Riassunto esame Fondamenti di analisi delle strutture Prof. Fabrizio Barpi, Mauro Borri Brunetto, Stefano Invernizzi

Capitolo 1: La sicurezza strutturale

In Italia sono in vigore le Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC18), a seguito del DM 17 gennaio 2018. Queste norme attuali non descrivono le modalità di progettazione, ma individuano le prestazioni che la struttura deve garantire (resistenza meccanica, stabilità, resistenza in caso di incendio, durabilità e, che insieme definiscono la sicurezza strutturale delle opere).

La sicurezza e le prestazioni di un'opera o di una parte di essa devono essere valutate in relazione agli stati limite che si possono verificare durante la vita nominale di progetto (V_N), ovvero il numero di anni nel quale è previsto che l'opera, purché soggetta alla necessaria manutenzione, mantenga specifici livelli prestazionali.

Si definisce stato limite una condizione superata la quale l'opera non soddisfa più le esigenze elencate nelle presenti norme. Le opere e le varie tipologie strutturali devono possedere i seguenti requisiti:

• Sicurezza nei confronti di stati limite ultimi (SLU): capacità di evitare crolli, perdite di equilibrio e dissesti gravi, totali o parziali, che possano compromettere l'incolumità delle persone. Il superamento in un SLU ha carattere irreversibile. Esempi di raggiungimento degli SLU sono: perdita di equilibrio della struttura, spostamenti o deformazioni eccessive.
• Sicurezza nei confronti di stati limite di esercizio (SLE): capacità di garantire le prestazioni previste per le condizioni di esercizio. Il superamento in un SLE ha carattere reversibile o irreversibile. Esempi di raggiungimento degli SLE sono: danneggiamenti locali o corrosione e/o degrado dei materiali.
• Sicurezza antincendio: capacità di garantire le prestazioni strutturali previste in caso d’incendio, per un periodo richiesto;
• Durabilità: capacità della costruzione di mantenere, nell’arco della vita nominale di progetto, i livelli prestazionali per i quali è stata progettata;
• Robustezza: capacità di evitare danni sproporzionati rispetto all’entità di possibili cause innescanti eccezionali quali esplosioni e urti.

Le opere strutturali devono essere verificate:

• per gli stati limite ultimi che possono presentarsi,
• per gli stati limite di esercizio definiti in relazione alle prestazioni attese,
• quando necessario, nei confronti degli effetti derivanti dalle azioni termiche connesse con lo sviluppo di un incendio.

Le verifiche di sicurezza delle opere devono essere contenute nei documenti di progetto. La probabilità di collasso della struttura o dell’elemento strutturale è detta probabilità di crisi. La sicurezza nei confronti di uno SLU è verificata se R_d ≥ E_d (resistenza di progetto ≥ valore di progetto della domanda). La verifica della sicurezza nei riguardi di uno stato limite di esercizio si esprime come C_d ≥ E_d (valore limite di progetto di ciascuna funzionalità ≥ valore di progetto dell’effetto delle azioni).

Capitolo 2: Vincoli piani

Un punto materiale P:

• nello spazio 2D dispone di 2 gradi di libertà (x, y)
• nello spazio 3D dispone di 3 gradi di libertà (x, y, z)

Un corpo rigido:

• nello spazio 2D dispone di 3 gradi di libertà (2 coordinate del baricentro x, y e 1 angolo di rotazione)
• nello spazio 3D dispone di 6 gradi libertà (3 coordinate del baricentro x, y, z e 3 angoli di rotazione)

Un moto infinitesimo di un corpo rigido è costituito da infiniti spostamenti tangenti alle rispettive traiettorie. Un vincolo è l’idealizzazione di un dispositivo atto a limitare le possibilità di moto di un corpo. I vincoli possono essere:

• Esterni (assoluti), se impongono restrizioni al moto rispetto allo spazio in cui si muove il corpo;
• Interni (relativi), se limitano le possibilità di moto di un corpo rispetto a un altro.

I vincoli si classificano in base:

• ai gradi di libertà (gdl) impediti (definizione cinematica) e si dividono in:
  • Vincoli semplici (lasciano al corpo 3 - 1 = 2 gdl).
    • Esterni: Appoggio e doppio bipendolo.
    • Interni: Biella interna e doppio bipendolo interno.
  • Vincoli doppi (lasciano al corpo 3 - 2 = 1 gdl).
    • Esterni: Cerniera e doppio pendolo.
    • Interni: Cerniera interna e doppio pendolo interno.
  • Vincoli tripli (lasciano al corpo 3 - 3 = 0 gdl, cioè neo impediscono qualsiasi movimento).
    • Esterni: Incastro.
    • Interni: Incastro interno.
• alle componenti della reazione presenti (definizione statica).

Un dato sistema di corpi rigidi può essere fisso (se g < 0) oppure labile (g > 0). Nel caso in cui si abbiano n corpi e v gdl (interni o esterni) vincolati, si calcoli: g = 3n - Σv. Un sistema labile con 1 gdl si dice catena cinematica.

Primo teorema delle catene cinematiche: Un sistema (di almeno due corpi) risulta una volta labile se e solo se, per ciascuna coppia di corpi i e j, il centro di rotazione relativo C_ij è allineato con i centri di rotazione assoluti C_i e C_j.

Secondo teorema delle catene cinematiche: Un sistema (di almeno tre corpi) risulta una volta labile se e solo se, per ciascuna terna di corpi i, j, k, i centri di rotazione relativi C_ij, C_jk, C_ki sono allineati.

