Riassunto esame di Matematica per l'azienda

Matrici, determinanti e sistemi lineari

Matrici

Definizione matrice: Si definisce matrice A di ordine (mxn) una tabella doppiamente ordinata di mxn numeri a_ij (i=1,2,...,m: j=1,2,...,n) detti elementi, e si scrive: a_ij è l’elemento in A in i-esima riga e j-esima colonna.

Altre forme per indicare A:

• A = [a_ij] (i=1,2,...,m: j=1,2,...,n)
• A (mxn)
• A m,n
• A M(mxn) ∈

Definizione matrice quadrata: Una matrice A(mxn) è detta quadrata quando il numero delle righe è uguale al numero di colonne; altrimenti è detta rettangolare.

Definizione vettore: Si definisce vettore v a n componenti una n-upla ordinata di numeri, e si scrive.

Trasposizione: Scambiare le righe con le colonne.

Matrici simili: Quando hanno lo stesso numero di righe e colonne.

Elementi coniugati: Due elementi che hanno gli stessi indici ma in ordine diverso. —> a₁₂, a₂₁

Caso particolare: Se gli elementi coniugati sono uguali, la matrice quadrata si dice simmetrica, e si ha A=A^t. Se gli elementi coniugati sono uguali l’uno all’opposto dell’altro, la matrice quadrata si dice emisimmetrica o antisimmetrica, e si ha A=-A^t.

Definizione sottomatrice: La sottomatrice di A è una matrice ottenuta eliminando alcune righe e colonne di A.

Definizione: Se in una matrice tutti gli elementi sono nulli tranne quelli della diagonale principale, essa viene detta matrice diagonale. Se questi elementi sono tutti uguali a 1, la matrice viene detta matrice identità o matrice unità.

Definizione: Una matrice è triangolare superiore (inferiore) se tutti gli elementi sotto (sopra) la diagonale principale sono nulli.

Algebra delle matrici

• La somma tra matrici può avvenire solo se le matrici sono simili. Definizione: Date A,B (mxn), la matrice C (mxn), tale che c_ij = a_ij + b_ij, è detta somma di A e B. L’elemento neutro della somma tra matrici è la matrice nulla (tutti gli elementi sono uguali a 0).
• La moltiplicazione tra matrici può avvenire in 4 modi diversi:
  • Moltiplicazione RIGAxCOLONNA;
  • Moltiplicazione RIGAxRIGA;
  • Moltiplicazione COLONNAxRIGA;
  • Moltiplicazione COLONNAxCOLONNA.

Moltiplicazione RIGAxCOLONNA

Questa operazione si può effettuare solo se il numero delle colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda; la matrice prodotto avrà numero di righe uguale al numero di righe della prima matrice e numero di colonne uguale al numero di colonne della seconda matrice.

Moltiplicazione RIGAxRIGA

Questa operazione si può effettuare solo se il numero delle colonne della prima matrice è uguale al numero delle colonne della seconda matrice; la matrice prodotto avrà numero di righe uguale al numero di righe della prima matrice e numero di colonne uguale al numero di righe della seconda matrice.

Moltiplicazione COLONNAxRIGA

Questa operazione si può effettuare solo se il numero delle righe della prima matrice è uguale al numero delle colonne della seconda matrice; la matrice prodotto avrà numero di righe uguale al numero di colonne della prima matrice e numero di colonne uguale al numero di righe della seconda matrice.

Moltiplicazione COLONNAxCOLONNA

Questa operazione si può effettuare solo se il numero di righe della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice; la matrice prodotto avrà numero di righe uguale al numero di colonne della prima matrice e numero di colonne uguale al numero di colonne della seconda matrice. L’elemento neutro della moltiplicazione tra matrici è la matrice identità o matrice unità.

Determinanti e loro proprietà

Il determinante è stato creato per risolvere i sistemi di equazioni lineari e per trovare l’inversa di una matrice quadrata.

• Ad ogni matrice quadrata A può essere associato un numero che viene chiamato il suo determinante e si indica con |A| = D. Si calcola dalla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali.

