Riassunto esame Matematica finanziaria, prof. Giacometti, libro consigliato Appunti di matematica finanziaria, Giacometti, Epis

1 NOZIONI ELEMENTARI

Matematica finanziaria → studio di operazioni (come investimento), in condizioni di certezza, uno scambio di somme di denaro ricercate in istanti temporali.

SITUAZIONE FINANZIARIA ELEMENTARE (SFE)

coppia ordinata di valori (x, t) -> x su più righe sull'asse temporale: es. (x, t₀) (c, t₁).

Due SFE sono equivalenti intertemporali quando il loro scambio è equo.

OPERAZIONI DI CAPITALIZZAZIONE (O INVESTIMENTO)

un soggetto si priva di una disponibilità oggi per rivivere in avere una somma domani. Scambio di disponibilità nota → somma ignota.

Date due SFE (c, t₀) (m, t_n) → interesse: M = C (1 + i); tasso di interesse: i = M – C / C.

Intensità di interesse: K = M – C; al tasso: C (1 + i)^t.

Intensità istantanea di interesse: δ = m' (t_c); m(t) = e^∫(t).

OPERAZIONI DI ATTUALIZZAZIONE (O SCONTO)

un soggetto, per il ricavo anticipatamente o inteso di una somma disponibile ad una scadenza futura, rinuncia ad una parte di essa. Somma iniziale → sommatoria ignota.

Date due SFE (t₀, v₀) (k, v_n) → sconto: k = K – V; tasso di sconto: k / v_w.

Intensità di sconto: k = k + v_w; al tasso: k = C (1 + i)^t.

Intensità istantanea di sconto: δ = m' (t_c); m(t) = 1 / v(t).

LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE

• una funzione è una l.f.c. se:
• t e (t, f) definito per ogni t ∈ [0, t),
• f (0) = 0,
• f monotona non decrescente,
• se derivabile anche se f '(t) > 0.

LEGGE FINANZIARIA DI ATTUALIZZAZIONE

• una funzione v è una l.f. o n.c.
• v (t) definita positivamente ogni t ∈ [0, t),
• v (0) = 0,
• v (t) monotona non crescente;
• se derivabile allora v'(t) < 0.

Le 3 proprietà:

1. Riflessiva -> ogni SFE si intende intertempo a sé stessa
2. Simmetrico -> date due SFE, se la 1^a indifferente alla 2^a anche la 2^a è indifferente alla 1^a
3. Transitiva -> date tre SFE, se la 1^a equivale int. alla 2^a e la 2^a è indifferente alla 3^a allora la 1^a è indifferente alla 3^a

1. Esercizi

1. Dati le seg. situazioni finanziarie elementari (tempi in anni e importi in euro) (2;700) (5;1000) legati da un'equivalenza finanziaria, calcolare interesse, tasso di interesse e fattore di capitalizzazione e montante.
   • Interesse I = M - C = 1000 - 700 = 300
   • Tasso di interesse i = M - C / C = 300 / 700 = 0,4286 = 42,86%
   • Fatt. di capitalizzazione γ = M / C = 1000 / 700 = 1,4286
   • Intensità d'interesse δ = ln γ / (t₂ - t₁) = ln 1,4286 / (5 - 2) = 0,1429
2. Come per alle s.t.e. precedenti, calcolare sconto, tasso di sconto, fattore di attualizzazione e intensità di sconto.
   • Sconto S = N - V = 1000 - 700 = 300
   • Tasso di sconto d = S / N = 300 / 1000 = 0,3 = 30%
   • Fatt. di attualizzazione v = V / N = 700 / 1000 = 0,7
   • Intensità di sconto η = -ln v / (t₂ - t₁) = -ln 0,7 / (5 - 2) = 0,1178
3. Considerata la s.t.e. (1;200) stabilire la s.r.e. che permette di conseguire con un orizzonte temporale di n anni, un tasso d'interesse del 12%, calcolare per le nuove s.r.e interesse e montante.
   • M = C * 0,12 = M = 200 (1+0,12n) = n 3,2
   • Interesse = I = M - C = 224 - 200 = 24
   • Intensità d'interesse δ = ln (1 + i) / t₂ = 0,04
4. Dato il fattore di capitalizzazione m(t) = 1 + 0,04t con t ≥ 0 e supposti C = 2000 e t = 10 anni, determinare montante, interesse, tasso di interesse, intensità di interesse e intensità istantanea di interesse (0,2000) (10,2800)
   • M = M₁₀ = C (1 + 0,04 * 10) = 2000 * 1,4 = 2800 montante
   • Interesse = I = M - C = 2800 - 2000 = 800
   • Tasso di interesse i = M - C / C = 2800 - 2000 / 2000 = 0,4 = 40%
   • Intensità d'interesse δ = ln (1 + i) / (t₂ - t₁) = 0,04
   • Intensità istantanea di interesse = δ = m^'(t) / m(t) = 0,04 / (1 + 0,04t/10) = 0,0286

