Riassunto esame Matematica Finanziaria, prof. Rossello, Lo Cascio, Greco, aggiornato 07/2018

Formula di Gordon

Si applica quando si hanno infinite rate crescenti o decrescenti in progressione geometrica, usata

specialmente nell’ambito del VA di una rendita perpetua.

La formula sottostante ci consente di calcolare il VA di una rendita con infinite rate crescenti:

1+

1 − ( ) 1

1 +

lim =

1− 1−

→∞

Dimostrazione (rendita perpetua crescente): 1 1+

= 1 + = =

( è il tasso d’inflazione) 1+ 1+

Indici temporali

Servono a sintetizzare le informazioni su una pluralità di elementi, e sono:

• scadenza: indica la data di rimborso di un titolo: −

• vita a scadenza: indica la durata complessiva dell’operazione. In uno ZCB coincide con la duration:

• scadenza media aritmetica: indica la distanza di t dal baricentro della distribuzione dei flussi sull’asse

temporale:

• duration: misura in quanto tempo rientrano i capitali dal punto di vista finanziario, e rappresenta la media

aritmetica ponderata delle vite a scadenza delle poste attualizzate. E’ direttamente proporzionale ai flussi e

ai tempi, ed inversamente proporzionale al tasso:

Indici di variabilità .

• volatility: esprime la variazione % del VA rispetto alla variazione analoga del tasso E’ sempre negativa,

perché al numeratore rappresenta la derivata prima di una funzione decrescente. Viene chiamata anche

“duration modificata” perché esprime una misura proporzionale alla duration adattata ai mercati finanziari:

• convexity: è sempre positiva, e corrisponde al significato geometrico di curvatura verso l’alto della

funzione del VA:

Rischio al tasso

Le tipologie sono:

• rischio all’impiego (ex-post): variazione del valore delle somme investite ad un tasso differente da

quello previsto;

• rischio al prezzo (ex-ante): variazione del prezzo del titolo dovuta alla variazione del tasso

.

d’interesse

Nell’ambito del rischio al prezzo troviamo la formula di Taylor, che consente di trasformare una funzione

continua e derivabile in una somma di funzioni polimoniali:

A parità di prezzo, si scelgono titoli meno volatili.

A parità di rendimento e volatilità, si scelgono titoli più convessi.

Titoli obbligazionari

Titoli di credito che rappresentano un prestito contratto da un soggetto (emittente) che riceve un capitale e

paga al creditore un interesse (cedola), e che rimborsa il capitale secondo un piano di ammortamento.

Gli emittenti sono lo Stato, gli enti pubblici, SpA, SApA, SRL e banche.

La cedola, in tale ambito, è l’interesse pagato con cadenza periodica ad un tasso d’interesse.

Corso delle obbligazioni rimborsabili a scadenza

Sono:

• corso secco: il prezzo del titolo senza tenere conto degli interessi già maturati, e quindi il prezzo

della sola obbligazione. Consente di effettuare l’operazione solo nel giorno di stacco della cedola;

• corso tel quel: è l’operazione più frequente e consente di effettuare l’operazione in qualsiasi

momento, anche durante la maturazione della cedola. E’ pari al corso secco + rateo;

• corso ex cedola: è il prezzo pagato dall’acquirente nel caso il cedente voglia trattenere la cedola in

corso di maturazione. E’ un’operazione molto rara e si verifica solo quando il cedente vuole

capitalizzare l’intera cedola. E’ pari al corso tel quel – cedola in maturazione.

Piano di ammortamento

E’ l’insieme delle specifiche relative ai tempi di rimborso del capitale e di pagamento degli interessi.

Affinchè un PdA assolva le sue funzioni, è necessario che vengano soddisfatte alcune condizioni:

• condizione di chiusura: la somma delle quote deve essere uguale al debito inizialmente contratto.

Ciò assicura la completa estinzione del debito una volta contratta l’ultima rata. L’azzeramento del

debito residuo rappresenta lo scopo del rimborso di un prestito;

• condizione di equivalenza finanziaria: il VA delle rate all’istante iniziale del prestito deve essere

uguale al debito contratto. Ciò assicura la messa in atto, tra creditore e debitore, di un OF equa.

Ammortamento francese (rate costanti)

Ammortamento in cui la rata è costante, perché è il capitale equivalente al VA posticipato.

(1 + ).

Le QC costituiscono invece una progressione geometrica crescente di ragione Dovendo l’annualità

essere costante, le QI possono ricavarsi per differenza.

Ammortamento italiano (QC costanti)

Ammortamento che viene utilizzato nelle dilazioni di pagamento. = ∙ .

Le QC sono uguali tra di loro, mentre le QI variano in progressione aritmetica pari a

Ammortamento americano

Ammortamento in cui le quote progressivamente pagate dal debitore non vengono messe a disposizione

,

del creditore, ma versate in un fondo e lasciate capitalizzare ad un tasso di accumulazione in modo tale

che il montante prodotto al termine degli periodi del prestito dia la misura del capitale da restituire.

Ammortamento tedesco

Ammortamento in cui gli interessi vengono corrisposti all’inizio di ciascun periodo e commisurati alla

1

=

consistenza del debito in quell’istante. Al posto del tasso d’interesse si usa il tasso di sconto .

