Riassunto esame di Matematica per l'azienda

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ

I punti di non derivabilità di una funzione sono i punti del dominio in cui non è definita la derivata prima della funzione, e possono essere di tre tipi: punto angoloso, punto di cuspide e punto di flesso a tangente verticale.

Tipi di punti di non derivabilità

Quando la condizione necessaria e sufficiente di derivabilità non è soddisfatta, possiamo avere uno dei seguenti tipi di punti di non derivabilità:

• Punto angoloso
• Cuspide
• Flesso a tangente verticale

Punto angoloso

Una funzione f non è derivabile in x Dom(f) e presenta in tale punto un punto angoloso se i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono entrambi finiti, ma assumono valori diversi. Solitamente, i punti angolosi si presentano nelle funzioni aventi valori assoluti. Esempio: la funzione valore assoluto presenta in x = 0 un punto angoloso.

Cuspide

Se i due...

limiti del rapporto incrementale sinistro e destro sono infiniti di segno opposto, la funzione presenta in x un punto di cuspide.

Solitamente, i punti di cuspide si presentano nelle funzioni aventi radici ad indice pari. Flesso a tangente verticale• Se i due limiti del rapporto incrementale sinistro e destro sono infiniti dello stesso segno, la funzione presenta in x un punto di flesso a tangente verticale.

Solitamente, i punti di flesso a tangente verticale si presentano nelle funzioni aventi radici ad indice dispari.

Individuare i punti di non derivabilità

1. Sappiamo che somma, differenza, prodotto, quoziente e composizione di funzioni derivabili sono derivabili.
2. Considerando una funzione f, individuiamo il suo dominio Dom(f).
3. Calcoliamo la derivata della funzione f' e determiniamone il dominio Dom(f').
4. Nei punti in cui f' è continua non abbiamo alcun problema, perché è necessariamente soddisfatta la condizione di

derivabilità.5) Se abbiamo una funzione definita a tratti, cioè una funzione nella forma il cosiddetto punto di raccordo a=b, potrebbe essere un punto di nonderivabilità.

RAPPORTO TRA CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ

La derivabilità implica sempre la continuità, mentre la continuità non implica necessariamente la derivabilità.

Relazione tra continuità e derivabilità:

• Se una funzione è continua in un punto, può essere derivabile in quel punto, ma non per forza. Se però una funzione non è continua in un punto, non è certamente derivabile nel punto.
• Se una funzione è derivabile in un punto, sarà sicuramente continua in quel punto. Ma una funzione può essere continua anche senza essere derivabile.

DERIVATE FONDAMENTALI:

• f(x) = costante, f’(x) = 0
• f(x) = x, f’(x) = 1
• f(x) = x^a, f’(x) = a*x^a-1
• f(x) = a, f’(x) = a*ln(a)*x
• f(x) = e, f’(x) = e

f'(x) = e^x → f(x) = log(x)

f'(x) = 1/(xln(a))a → f(x) = ln(x)

f'(x) = 1/x → f(x) = |x|

f'(x) = |x|/x → f(x) = sin(x)

f'(x) = cos(x) → f(x) = cos(x)

f'(x) = -sin(x) → f(x) = tan(x)

f'(x) = 1/cos(x)^2 → f(x) = cotan(x)

f'(x) = -1/sin(x)^2 → f(x) = arcsin(x)

f'(x) = 1/√(1-x^2) → f(x) = arccos(x)

f'(x) = -1/√(1-x^2) → f(x) = arctan(x)

f'(x) = 1/(1+x^2) → f(x) = arccotan(x)

f'(x) = -1/(1+x^2)

CALCOLO DELLE DERIVATE

Regole di derivazione per il calcolo delle derivate

• La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione. Ogni volta che abbiamo un coefficiente che moltiplica una funzione, se dobbiamo derivare il tutto è sufficiente riscrivere il coefficiente e derivare solamente la funzione.
• La derivata di una somma/differenza di funzioni è uguale alla somma/differenza delle singole

derivate.

• La derivata del prodotto di due funzioni è data dalla somma tra il prodotto della prima funzione derivata per la seconda non derivata, e la prima funzione non derivata per la seconda derivata.
• La derivata del rapporto di due funzioni è data dal rapporto tra la derivata del numeratore per denominatore non derivato meno il numeratore non derivato per denominatore derivato, il tutto fratto il denominatore elevato al quadrato.

DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA

Teorema per la derivata della funzione composta:

Consideriamo due funzioni reali di variabile reale f : R → R, g : R → R e chiamiamole y = f(x) e z = g(y), e sia h(x) = g(f(x)) la loro composizione:

• La derivata della funzione composta h(x) = g(f(x)) è data dalla derivata della funzione più esterna, con argomento invariato, moltiplicata per la derivata della funzione più interna.

