Riassunto esame Meccanica, prof. Sofi, libro consigliato: Scienza delle costruzioni, Casini, Vasta

MEZZO CONTINUO TRIDIMENSIONALE

I modelli di corpo rigido, di trave elastica monodimensionale sono alla base della meccanica delle strutture; essi però non permettono lo studio degli aspetti deformativi. Serve, quindi, un modello più completo in grado di descrivere il comportamento meccanico di elementi strutturali deformabili di forme qualsiasi. Il modello che risponde a queste esigenze è il mezzo continuo tridimensionale.

Si definisce mezzo continuo un solido tridimensionale deformabile costituito da una distribuzione continua di punti materiali. Tale che se consideriamo la porzione trovata in un certo punto, esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti materiali e i punti geometrici di una regione di volume dello spazio euclideo. Ogni punto dello spazio euclideo può essere un punto di accumulazione, quindi un mezzo continuo se preso un punto di accumulazione in esso con una particella di materia, esiste sempre un'altra particella materiale.

Il mezzo continuo è un modello matematico della materia, si dedicarica la struttura atomica e molecolare della materia. Viene rappresentato da una distribuzione continua dentro una materia. Si pensa quindi che macroscopica ovvero su un elemento di volume molto maggiore della distanza molecolare. Si studiano opere con strutture soldali leganti, trattare un materiale eterogeneo come un mezzo continuo equivalente con proprietà meccaniche costanti, o variabili. Con continuo. Infatti i materiali che vengono utilizzati nelle applicazioni strutturali (calcestruzzi, leghe metalliche, materiali lapidi, ecc.) presentano a sfruttano macroscopica omogenea, che giustifica l'adozione del mezzo continuo.

Studio dei mezzi continui:

• Studio stato tensionale
• Studio stato deformativo
• Studio materiale costitutivo
• Si formula il problema elastico.

Il mezzo continuo occupa un volume V. È delimitato da una superficie S che viene distinta in 2 porzioni:

• SUPERFICIE VINCOLATA S_u, vincolata al suolo con vincoli bilaterali e lisci che esplicano reazioni vincolari e prescrivono spostamenti. Un volume assegnato:
  • Δu ≡ <em>Δu\left(\frac{\ Δu}{\ &partial;S}\right)^S_u</em>
• SUPERFICIE LIBERA S_f, su cui possono agire forze esterne di superficie + forze esterne di volume e massa.

Forze Esterne di Superficie

Descrivono le azioni di contatto che l’ambiente esercita sul corpo comela pressione di un liquido all’interno di un recipiente o le forze delvento.Sulle forze esterne ci si viene isolato un punto Pe ΔF è il risultante delle forze agenti su di esso.Per determinare le forze agenti sul punto P scriviamo:

lim (ΔF/ΔS) = f(P)

Questa è la forza di superficie nel punto P che hadimensioni [FL^-2].Si possono esprimere anche come espressione cartesiane f = f_x, f_y, f_ze in notazione matriciale f(P) = [fx fy fz].

Forze Esterne di Massa o Volume

Sono forze esercitate dall’ambiente nei punti interni al corpo medianteazioni a distanza (forza peso, inerzia, attrazione magnetica).Sono distribuiti con continuità nel volume del solido considerato.Se consideriamo un punto P all’interno del solido èisoleremo forzando una porzione su cui agisce larisultante ΔF delle forze.Ipoteziamo che il volume tende a 0 e che il limite siafinito avremo quindi:

lim (ΔF/ΔV) = b(P).

Questa è la forza di massa o volume nel punto P che ha dimensioni [FL^-3]Il vettore b_P si può esprimere come espressione cartesiana b = b_x, b_y, b_ze in notazione matriciale b(p): [bx by bz].

Analisi dello stato di tensione

La tensione di Cauchy

Le risposte alle azioni esterne di superficie e di volume nascono dalle azioni interne esercitate dalle particelle contigue dei solidi per contatto. Un modello matematico per descrivere queste azioni interne si sviluppò da diversi studiosi, ma lo studio definitivo fu fatto da Cauchy.

Per evidenziare le azioni interne, immaginiamo di suddividere il corpo continuo, con 2 porzioni, separate con piano π₁ di normale n.

Applicando forze esterne P₁ su S₁, si esercitano azioni mutue di contatto agenti sulle superfici di separazione. Queste forze mutue sono le risultanti F_n e i momenti risultanti M_n.

Nell'intorno del punto P di area ΔA_n stanno ΔF_n la risultante e ΔM_n il momento risultante del sistema di forze che la porzione P₁ esercita sulla porzione P₂.

Si ammette che esistano finiti limiti:

• lim_ΔAn→0 ΔF_n/ΔA_n = T_n(P) → T_n(P) definisce la Tensione di Cauchy in P agente secondo il vettore di normale n di dimensioni [F/L²]
• lim_ΔAn→0 ΔM_n/ΔA_n = 0 → Ipotesi che individua la classe dei corpi di Cauchy

Lemma di Cauchy

Le Tensioni che si esercitano su 2 facce opposte di una medesima sezione congiuntura sono tra loro opposte

t_n → ← -t_n

Componenti Cartesiane

Le componenti cartesiane di Tensione sono le componenti del vettore Tensione nel punto relativo alla giacitura di normale n rispetto ad un sistema di riferimento generico Oxyz

t_n = t_nxi + t_nyj + t_nzk

t_n = |t_nx| |t_ny| |t_nz|

Sulla superficie libera del Solido S_p le Tensioni devono equilibrare le forze superficiali f esterne quindi le equazioni di equilibrio al contorno si scrivono:

t_inf = f_inf su S_p

Quindi le formule di Cauchy in versione scalare

t_nx = σ_nx + τ_yx + τ_zx   f_x = σ_xx + ∂τ_yx + ∂τ_zx

t_ny = σ_ny + τ_zy + τ_xy ⇒ Si scrive ⇒ f_y = σ_xy + ∂τ_zy + τ_xy

t_nz = σ_nz + τ_yz + τ_xz   f_z = ∂τ_yz + τ_xz + ∂τ_nz

Se invece il Solido è vincolato le equazioni di equilibrio al contorno devono essere correlate delle condizioni al contorno relativa su:

Su x ⇒ x = *

L'equilibrio alla rotazione del parallelepipedo ci fa vedere la Simmetria del Tensore degli Sforzi T.

τ_xy = τ_yx   τ_yz = τ_zy   τ_zx = τ_xz = τ_yz

* Abbiamo così individuato:

• 3 equazioni di equilibrio sul volume
• 3 condizioni di equilibrio al contorno S_p

Ma con queste condizioni non sono sufficienti a determinare le 6 Componenti indipendenti del Tensore quindi il corpo continuo si dà staticamente indeterminato.

PRINCIPIO DI RECIPROCITA' DELLE TENSIONI TANGENZIALI

La simmetria del Tensore degli sforzi deriva da un principio noto come principio di reciprocità delle Tensioni tangenziali.

Le Tensioni tangenziali difatti non possono agire su un solo piano ma devono essere presenti anche su un piano perpendicolare ad esso.

PRINCIPIO: comunque prese nell'intorno del punto due giaciture ortogonali normali e ' le Componenti di Tensione tangenziale dirette secondo i segni comuni sono uguali in modulo e dirette entrambe verso lo spigolo in senso opposto

τ_mn = τ_nm