1+

Formula di Makeham

Viene usata per valutare i prestiti:

• (0; )

valutazione del prestito (rimborsabile a scadenza) nell’istante stesso in cui si contrae

• , (ℎ; )

valutazione del prestito in un istante compreso tra 0 e trovando

(0; ):

Dimostrazione al tempo

Dimostrazione al tempo (h;J):

Immunizzazione finanziaria

E’ una metodologia finalizzata a neutralizzare gli effetti della variazione del tasso di valutazione su un

portafoglio. Immunizzare un portafoglio significa proteggerlo dal rischio di prezzo (ovvero la possibilità che

un titolo perda valore a seguito di una variazione del tasso d’interesse). Un portafoglio è immunizzato se il

possessore, vendendolo, è immune dalle conseguenze di una variazione sfavorevole del tasso d’interesse.

L’immunizzazione è possibile mediante la corrispondenza dei flussi di cassa, della duration, della volatility e

della convexity.

Dimostrazione:

Teorema di Fischer-Weil

Serve a fornisce un metodo di copertura dal rischio di tasso. Se si verifica una variazione del tasso pari a

∗

ed il portafoglio ha una duration pari alla scadenza dell’obbligazione, allora il suo VA al tempo non potrà

.

essere inferiore a quello atteso al tasso

Dimostrazione:

Teorema di Redington

Afferma che, per avere un portafoglio immunizzato, è sufficiente che entrate (attivi) ed uscite (passivi)

abbiamo la stessa duration, e che gli attivi abbiano una dispersità (convexity) maggiore dei passivi.

Se, al tempo generico :

• entrate = uscite

• DUR entrate = DUR uscite

• CONV entrate > CONV uscite

allora in un intorno di risulta che:

− + − +

∑ (1 + + ∆) ≥ ∑ (1 + + ∆)

=1 =1

N.B.: l’intorno di un punto è l’intervallo aperto contenente il medesimo punto.

Tasso d’interesse ()

(, ) =

E’ il rapporto tra l’interesse prodotto ed il capitale impiegato nel periodo considerato unitario:

Tasso di sconto ()

=

E’ il rapporto tra lo sconto ed il capitale a scadenza:

Fattore di capitalizzazione ()

=

E’ il rapporto tra il montante ed il capitale iniziale:

Rapporto costi-benefici

Metodologia utilizzata per determinare l’ammissibilità (preferibilità) di un progetto di investimento.

Un progetto è ammissibile se il rapporto tra il VA dei benefici e dei costi è positivo. Tra più progetti di

investimento, risulterà preferibile quello che presenta il rapporto costi-benefici più alto.

REA (risultato economico attualizzato)(detto anche VAN, valore attuale netto)

E’ la differenza tra entrate ed uscite che, dato un flusso di cassa osservato ad un progetto d’impresa, ne

darà il guadagno che se ne ricaverà. Rappresenta la ricchezza incrementale generata da un progetto,

espressa come se fosse immediatamente disponibile, e corrisponde alla somma algebrica di tutti i flussi di

cassa attualizzati generati da un progetto. Dato che entrate ed uscite sono destinate a manifestarsi in tempi

diversi, dovranno essere finanziariamente riportate al medesimo istante di valutazione:

−

∑ ( + ) =

N.B.: il è esterno all’operazione.

N.B.: se invece le somme vengono riportate all’istante finale, il REA prenderà il nome di saldo finanziario.

N.B.: al crescere del costo del capitale, si riduce la convenienza economica dei progetti.

N.B.: il calcolo del REA si effettua quando si deve scegliere tra più progetti.

I limiti del REA sono:

• le operazioni devono essere omogenee (medesima durata ed ammontare);

• si deve applicare lo stesso tasso di valutazione.

TIR (tasso interno di rendimento)(detto anche TIM, tasso implicito)

E’ il tasso di sconto che rende nullo il VAN dei flussi di cassa generati da un progetto di investimento.

Esprime il rendimento implicito di un progetto di investimento (ovvero il costo massimo della raccolta

affinchè permanga la convenienza economica dell’investimento):

ℎ

∑ = ∑

ℎ

(1 + ) (1 + )

=0 ℎ=0

Quindi il montante delle entrate eguaglia quello delle uscite.

Condizione sufficiente a garantire l’unicità del TIR è che l’ultima scadenza delle uscite preceda la prima

scadenza delle entrate.

I limiti sono:

• impossibilità di applicazione in presenza di inversione di segno nei flussi di cassa di un progetto;

• necessità che i flussi vengano reinvestiti ad un tasso pari al TIR;

• impossibilità di comparare due investimenti diversi;

• non godimento della proprietà additiva (il VAN invece sì);

• la non considerazione del WACC (costo del capitale), in quanto tutti i flussi sono scontati al TIR

stesso. Il criterio del TIR prevede che:

- se TIR > WACC: il rendimento del progetto eccede il costo del finanziamento;

- se TIR < WACC: è meglio non fare l’investimento.

Secondo il Teorema di Norstrom, un’operazione possiede TIR positivo se:

• < 0