Riassunto esame Fondamenti di analisi delle strutture Prof. Fabrizio Barpi, Mauro Borri Brunetto, Stefano Invernizzi

PROPRIETA’ GEOMETRICHE DELLA SEZIONE:

A: area della sezione trasversale

t > 1: fattore di taglio (AT = A/t)

I : momento d'inerzia della sezione trasversale

PROPRIETA’ DEL MATERIALE:

E: modulo di elasticità longitudinale (o modulo di Young)

G: modulo di elasticità tangenziale

CONVENZIONI DI SEGNO:

 q,p,v,w: positivi se concordi con il verso del rispettivo asse

(y; z)

 ϕ: positiva se antiorario

 Х: positiva se la concavità della curva è rivolta verso la sinistra

dell'asse z

 N: positivo se di trazione

 T: positivo se fa ruotare l'elemento di trave in senso orario

 M: disegnato dalla parte delle fibre tese

CAPITOLO 6: EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI EQUILIBRIO PER LA TRAVE RETTILINEA

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO: si ottengono studiando

l’equilibrio di un concio di trave in direzione orizzontale, verticale e alla

rotazione. Permettono di ricavare le funzioni N, T, M.

CAPITOLO 7: LA LINEA ELASTICA DELLE TRAVI INFLESSE

ϕ = ‐ v’

Х = ‐ v’’ Х(z) = M(z) / E I E I = RIGIDEZZA FLESSIONALE

EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL II ORDINE DELLA LINEA ELASTICA:

 permette di determinare la freccia v(z) noto il momento M(z)

(che deve quindi essere determinato in precedenza)

 richiede una duplice integrazione

 necessita di 2 condizioni al contorno (una per ciascun estremo

o entrambe a un solo estremo)

CONDIZIONI AL CONTORNO:

 Condizioni cinematiche:

Se lo spostamento è impedito: v = 0

o Se la rotazione è impedita: ϕ = ‐ v’ = 0

o

EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL IV ORDINE DELLA LINEA ELASTICA:

 permette di determinare la freccia v(z) noto il carico q(z)

 richiede una quadruplice integrazione

 necessita di 4 condizioni al contorno (2 per ogni estremo)

CONDIZIONI AL CONTORNO:

 Condizioni cinematiche:

Se lo spostamento è impedito: v = 0

o Se la rotazione è impedita: ϕ = ‐ v’ = 0

o

 Condizioni statiche:

Se il momento flettente è nullo: = 0

o Se il taglio è nullo: = 0

o

RICORDA:

 La formula per la freccia in mezzeria sotto un carico uniforme di una trave appoggiata è:

 2 6 2

Equivalenza: N/mm = 10 N/m = MPa

 2

Equivalenza: kg/m x 9,81 m/s = N/m

 v = 1/300 della luce (per travi in acciaio)

MAX

CAPITOLO 8: PROPRIETA’ GEOMETRICHE DI AREE PIANE

Nella teoria della trave compaiono le rigidezze E A (assiale) e E I (flessionale): il termine A

).

rappresenta l’area della sezione trasversale e I il momento d’inerzia principale (I

ε

Le coordinate del baricentro di un corpo sono:

 Il baricentro è il punto rispetto al quale si annullano entrambi i momenti statici

MOMENTI STATICI Sx, Sy:

 I momenti statici sono nulli per qualsiasi coppia di assi baricentrici

 I momenti statici possono essere maggiori, minori o uguali a zero; l’area A sempre

maggiore di zero

MOMENTI DI INERZIA Ix, Iy, Ixy:

 Ixx e Iyy sono sempre maggiori di zero

 Ixy (momento d’inerzia centrifugo) può essere maggiore, minore o uguale a zero

LEGGE DI TRASPOSIZIONE DEI MOMENTI DI INERZIA:

I momenti d’inerzia variano, per traslazioni del sistema di riferimento, secondo le leggi di Huygens:

È possibile trovare un sistema di riferimento nel quale Ixy=0 (sistema principale), ruotato di ϑ

(positivo se antiorario) rispetto a quello baricentrico di partenza:

I momenti di inerzia principali sono:

 Nel sistema principale Iεη=0

 Iε e Iη sono sono sempre maggiori di zero.

