Riassunto esame Fluidodinamica, Prof. Arnone Andrea, libro consigliato Fluid mechanics 1, Pritchard, Fox, McDonalds

CINEMATICA DEI FLUIDI

Possiamo scomporre il moto di una particella di fluido in quattro componenti: Traslazione, in cui la particella si

, ;

muove da un punto a un altro; Rotazione, che può avvenire attorno a ciascuna degli assi e Deformazione

lineare, dove le facce della particella si contraggono o si allungano; Deformazione angolare, in cui cambiano gli angoli

tra le facce.

Traslazione Deformazione angolare

Deformazione lineare

Rotazione

 Traslazione del fluido ⃗⃗ ⃗⃗(, )

= , ,

La traslazione di una particella di fluido è ovviamente connessa con il campo di velocità .

Il problema che cercheremo di risolvere è trovare l’accelerazione della particella dato il campo di velocità.

Data una particella che si muove in un campo di velocità che inizialmente al tempo si trova nella posizione

, , , ,

la sua velocità corrisponderà alla velocità di quel punto nello spazio al tempo quindi:

⃗⃗ ⃗⃗(, )

]

= , ,

+ , + , + , +

Al tempo la particella si troverà nella posizione con coordinate e la

conseguente velocità sarà:

⃗⃗ ⃗⃗ ( )

]

= + , + , + , +

+ ⃗⃗

La variazione della velocità della particella è data dalla regola della catena (concatenazione):

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗

= + + +

L’accelerazione totale della particella è data da:

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗ = = + + +

Dal momento che

= ; = ; =

Otteniamo così l’espressione dell’accelerazione di una particella di fluido in un campo di velocità

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

≡ ⃗ = + + +

Analizzando ogni elemento dell’equazione sopra abbiamo il primo termine a sinistra che corrisponde

all’accelerazione totale della particella, i tre termini dopo l’uguale indicano l’accelerazione convettiva e

l’ultimo termine rappresenta l’accelerazione locale. L’accelerazione convettiva può anche essere espressa in

un solo termine usando l’operatore gradiente, quindi:

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗

(

+ + = ∙ ∇)

Di conseguenza l’equazione per l’accelerazione totale può essere vista come:

⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗

(

≡ ⃗ = ∙ ∇) +

 Rotazione del fluido

Una particella di fluido che si muove in un generico campo di flusso tridimensionale potrebbe ruotare

rispetto a tutte e tre le coordinate; quindi, la rotazione della particella è un vettore:

̂

⃗

⃗ = ̂ + ̂ +

Ogni componente corrisponde alla relativa rotazione attorno all’asse; il senso positivo della rotazione è dato

dalla regola della mano destra (senso antiorario positivo).

Per estrarre la rotazione da una particella in movimento dobbiamo prima considerare il fatto che, trascorso

∆

un intervallo generico, la particella potrebbe aver traslato, ruotato o subito una deformazione.

Il lato ha ruotato in senso antiorario di un angolo

∆,

mentre il lato ha ruotato in senso antiorario di ∆

−∆.

un angolo Per estrarre la rotazione della ∆

particella da questi due angoli possiamo prendere un

valore medio tra i due, in questo modo la rotazione ∆

1 (∆ ∆)

⁄ −

diventa (per entrambi i lati): ∆ ∆

.

2

Per ottenere la misura della deformazione angolare ∆ ∆

Particella a

Particella originale

∆

della particella possiamo usare sempre gli angoli e 1 (∆

⁄ + ∆)

2

∆ ∆

usati in precedenza. Se a sottraiamo la 1 (∆

⁄ − ∆)

2

rotazione della particella, quello che rimane sarà pura

deformazione:

1 1

(∆ ∆)] (∆ ∆)

[∆ − ⁄ − = ⁄ +

2 2 −∆,

Stessa cosa avviene per l’angolo ottenendo lo 1 (∆

⁄ + ∆)

2

stesso risultato. La deformazione totale della 1 (∆

⁄ − ∆)

