Riassunto esame Matematica Finanziaria, prof. Rossello, Lo Cascio, Greco, aggiornato 07/2018

Matematica finanziaria

E’ quella parte della matematica dedicata allo studio dei problemi concernenti la finanza e le operazioni legate ad investimenti economici.

Operazioni finanziarie

Sono operazioni relative all’impiego di capitali monetari e sono rappresentate dallo scambio tra due individui di due diversi capitali. Solitamente A cede a B il capitale disponibile al tempo ed in cambio B cede ad A il capitale disponibile al tempo.

Le OF si classificano in:

• Di capitalizzazione: l’elemento fondamentale è e deve essere determinato. Ci interessa valutare l’interesse maturato da un capitale iniziale, ovvero (= −).
• Di sconto: l’elemento fondamentale è e deve essere determinato. Ci interessa valutare lo sconto maturato su un capitale futuro, ovvero (= −).

Principio di equivalenza finanziaria

Due o più capitali non sono né sommabili né confrontabili se non scadono nel medesimo istante di valutazione. Per questo il capitale va sempre riferito ad un preciso periodo di tempo. Al capitale iniziale si contrappone un capitale finale che si riferisce ad un tempo successivo a quello iniziale.

Regime finanziario

Si tratta di una famiglia di funzioni che seguono la medesima legge. I regimi finanziari sono RIC, RIS e RIA.

Regime di capitalizzazione

Si tratta di una legge finanziaria che consente di aggiungere, ad un capitale iniziale, l’interesse prodotto in un certo periodo di tempo per formare un capitale finale. È inoltre il tasso istantaneo d’interesse, e l’interesse prodotto dal capitale unitario durante l’intervallo infinitesimo ammonterà a. La somma dei tassi istantanei darà il tasso effettivo: () = + − 1 [1], ovvero: = − 1 = lim () ^t→∞

Infine, occorre ricordare che:

• Note nei tre regimi: = tasso d’interesse
• = tempo all’istante iniziale
• = interesse prodotto da al tempo

Interesse: compenso spettante a chi investe un tot capitale nel tempo.

Sconto: compenso spettante a chi anticipa un tot capitale a scadenza nel tempo.

Interesse e sconto nel RIS

· = (1 + ) = · = 0 1+

Interesse e sconto nel RIC

[() ⌊1 ⌋ = (1 + 1) = − 1] = − () 0 0

• • e servono a dare attuazione al principio di equivalenza finanziaria
• • è il fattore di capitalizzazione, e serve a portare in avanti nel tempo un capitale
• • è il fattore di sconto, e serve a portare indietro nel tempo un capitale

Interesse e sconto nel RIA

1+ = · = · = − 0 0 0(1+1)− (1+1)−

Confronto tra regimi di capitalizzazione

Partendo dal presupposto che è il fattore di capitalizzazione,(0) (0) (0) = 0, = = = 1

• Per i tre regimi coincidono, infatti 1+(0) (0) (0) = 1 + · 0 = 1 = (1 + ) = 1 = =1 (1+)−1·0
• 1) (1) (1) = 1, = = = 1 +
• Per i tre regimi coincidono, infatti 1+1(1) (1) (1) = 1 + · 1 = 1 + = (1 + ) = 1 + = =1+ (1+)−1·1
• () () ()0 < < 1, > >
• Per () () () > 1, < <

Per un investimento di durata inferiore all’anno, il RIS è il più conveniente ed il RIA è il meno conveniente. Per un investimento di durata superiore all’anno, il RIA è il più conveniente ed il RIS è il meno conveniente.

Tassi equivalenti

Due tassi si dicono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per lo stesso periodo di tempo, producono lo stesso montante: 1(1 + ) = (1 + · )

Tasso nominale convertibile

In una legge di capitalizzazione composta in cui il periodo sia di anno ed il tasso unitario sia, si chiama tasso annuo convertibile volte l’anno il numero: 1 () [(1 = · · · = = · + ) − 1]→ →() ()

Il tasso nominale annuo è l’interesse su un capitale unitario corrisposto durante l’anno quando si conviene che l’interesse sia pagato ogni m-esimo di anno. 1 ·: In poche parole, è la sommatoria del tasso ripetuta per un numero di volte pari a () 1 1 1 = · + · + ⋯+ ·() Il tasso viene anche chiamato “tasso fantasma” perché non si riferisce a valori reali, ma dipende dal() numero di conversioni annue. Il tasso nominale annuo è sempre minore del tasso annuo effettivo.

Tasso istantaneo d’interesse

Detto anche “tasso nominale annuo convertibile infinite volte l’anno” o “istante per istante”: = log(1 + ) = lim ()^t→∞

Dimostrazione: 1lim = lim · + ) − 1] = ∞ · 0[(1 ()→∞ →∞1(1+) −1 0lim =1 0→∞ 1 =e poniamo (1 + ) − 1lim = log(1 + i) = δ→0

Forza d’interesse (, )

E’ possibile definire l’interesse prodotto da un investimento unitario iniziato all’epoca x secondo (, ), > . Una legge di capitalizzazione con + () = ( + ) − ().

L’interesse prodotto nell’istante infinitesimo di tempo che va da a è: La forza d’interesse è pari a: ′ ()() = ()

Forza d’interesse nel RIS 1, () = E’ decrescente al crescere di e non è costante: 1+

Forza d’interesse nel RIC

() = (1 + ) E’ costante: Forza d’interesse nel RIA 1: () = E’ crescente rispetto a (1+)−

Forza di sconto

−