 Il sistema baricentrico e principale si dice centrale

PER OPERARE SU FIGURE COMPOSTE BISOGNA:

1. Si divide l’area in n figure semplici (di cui sono note le caratteristiche geometriche, per

esempio da prontuari e formulari)

2. Si calcola l’area totale (sommando le n aree elementari)

3. Si calcolano i momenti statici totali (sommando opportunamente i momenti statici delle n

aree elementari) rispetto ad un sistema di riferimento (x; y) scelto a piacere

4. Si trova la posizione del baricentro

5. Si calcolano i momenti d’inerzia totali (sommando opportunamente i momenti d’inerzia

delle n aree elementari) ricordando che:

a. vanno usate le leggi di trasporto per riferire tutti i momenti d’inerzia al sistema di

riferimento globale (xG ,yG ); nel formulario sono riferiti al sistema di riferimento

proprio (xGi ,yGi )

b. il momento centrifugo dell’area ima dipende dal verso degli assi, quindi occorre

controllare i versi degli assi locali xGi ,yGi rispetto a quelli globali xG ,yG

6. Si calcolano l’orientamento del sistema principale (ϑ) e i momenti d’inerzia totali (Iε e Iη)

CAPITOLO 9: STRUTTURE IPERSTATICHE: IL METODO DELLE FORZE

Quando una struttura è vincolata in modo sovrabbondante rispetto al minimo grado di vincolo

sufficiente a mantenerla fissa, non è possibile determinare univocamente le reazioni vincolari

usando solo le equazioni cardinali della statica.

Ponendo ad es. HB = X, qualsiasi, l’equilibrio è soddisfatto, con

HA = ‐ F ‐ X: ci sono infinite soluzioni.

Risoluzione: si considera la struttura isostatica relativa sulla quale si

applicano:

 Gli spostamenti dovuti alle forze applicate

 Gli spostamenti dovuti alle forze incognite

E si procede con:

 Degradazione vincolare

 sovrapposizione degli effetti

 equazione di congruenza

 le forze determinate si interpretano come reazioni vincolari

 si ritorna a disegnare la situazione iperstatica (con 2 cerniere), ma con le nuove forze:

F+X = F(1‐d/L)

>

o X => Fd/L

o

 si calcolano le reazioni vincolari (sullo schema isostatico) generate dall’azione

contemporanea dei carichi applicati e dalla reazione iperstatica

 si tracciano i corrispondenti diagrammi delle sollecitazioni (N;M;T)

RICORDA quando imponi le condizioni al contorno (bisogna guardare lo schema che si ha,

mensola/trave appoggiata…):

‐ v => spostamento

‐ v’ => rotazione

‐ v’’ => momento

‐ v’’’ => taglio

Equazione della linea elastica per carico q costante:

Equazione della linea elastica per carico q nullo:

CAPITOLO 9: STRUTTURE IPERSTATICHE: IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI

Si scelgono come incognite del problema alcuni spostamenti detti parametri cinematici.

Si parte dalla scelta di punti opportuni della struttura detti nodi dove si definiscono i parametri

cinematici (spostamenti e rotazioni), che rappresentano le incognite del problema.

1. Si sceglie il nodo (C)

2. Si individua lo spostamento w da C a C’, sia verso A che

verso B con le formule: w = ε d = H/EA d

3. Dai due spostamenti w trovati, si trovano le reazioni in

orizzontali in C (H e H ).