2 Componente deformazione

particella è data dalla somma delle deformazioni dei Componente rotazione angolare

(∆ ∆)

+

lati, quindi . ∆ ∆

∆ = ∆ = ∆ ∆

Per piccoli angoli si ha: e , ma il valore di aumenta perché, se nell’intervallo di tempo

∆ ∆

(

∆, + ∆) ∆

il punto si muove orizzontalmente di una distanza il punto si sarà mosso di e allo

∆;

stesso modo si comporterà quindi avremo:

∆ = ( + ∆) ∆ − ∆ = ∆∆

∆ = ( + ∆) ∆ − ∆ = ∆∆



∆ 0

Passando per il limite a si ottiene così la rotazione attorno all’asse e considerando coppie di assi

perpendicolari nei piani e otteniamo tutte le altre rotazioni:

1 1 1

= ( − ) ; = ( − ) ; = ( − )

2 2 2

Quindi il vettore rotazione diventa:

1

̂

[̂

⃗

⃗ = ( − ) + ̂ ( − ) + ( − )]

2

Usando la scrittura con l’operatore gradiente otteniamo la forma finale del vettore rotazione:

1 ⃗⃗

⃗

⃗ = ∇ ×

2

 Deformazione del fluido

a. Deformazione angolare

Come discusso sopra, la deformazione angolare di una particella è data dalla somma delle due

(∆ ∆)

+

deformazioni angolari:

Possiamo quindi calcolare la variazione di deformazione angolare della particella nel piano

∆ → 0,

passando al limite per ottenendo così: ∆

∆

( ∆ + ∆)

∆ ∆

= lim =( + )

∆

∆→0

La stessa cosa si può fare per i pinai e ottenendo rispettivamente:

( + ); ( + )

b. Deformazione lineare

Durante la deformazione lineare la forma dell’elemento di fluido, descritta dagli angoli ai vertici,

rimane invariata; l’elemento cambierà in lunghezza nella direzione solo se è diversa da zero e la

stessa cosa vale per le altre direzioni. La variazione in lunghezza dei lati può comportare un

cambiamento nel volume dell’elemento. La dilatazione volumetrica istantanea dell’elemento di

fluido è data da:

⃗⃗

∇∙ = + +

Per fluidi incomprimibili, il valore della dilatazione volumetrica è zero.

EQUAZIONE DEL MOMENTO.

Ricordando la seconda legge di Newton scritta per un sistema infinitesimale di massa

⃗⃗

⃗ = )

Adesso che sappiamo come scrivere l’accelerazione di un elemento di fluido di massa che si muove in un campo

di velocità, possiamo riscrivere la seconda legge di Newton come il vettore:

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗ [ ]

= = + + +

Adesso sere trovare tutte le componenti della forza agente sulla particella di fluido.

Le forze che agiscono su una particella possono essere di corpo o di superficie: le forze di superficie includono le

forze normali e tangenziali (di taglio).

Serve considerare la componente della forza agente su un elemento differenziale di massa e volume

= .

Solo gli stress in direzione daranno luogo a forze di superficie in quella direzione. Gli stress al

,

centro dell’elemento infinitesimale sono .

,

Per ottenere la forza di superficie netta in direzione dobbiamo sommare tutte le forze in questa direzione:

( ) ( )

= + − −

2 2

( ) ( )

+ + − −

2 2

( ) ( )

+ + − −

2 2

Semplificando si ottiene:

+ +

( )

=

Introduzione alle equazioni di Navier Stokes

Per un fluido Newtoniano lo stress viscoso è direttamente proporzionale alla velocita dello sforzo di taglio (velocità

di deformazione angolare).

Nel caso tridimensionale lo stress può essere espresso in termini di gradienti di velocità e proprietà del fluido

espresse in coordinate rettangolari, rendendo il tutto più complicato.

Tutto ciò però viene ridotto ad una forma semplificata considerando un fluido incomprimibile con viscosità costante

e le equazioni che ne derivano sono dette Equazioni di N