Riassunto esame Scienza delle Costruzioni - Prof. F. Vestroni - Libro consigliato Casini Vasta

Strutture Reticolari Staticamente Indeterminate

1. Volta Staticamente Indeterminata
2. Volta Cinematicamente Impassibile

Divido il problema elastico in 2 sottoproblemi:

• Uno n volta static. indiv. e 1 volta cinem. impass.
• Altro è staticamente indeterminato, esso "risolvibile" una volta risolto il precedente.

Considero il sostituto che equivale a 2 nodi liberi: 1 e 2. Ho 14 incognite (5N, 5D, 4u).

Equilibrio: BN + f = 0

• Le N₁, 5 equazioni (4 eq. di equilibrio), = il problema è 1 volta staticamente indeterminato

Legame Costitutivo: N = Kλ

⇒ Sono i sforzi (lavoro con la forza assiale delle aste, che sono 5)

Congruenza: Dλ = Δ

(seq. di equilibrio e 4 gradi di libertà di spostamento)

⇒ il prob. è 1 volta cinematicamente impossibile

Posso risolvere il problema elastico descritto dalle 14 incognite, in 2 modi diversi:

Metodo delle Forze

Nell'Equilibrio ho più incognite che equaz. Faccio diventare B una matrice quadrata (4x4), e parto la parte eccedente (la colonna di Ns) a termine utile, rimanendo per X volte:

Lo stato tensionale del sistema può essere espresso in funzione dei carichi esterni P e dell'incognita iperstatica X:

N₁ V₁ M₁ N₂ V₂ M₂

Due sistemi sono cinematicamente equivalenti se, i punti e le aree congiunti per un si equivalenti in X del sistema abi sono equivalenti per la stessa deformazione agiscono le sollecitazioni delle sezioni congruenti tra loro per una stessa deformazione.

N.B.: H

Equazioni di congruenza esplicita.

Nel caso generale ho più eq. che incognite impossibile.

L'unico T'uttava è unico.

Aumente L'u

L'unico x T'uttava è una soluzione sistema congesto solo pongo soddisfatta le eq. incompatibili.

L'eq. di troppa che esplicito. (EQUAZIONE DI CONGRUENZA ESPLICITA). Avrà chiaramente tante eq. di equazione esplicita quanti sono le eq. indesiderate. Trovando la X per cui l'eq. di equazione esplicita è verificata, ottengo un sistema equilibrato se congruente.

Ricordando che N = N(P) + N(X), tramite il LEGAME COSTITUTIVO trasformo le N (con l'incognita X) in Δ, e risolvo per trovare la X con l'eq. di equazione esplicita:

Δ = 1/k (N(P) + N(X) = X = tot. P

Posso quindi trovare adesso in ordine le SN, e poi la S ≤ Δ. A questo punto posso anche trovare le 4 u alla matrice quadrata dell'equazione (4).

Tutto ok nella trave è stato trovato sorprendendo la condizione di equazione esplicita. Ho trovato la SN, S Δ e 4 u ho risolto il problema elastico.

O TutTavia è possibile giungere alla soluzione senza risolvere il sistema di eq. d'elle cinemà. Utilizzerò il metodo delle forze e mi fermo a punti fatti nell'equilibrio:

1) So che N = N(P) + N(X)

2) A questo punto impongo la condizione di equilibratura dove ho rieudo sopresso (Spastamolato) Σ(PX)=0

3) Il valore di X che soddisfa la 2 è la soluzione del probl. elastico sotto parametri una soluzione equilibrato e equilibrante

4) Posso esprimere la 2 con l'EV ^{EV = NT}

5) Ricordando che N = KA, avrò che le deformazioni sono: Δ_t = N_i (P,X)_Ki

6) Tramite N = KA l'EV assume l'espressione:

^Δ_JΣK_J + N_J(P)ΣN_i (P,X)_Ki

k_J+ K_J

P =ΣN_i(P,X)_K

FLESSIONE UNIFORME DEVIATA

(a) Q_z = M_y x / I_y + M_x y / I_x

(b)con M_x ±cos β; M_y = M ∓sen β

FORMULA MONOMIA

Q_e = M / I_un h

L’asse neutro n (// uo) non baricentrico, ed il luogo dei puntii in cui Q_e = 0, ed ho:

y = x tg β + p

con tg β = I_x / I_y tg γ

PRESSO (TENSO) FLESSIONE

Ho: forza normale centrata N + due coppie M_x y operati secondo più assi principali di inerzia

Q_z = N / A + M_x y / I_x y - M_y x / I_y y

Equivale a 2 flessione retta e forza normale centrata N

Se N > 0 ⇒ Tenso.fless.

Se N < 0 ⇒ Presso.fless.

Metodo della linea elastica

So che una relazione tra il carico P, il taglio T, il momento M, le armature X, le rotazione φ e l’abbassamento V, in base a derivata o divise.

Amen alla fine dello spostamento che ho una certa numero di incognite. Questo incognite le trovo con le condizioni al contorno infrate ugii poi di volte pari al Mrs di incognite stesso (xe: con incognite — 4 condizione al contoma)

Ho un carico P

T = ∫p = X ＋ C₄

M = ∫T = -x²/2 + C₁X + C₂

X = -M/EI = -1/EI (x²/2 + C₁X + C₂)

φ = ∫X = -1/EI (x²/2 + C₁X + C₂) = -1/EI (x/6 + x²/2 C₁ + X C₂ + C₃)

V = ∫φ = -1/EI (x⁴/24 + x³/6 C₁ + x²/2 C₂ + x C₃ + C₄)

(ES) Su una trave appogatta ho un carico p = 1:

0 ≤ x ≤ L

• Ora bisogna trovare le ˆ costanti C₁, C₂, C₃, C₄ attraverso punti con.
• So che Ongli esterni di una trave appoggiala vale φ
• So cheagi estremi (quanto non ho spostamento 1 all'asse )ede ho abbassamento: V = 0

Ho le 4 condizioni che Wù servivano

In x = 0 M =0 ; in x = L M=0

V=0

NB Il metodo è sempre valido ed identico anche nel caso di sistemi costanti: o ripetitive.

∂u/∂x è puntato un allung in direzione x, su x:

Alla stesso modo ∂v/∂y è puntato un allung in direz. y, su y e

∂w/∂z è puntato un allung in direz. z, su z. Perciò lungo le

diagonale ho diciamo le deformazioni assiali e semplici.

Gli spostamenti indicati dalla

diagonale sono lungo le loro asse. Gli

altri sono spostamenti obliqui (x

es. ho da dividere lo spostamento

∂y

in direz. x lungo y.

E = ε_ij =

Il primo 'no' indica se puntali asse in quella direz.

ho lo spostamento or

lungo quella direz.

CONGRUENZA

Definiamo in 2D, sto nel piano quindi errore la matrice 2x2 in alto a sinistra

_{(delle ε di prima)}

E = \[ \begin{pmatrix} E_{xx} & E_{xy} \\ E_{yx} & E_{yy} \end{pmatrix} \]

ho 3 equazioni e 2 incognite (lo spostamento del punto nel piano)

• d = \(\frac{∂u}{∂x} dx + \frac{∂u}{∂y} dy\)
• d = \(\frac{∂v}{∂x} dx + \frac{∂v}{∂y} dy\)

d = ε_xx dx + d/dy