Derivazione di più funzioni composte:

Il teorema si estende anche nel caso di una funzione data.

dallacomposizione di tre o più funzioni. Ad esempio, la derivata di f(x) = r(q(p(x))) è f'(x) = r'(q(p(x))) * q'(p(x)) * p'(x)

DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

Teorema di derivazione della funzione inversa

Consideriamo una funzione y = f(x) biunivoca e derivabile in un punto x₀ supponiamo che f'(x₀) ≠ 0.

• La funzione inversa x = f⁻¹(y) è derivabile nel punto y = f(x₀), e la sua derivata in tale punto è

Come calcolare la derivata dell'inversa

Se la funzione f è invertibile e derivabile in un punto del suo dominio, allora risulta che:

- la funzione inversa f⁻¹ è derivabile nell'immagine di quel punto mediante f;

- sappiamo calcolare la derivata della funzione inversa in quel punto.

MASSIMI E MINIMI RELATIVI E ASSOLUTI

I massimi e i minimi relativi e assoluti di una funzione sono rispettivamente i valori massimi e minimi che tale funzione assume; le corrispondenti ascisse vengono dette punti di massimo e di

minimo.Cosa sono i massimi e i minimi di una funzione

Sapendo calcolare le derivate, possiamo sia trovare tutti i massimi e i minimi, relativi e assoluti, di una funzione variabile, sia stabilire in quali intervalli del dominio la funzione cresce o decresce.

Definizione (massimo assoluto di una funzione)

• Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f), diciamo che x è un punto di massimo assoluto, e che f(x) è il massimo assoluto della funzione, se per ogni x∈Dom(f), risulta che f(x) ≤ f(x).

Definizione (minimo assoluto di una funzione)

• Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f), diciamo che x è un punto di minimo assoluto, e che f(x) è il minimo assoluto della funzione, se per ogni x∈Dom(f), risulta che f(x) ≥ f(x).

Definizione (massimo relativo di una funzione)

• Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f), diciamo che x è un punto di massimo relativo se esiste almeno un intorno B(x, δ) ⊆ Dom(f) di raggio

δ e centro x tale che B(x ,δ) risulta che f(x) ≤∀x ∈0 0f(x ).0

Definizione (minimo relativo di una funzione)• Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f), diciamo che x è un0punto di minimo relativo se esiste almeno un intorno B(x ,δ) Dom(f)⊂0di raggio δ e centro x tale che B(x ,δ) risulta che f(x) ≥ f(x ).∀x ∈0 0 0

Relazione tra massimi e minimi relativi e assoluti- Un massimo assoluto di una funzione è anche un massimo relativo,ma un massimo relativo non è necessariamente un massimoassoluto.- Un minimo assoluto di una funzione è anche un minimo relativo, maun minimo relativo non è necessariamente un minimo assoluto.

Caratterizzare per massimi e minimi nel caso di funzionicontinueI punti di massimo e minimo vengono detti punti estremanti della funzione.Per caratterizzarli dal punto di vista pratico, consideriamo una funzionedefinita e continua in x e nell’intorno di x .0

Possiamo affermare che:

• affinché x sia un punto di massimo, è necessario che la funzione sia crescente a sinistra di x e decrescente a destra;
• affinché x sia un punto di minimo, è necessario che la funzione sia decrescente a sinistra di x e crescente a destra.

N.B.: questa caratterizzazione vale per le funzioni continue.

TEOREMA DI FERMAT

Il teorema di Fermat stabilisce che una funzione che ammette un massimo o un minimo relativo o assoluto in un punto, e che sia derivabile, ha necessariamente la derivata prima nulla nel punto.

Enunciato del teorema di Fermat:

Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f) ⊂ R. Se x ∈ Dom(f) è un punto estremante per f, e la funzione è derivabile in quel punto, allora si ha che f'(x) = 0.

TEOREMA DI ROLLE, TEOREMA DI CAUCHY, TEOREMA DI LAGRANGE, TEOREMI DI DE L'HOPITAL

Teorema di Weierstrass: Una funzione f : Dom(f) ⊂ R → R, definita e continua su un insieme chiuso e limitato,

ammette in esso un massimo e un minimo assoluti.

f(x) = M ≥ f(x) per ogni x Dom(f) ∈ [a, b]

f(x) = m ≤ f(x) per ogni x Dom(f) ∈ ]a, b[

Teorema di Rolle:

Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[.

Se la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, cioè f(a) = f(b),

allora esiste almeno un punto c ∈ ]a, b[ tale che f'(c) = 0.

Dimostrazione:

Dato che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass, sappiamo

che la funzione y = f(x) assume in [a, b] un massimo M ed un minimo assoluti. Ci sono così due possibilità.

- Se M = m, allora y = f(x) è costante; di conseguenza, f'(x) = 0 per ogni

punto di (a, b) e il teorema vale.

- Se m < M, dato che l'ipotesi ci dice che f(a) = f(b), almeno uno tra m ed M

è assunto dalla funzione in un punto c interno all'intervallo. Quindi, se ad esempio f(c) = M, c è un punto estremante e per il teorema di Fermat risulta