente indeterminato (in questo caso ammette ∞ soluzioni).

Legame costitutivo: N = KA. Sono 5 relazioni fra 5 aste (lavoro con la forza assiale delle aste, che sono 5).

Congruenza: Du = Δ. Ho più equazioni che incognite (5 equazioni di congruenza e 4 gradi di libertà di spostamento). Il problema è 1 volta cinematicamente impossibile.

Metodo delle forze

Posso risolvere il problema elastico descritto dalle 14 incognite in due modi diversi:

(Parto dai sistemi equilibrio e trovo quello congruente.) Nell'equilibrio ho più incognite che equazioni. Faccio diventare B una matrice quadrata (4x4), e porto la parte eccedente (la colonna di Ns) a termine noto moltiplicando per X volte.

Strutture staticamente indeterminate

1. Una volta staticamente indeterminato (ipostatica M + G di questo tipo 10 > 15).
2. Una volta cinematicamente impossibile (policinetica: più equazioni che spostamenti).

Divido il problema elastico in due sottoproblemi: uno è una volta statico e una volta cinematicamente impossibile. L'altro è staticamente e cinematicamente determinato, cioè "nodi" liberi una volta risolto il precedente.

Considero il sottosistema che coinvolge 2 nodi liberi 1 e 2 (non vincolati da vincoli esterni ma solo dai vincoli cedenti delle aste). Ho 4 incognite (5N, 5Δ, 4u_i).

Equilibrio: BN + f₀ = 0. Ho più incognite che equazioni: (4 equazioni di equilibrio e 5 incognite esterne vincolo 5 aste).

Legame costitutivo: N = KA.

Conseguenza: Du = Δ.

Metodo delle forze

(Posto due sistemi equilibrati e trovo quello compatibile.) Nell'equilibrio ho più incognite che equazioni. Faccio diventare B una matrice quadrata (4x4) e porto la parte eccedente (la colonna di N_s) a termine ulteriore moltiplicando. Lo stato tensionale del sistema può essere espresso in funzione dei carichi esterni P e dell'incognita iperstatica X:

N₁, N₂, una cerniera, una forza. Il sistema è così instaurato. Equilibrati in P, P ed X sono congruenti per un solo valore di X.

Soluzione del problema associato

Nota congruenza di più equazioni che incognite. Elimino l'ultima equazione. Aumenta tuttavia una soluzione se il termine noto A è tale che risultino soddisfatte le equazioni sovrabbondanti. L'equazione di troppo da esplicito (EQUAZIONE DI CONGRUENZA ESPLICITA). Avrò eliminato tante equazioni di congruenza esplicita quante sono le equazioni sovrabbondanti. Troviamo la X per cui l’equazione di congruenza esplicita è verificata, ottengo un sistema sia equilibrato sia congruente. Ricordando che N = N(P) + N(X) tramite il LEGAME COSTITUTIVO trasformo il N (con l'incognita X) in Δ, e risolvo per trovare la X con l'ep. di congruenza esplicita:

Δ = (1/K) [N(P) + N(X)] ⇒ X = tot.P

Posso quindi trovare adesso in ordine le SN, e poi le 5 Δ. A questo punto posso anche trovare le 4 μ dalla matrice quadrata della congruenza. Tutte le Δ_k verificate, stato trovato superamento le equazioni di congruenza esplicita. Ho trovato le SN, 5 Δ e 4 μ ⇒ ho risolto il problema elastico.

Tuttavia è possibile pervenire alla soluzione senza risolvere il sistema di equazioni delle cerniere. Utilizzo il metodo della forza e mi fermo a piccoli fatti nell'equilibrio:

1. So che N = N(P) + N(X).
2. A questo punto impongo la condizione di congruenza dove ho vincolo suppress (Spostamento): Il valore di X che soddisfa la 2) è la soluzione del problema elastico senza parametrare una soluzione equilibrata e congruente.

Posso esprimere la 2) con l'EU: Π·K = Π^TA. Ricordando che N = KΔ, avrò che le deformazioni sono: Δ_i = N_i(P,X)/K_i. Trovate le N = KΔ, l'EU assume l'espressione:

Una cesti il valore allora d = A𝜏_iibX dove aii sono una costante nota. Sostituendo 1 sulla 2) trovo l'equazione di congruenza esplicita la cui soluzione è...