18) Per l'acquisto di una porta meccanica del valore di € 21.000 l'azienda Snug

ha accettato i seguenti pagamenti:

- è subito,

- è 3.500 tra sei anni con interpra tra 6 mesi

- il saldo di un unico versamento x tra 1 anno

Calcolare il valore di X negli ipotesi in cui il venditore applichi interssi

composti al tasso annuo del 4%:

21.000 = 7.000 + 3.500 x (1,04)^-1

(1,04)^-6 x = 20.990,67 €

19) Stabilire se il prodotto di montante μ(T,t) = 1,23 ^t-T gode delle proprietà di

traslazione e scambiabità

traslazione: ∀t1 con tN t ♦ ∀g♦T t+oo) μ(T,t1) = μ(T,g) . (T9)

1,23 ^-T+t1 / 1,27 ^-1

(T → g)

scambiabilità: ∀t2 con O ∀t ♦ T1 tω μ(T,t) = μ(G,t)

1,23 ^-T+t2 = 1,23 ^-T = compitita

20) stabilire se la funzione di montante μ(T,t) = 2e ^T-t - 1 gode delle ipotesi C.S.

traslazione:

2e ^-T -1 e) = 2e ^-T -1 /

-1 = 2 e ^-T -1 = non scoparta

scambiabilità:

2e ^-T -1 = (2e ^-T -1), (2e ^-T -1) + (de + 2e ^-T -2e ^-T +1 =

4. VALORE DI UN'OP. FINANZIARIA

VALORE DI UN'OP. COMPLESSA DEFINITA DA UN ORDINE DAGLI ISTANTI X E IL SISTEMA DI PAGAMENTI IN UN ISTANTE GENERICO t

Un’OP. può essere rappresentata da due instori X = {X_k} che avver. In_k effett.

W_x|t(t) = ∑_{k ∈ X} x_k(t_k - t) + ∑_{k ∈ X} x_kv(t_k, t_t )

VALORE DI UN'OP COMPLESSA NEL REGIME AD INTERESSI SEMPLICI

W_x|t(t) = ∑_{k ∈ X} x_k + ∑_{k ∈ X} x_k(t_k - t)i = ∑_{k ∈ X} x_k(1+(t_k- t)i)

VALORE DI UN'OP COMPLESSA NEL REGIME AD INTERESSI ANTICIPATI

W_x|t(t) = ∑_{k ∈ X} x_kd(t_k- t)

+ ∑_{k ∈ X} x_k = ∑_{k ∈ X} x_kd(t_k - t)

VALORE DI UN'OP COMPLESSA NEL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

W_x|t(t) = ∑_{k ∈ X} x_k(1+i)^{(t_k- t)}

VALORE ATTUALE UN'OP COMPLESSA IN REG. DI C. COMPOSTA

W_x|t(t) = ∑_{k = 0} x_k(1+i)^{(t_k- t)}

MONTANTE UN'OP COMPLESSA IN REG. DI C. COMPOSTA

W_x|t(t) = ∑_{k = 0} x_ke^{(t_k- t)}

eOR EQUIVALENTI

Un’op. è equa al tempo t se W_x|t(t) = 0, ossia se il valore in t delle somme incassate è uguato a quello x_t delle somme pagate

Valore Attuale

• Rendita periodica posticipata, immediata, temporanea di durata n
  • W(ω) = R _{1 - (1+i)^-n}/ⁱ
• Rendita periodica posticipata, immediata, perpertua
  • W(ω) = R /ⁱ
• Rendita periodica anticipata, immediata, temporanea di durata n
  • W(ω) = R _{1 - (1+i)^-n}/⁽¹⁺ⁱ⁾ⁱ
• Rendita periodica anticipata, immediata, perpetua
  • W(ω) = R /⁽¹⁺ⁱ⁾ⁱ
• Rendita periodica posticipata, differita di p, temporanea di durata n
  • W(ω) = R _{(1 - (1+i)^-(n+p))}/ⁱ _(1+i)^p
• Rendita periodica anticipata, differita di p, temporanea di durata n
  • W(ω) = R _{(1 - (1+i)^-(n+p))}/⁽¹⁺ⁱ⁾ⁱ _(1+i)^p
• Rendita periodica anticipata, differita di p, perpetua
  • W(ω) = R /^(1+i)ip

Montante

• Rendita periodica posticipata, immediata, temporanea di durata n
  • M(n) = R _{(1+i)ⁿ - 1}/ⁱ
• Rendita periodica anticipata, immediata, temporanea di durata n
  • M(n) = R _{(1+i)ⁿ - 1}/⁽¹⁺ⁱ⁾ⁱ