I sistemi fissi possono essere:

• Isodeterminato: quando i vincoli sono tutti necessari
• Iperdeterminato: quando i vincoli sono sovrabbondanti

I sistemi labili possono essere ipodeterminati con:

• Vincoli in numero insufficiente
• Vincoli in numero sufficiente ma maldisposti
• Vincoli in numero sovrabbondante ma maldisposti

Reazioni vincolari: Se a un corpo vincolato si applica un sistema di forze a risultante e momento risultante non nulli (azioni) ed esso rimane fermo, allora i vincoli generano un secondo sistema di forze (reazioni vincolari) che sommato al precedente dà risultante e momento risultante nulli. Una forza F e uno spostamento s, o un momento M e una rotazione φ sono duali se il loro prodotto scalare rappresenta un lavoro: L = Fs; L = Mφ.

Un vincolo può trasmettere al corpo vincolato una forza o un momento duali ai gradi di libertà impediti, dette reazioni vincolari. Se il vincolo è perfetto (privo di attrito e non soggetto a cedimenti), per definizione le reazioni vincolari non compiono lavoro cioè Fs = 0; Mφ = 0.

Capitolo 3: Richiami di statica

A ciascuna componente di spostamento impedita corrisponde una componente di reazione vincolare incognita scambiata. Il caso di incastro interno è interessante perché ogni sezione della struttura può essere vista in tal modo. Se ci si riferisce ad un sistema locale si possono definire le caratteristiche di sollecitazione:

Caratteristiche di sollecitazione 3D

Capitolo 4: Schemi elementari

Relazioni differenziali

Il taglio è la derivata del momento.

Regole qualitative

• I diagrammi devono rispettare i vincoli (es. momento nullo nelle cerniere o negli estremi liberi, taglio nullo negli estremi liberi…)
• Nel punto in cui il taglio T(z) è nullo, il momento M(z) ha un massimo o un minimo
• Nel punto in cui q(z) è nullo, il taglio T(z) ha un massimo o un minimo
• Nel punto in cui p(z) è nullo, lo sforzo normale N(z) ha un massimo o un minimo
• La derivata seconda (concavità) di M(z) è -q(z)
• Una forza concentrata normale all’asse della trave causa una discontinuità in T(z) e un punto angoloso in M(z)
• Una forza concentrata con direzione dell’asse della trave causa una discontinuità in N(z)
• Una coppia concentrata causa una discontinuità in M(z)
• Se il carico q(z) è nullo, il taglio T(z) è costante a tratti e il momento M(z) lineare (polinomio di primo grado)
• Se il carico q(z) è costante, il taglio T(z) è lineare e il momento M(z) parabolico (polinomio di secondo grado)
• Se il carico q(z) è lineare, il taglio T(z) è parabolico (polinomio di secondo grado) e il momento M(z) è una curva cubica (polinomio di terzo grado)

Convenzioni di segno

• Sforzo normale positivo se di trazione
• Taglio positivo se fa ruotare l’elemento di trave in senso orario
• Il diagramma di momento M(z) deve essere disegnato dalla parte delle fibre tese (se risulta a destra percorrendo l’asse z è positivo, viceversa negativo)

Capitolo 5: Teoria della trave rettilinea

La trave è un particolare elemento strutturale con una dimensione (la lunghezza) molto maggiore delle altre due. Ciò consente di semplificare un problema complesso tridimensionale. Si tratta di un problema piano in cui i carichi sono applicati nel piano verticale (y; z) e la sezione trasversale (perpendicolare all'asse z) è simmetrica rispetto all'asse y. Questo fa sì che la linea d'asse deformata appartenga ancora al piano (y; z).

Cinematica

Gli spostamenti che la trave può subire sono:

• v → spostamento lungo y
• w → spostamento lungo z
• φ → rotazione

Si studia la deformazione in base ai modi semplici di deformazione di un segmento della trave di lunghezza h:

• Deformazioni longitudinali
• Deformazione longitudinale o dilatazione ε: è il rapporto tra l'allungamento dell'elemento e la sua lunghezza iniziale
• Deformazioni trasversali (formate da tre contributi):
  • Scorrimento angolare ψ;
  • Rotazione rigida φ;
  • Curvatura Χ.

Equazioni cinematiche

ψ(z) ≠ 0: modello di Timosenko

ψ(z) = 0: modello di Eulero-Bernoulli

Statica

Per le equazioni statiche si utilizzano i carichi.

Equazioni statiche

La proporzionalità tra sollecitazione (N, M, T) e caratteristica deformativa (ε, Χ, ψ) si misura attraverso la rigidezza K, ovvero la pendenza del diagramma S e d). Dipende dal materiale (E; G) e dalla forma della sezione (A; I ; A = A/t).

Equazioni costitutive elastiche lineari

Proprietà geometriche della sezione

• A: area della sezione trasversale
• t > 1: fattore di taglio (A_T = A/t)
• I: momento d'inerzia della sezione trasversale

Proprietà del materiale

• E: modulo di elasticità longitudinale (o modulo di Young)
• G: modulo di elasticità tangenziale

Convenzioni di segno

• q, p, v, w: positivi se concordi con il verso del rispettivo asse(y; z)
• φ: positiva se antiorario
• Χ: positiva se la concavità della curva è rivolta verso la sinistra dell'asse z
• N: positivo se di trazione
• T: positivo se fa ruotare l'elemento di trave in senso orario
• M: disegnato dalla parte delle fibre tese

Capitolo 6: Equazioni differenziali di equilibrio per la trave rettilinea

Equazioni indefinite di equilibrio: si ottengono studiando l’equilibrio di un concio di trave in direzione orizzontale, verticale e alla rotazione. Permettono di determinare le reazioni vincolari e le sollecitazioni interne.