Riassunto esame Scienza delle Costruzioni - Prof. F. Vestroni - Libro consigliato Casini Vasta

Strutture Reticolari Staticamente Indeterminate

1 volta staticamente indeterminata. 1 volta cinematicamente impossibile.

Divido il problema elastico in 2 sottoproblemi:

• 1 di una volta static. indet. + 1 volta cinem. imposs.
• l'altro staticamente e cinematic. determinato, cioè "risolvibile una volta risolto il precedente".

Considero il sottosistema che coinvolge 2 nodi liberi 1 e 2 (non vincolati da vincoli esterni ma solo dai vincoli cedenti delle aste). Ho 14 incognite (5N, 5D, 4u):

- Equilibrio: BN + f = 0 Ho più incognite che equazioni: (4 eq. di equilibrio e 5 incognite (esterne su 5 aste)).

=> il problema è 1 volta staticamente indeterminato (in questo caso ammette ∞ soluzioni)

- Legame costitutivo: N = KA

=> Sono 5 rel. fra 5 aste (lavoro con la forza assiale delle aste, che sono 5)

- Congruenza: Du = Δ Ho più equazioni che incognite (5 eq. di congruenza e 4 gradi di libertà di spostamento)

=> il probl. è 1 volta cinematicamente impossibile

Posso risolvere il problema elastico descritto dalla 14 incognite, in 2 modi diversi:

Metodo delle Forze

(parto dai sistemi equilibrio e trovo quello congruente):

- Nell'equilibrio ho più incognite che equazioni. Faccio diventare B una matrice quadrata (4x4), e porto la parte eccedente (la colonna di Ns) a termine noto moltiplicando per X volte:

Strutture Reticolari Staticamente Indeterminate

1. 1 volta staticamente indeterminato (ipostatica M + G di questo tipo 10 > 15)
2. 1 volta cinematicamente impossibile (policinetica: più equazioni che spostamenti)

Divido il problema elastico in 2 sottoproblemi:

• uno è 1 volta statico e 1 volta cinemat. imposs.
• l'altro staticamente e cinemantic. determinato, cioè "nodi" liberi una volta risolto il precedente.

Considero il sottosistema che coinvolge 2 nodi liberi 1 e 2 (non vincolati da vincoli esterni ma solo dai vincoli ceduli delle aste). Ho 4 incognite (5N, 5Δ, 4u_i).

Equilibrio: BN + f₀ = 0

Ho più incognite che equazioni: (4 eq. di equilibrio e 5 incognite (ext + vincolo 5 aste)).

• Legame costitutivo: N = KA

• Conseguenza: Du = Δ

Metodo delle forze

(posto due sistemi equilibriati e trovo quello compatibile)

Nell'equilibrio ho più incognite che equazioni. Faccio diventare B una matrice quadrata (4x4) e porto la parte eccedente (la colonna di N_s) a termine ulteriore moltipli.

Lo stato tensionale del sistema può essere espresso in funzione dei carichi esterni P e dell'incognita iperstatica X:

[image with diagrams]

• N₁, N₂
• una cerniera
• una forza

Il sistema è così instaurato.

equilibrati in P, P ed X sono congruenti per un sol valore di X.

Soluzione del problema associato

Nota congruenza di più eq. che inequitate

[image with mathematical formula]

Elimino l'ultima eq.

Aumenta tuttavia una soluzione se il termine note A è tale che risultino soddisfatte le eq. sovrabbondanti.

L'eq. di troppa da esplicito (EQUAZIONE DI CONGRUENZA ESPLICITA). Avró eliminamento tante eq. di congruenza esplicita quante sono le eq. sovrabbondanti.

Troviamo la X per cui l’eq. di congruenza esplicita è verificata, ottengo un sistema sia equilibrato sia congruente.

Ricordando che N = N(P) + N(X) tramite il LEGAME COSTITUTIVO trasformo il N (con l'incognita X) in Δ, e risolvo per trovare la X con l'ep. di congruenza esplicita:

Δ = ¹/_K [N(P) + N(X)] ⇒ X = tot.P

Posso quindi trovare adesso in ordine le SN, e poi le 5 Δ . A questo punto posso anche trovare le 4 μ dalla matrice quadrata della congruenza.

Tutte le Δ_k verificate stato trovato superamento le equazioni di congruenza esplicita.

Ho trovato le SN, 5 Δ e 4 μ ⇒ ho risolto il problema elastico.

o Tuttavia è possibile pervenire alla soluzione senza risolvere il sistema di eq. delle cerniere. Utilizzo il metodo della forza e mi fermo a piccoli fatti nell'equilibrio:

1. So che N = N(P) + N(X)
2. A questo punto impongo la condizione di congruenza dove ho vincolo suppress (Spostamento):
3. Il valore di X che soddisfa la 2) è la soluzione del probl. elastico senza parametrare una soluzione equilibrata e congruente.
4. Posso esprimere la 2) con l'EU: Π⋅Κ = Π^TA
5. Ricordando che N = KΔ, avró che le deformazioni sono: Δ_i = ^N_i(P,X)/_Ki
6. Trovata le N = KΔ l'EU assume l'espressione:

[mathematical expression]

Una cesti il valore allora d = Aţii bX dove aii sono una costante note

7) Sostituendo 1 sulla 2) trovo l'eq. di congruenza esplicita la cui soluzione