CA CB

4. Consideriamo w = w = w

CA CB C

5. Si scrive l’equilibrio delle reazioni orizzontali del nodo

C (comprendendo anche la forza F)

6. Troviamo lo spostamento

7. Troviamo gli sforzi normali nell’intorno di C.

METODO DELLE FORZE VS METODO DEGLI SPOSTAMENTI

METODO DELLE FORZE

 Scelta del sistema principale: sistema staticamente determinato ottenuto eliminando

vincoli sino ad ottenere una struttura isostatica

 Gli schemi isostatici sono equilibrati ma non congruenti (nei punti in cui sono soppressi i

vincoli gli spostamenti non sono quelli reali, generalmente nulli)

 I sistemi possono diventare congruenti applicando certe forze e coppie incognite Xi (ai

nodi precedentemente vincolati) da determinare

 Si determinano le forze e le coppie Xi imponendo che gli spostamenti e le rotazioni

rispettino i vincoli sovrabbondanti (congruenza)

METODO DEGLI SPOSTAMENTI

 Scelta del sistema principale: sistema geometricamente determinato ottenuto

aggiungendo vincoli sino ad ottenere una struttura con tutti i nodi bloccati

 Lo schema a nodi bloccati è congruente ma non equilibrato (per bloccare i nodi occorre

applicare forze e coppie diverse da quelle realmente agenti nei nodi)

 I sistemi possono diventare equilibrati imponendo certi spostamenti e rotazioni Yi (ai nodi

precedentemente bloccati) da determinare

 Si determinano gli spostamenti e le rotazioni Yi imponendo che le forze e le coppie nei nodi

bloccati rispettino l’equilibrio

CAPITOLO 10: IL CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Le componenti di spostamento e quelle delle reazioni vincolari ad entrambe

le estremità di una trave si considerano positive se concordi con gli assi del

sistema di riferimento locale. Rotazioni e coppie si considerano positive se

antiorarie.

Si può imporre che:

 Un solo estremo della trave a doppio incastro possa ruotare

 Un solo estremo della trave a doppio incastro possa traslare verticalmente

 Un solo estremo della trave a doppio incastro possa traslare orizzontalmente

Si prendono le diverse formule di M, T, N dal formulario.

Le precedenti relazioni si possono raggruppare in un’espressione matriciale, dove si

sovrappongono gli effetti di tutti gli spostamenti possibili.

La matrice che lega gli spostamenti alle caratteristiche di sollecitazione alle estremità è detta

matrice di rigidezza della trave.

 la matrice è simmetrica

 i termini sulla diagonale sono positivi

 l’espressione è valida considerando le componenti di forze e

spostamenti secondo il sistema di riferimento locale

Se consideriamo:

Allora la matrice si può scrivere in una forma più compatta:

Una volta trovate le reazioni della trave, si trovano gli effetti del carico uniforme applicato su di

essa, riscrivendo la matrice come: 

In forma più compatta, indicando con il pedice e la trave i ‐ j scriviamo:

Se il riferimento locale è diverso da quello globale, per poter sommare

tutte le componenti delle forze, si introduce la matrice di rotazione

[Ne], dove in T e in N, si va a considerare l’angolo ϑ di rotazione del

sistema.

L’equazione di equilibrio della trave nel sistema di riferimento globale:

Si può scrivere l’equilibrio globale della struttura come:

dove:

‐ [K]: matrice di rigidezza globale della struttura

‐ {δ}: vettore degli spostamenti nodali

‐ {R}: {P} vettore delle forze applicate nei nodi + {V} vettore delle reazioni vincolari esterne +

{F} vettore delle forze nodali equivalenti

CAPITOLO 11: ANALISI DELLE DEFORMATE

La descrizione geometrica del cambiamento di forma dell’intorno di ogni punto del solido è detta

analisi della deformazione.

 Individuare una configurazione di riferimento, che corrisponde alla regione dello spazio

occupata dal corpo in un dato istante, generalmente detta configurazione indeformata

 individuare i punti del corpo in tale configurazion