Determinante di una matrice quadrata

Regola di Sarrus

Applicabile solo a matrici di 3^o ordine. Si riportano le prime due colonne accanto all’ultima: considerando una generica matrice del terzo ordine A = [a_ij], il suo determinante è:

I prodotti a₁₁a₂₂a₃₃, a₁₂a₂₃a₃₁, a₁₃a₂₁a₃₂, a₁₂a₂₁a₃₃, a₁₁a₂₃a₃₂, a₁₃a₂₂a₃₁ prendono il nome di prodotti associati alla matrice A. Due prodotti associati si dicono distinti quando provengono da due gruppi di elementi che differiscono tra loro almeno per un elemento.

Sviluppo di un determinante secondo gli elementi di una riga o colonna

Riprendendo i 6 prodotti precedenti, e accoppiandoli opportunamente, otteniamo 6 diversi schemi:

• a) |A| = (a₁₁a₂₂a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂) - (a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₂a₂₃a₃₁) + (a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁)
• b) |A| =
• c) |A| =
• d) |A| =
• e) |A| =
• f) |A| =

In ognuno di questi 6 schemi si può notare che si tratta della somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per il determinante della matrice che si ottiene sopprimendo, nella matrice di partenza, la riga e la colonna che si incontrano nell’elemento considerato. Ognuno dei determinanti del 2^o ordine che compaiono nelle espressioni a), b), c), d), e), f), viene chiamato minore complementare dell’elemento per cui è moltiplicato, e si indica con M_ij.

A questo punto possiamo riscrivere le 6 espressioni nel seguente modo:

• a) a₁₁M₁₁ - a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ = a₁₁(+M₁₁) + a₁₂(-M₁₂) + a₁₃(+M₁₃)
• b) -a₂₁M₂₁ + a₂₂M₂₂ - a₂₃M₂₃ = a₂₁(-M₂₁) + a₂₂(+M₂₂) + a₂₃(-M₂₃)
• c) a₃₁M₃₁ - a₃₂M₃₂ + a₃₃M₃₃ = a₃₁(+M₃₁) + a₃₂(-M₃₂) + a₃₃(+M₃₃)
• d) a₁₁M₁₁ - a₂₁M₂₁ + a₃₁M₃₁ = a₁₁(+M₁₁) + a₂₁(-M₂₁) + a₃₁(+M₃₁)
• e) a₁₂M₁₂ - a₂₂M₂₂ + a₃₂M₃₂ = a₁₂(+M₁₂) + a₂₂(-M₂₂) + a₃₂(+M₃₂)
• f) a₁₃M₁₃ - a₂₃M₂₃ + a₃₃M₃₃ = a₁₃(+M₁₃) + a₂₃(-M₂₃) + a₃₃(+M₃₃)

Ciascuna espressione tra parentesi prende il nome di complemento algebrico dell’elemento per cui è moltiplicato. La regola di Sarrus permette di calcolare il determinante solo di matrici del 3^o ordine. Lo sviluppo di un determinante secondo una riga o una colonna, invece, si può applicare a matrici quadrate di qualsiasi ordine.

Definizione di minore complementare: Il minore complementare di un elemento a_ij di una matrice quadrata A di ordine n, è il determinante della matrice di ordine n-1 che si ottiene da A sopprimendo la riga i e la colonna j (ovvero la riga e la colonna che si incontrano nell’elemento considerato).

Definizione di complemento algebrico: Il complemento algebrico (o cofattore o aggiunto) di un elemento a_ij è il minore complementare M_ij preso con il suo segno se i+j è pari, con segno opposto se i+j è dispari.

In generale abbiamo il 1^o teorema di Laplace: Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici.

Proprietà dei determinanti

• 2^o teorema di Laplace: La somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di una riga o colonna parallela, è uguale a 0.
• Una matrice quadrata A e la sua trasposta A^t hanno uguale determinante, cioè |A| = |A^t|.
• Se in una matrice quadrata gli elementi di una riga o una colonna sono tutti nulli, il determinante della matrice è nullo.
• Se in una matrice quadrata A si scambiano tra loro le righe (o le colonne) si ottiene una matrice B il cui determinante è |B| = |A| con:
  • ±|B| = |A| se si può ottenere B da A con un numero pari di scambi;
  • |B| = -|A| se si può ottenere B da A con un numero dispari di scambi.
• Se in una matrice quadrata due righe o due colonne sono uguali, il determinante risulta nullo.
• Se si moltiplicano per k gli elementi di una riga o colonna di una matrice quadrata, il suo determinante risulta moltiplicato per k.
• Se in una matrice quadrata due linee parallele sono proporzionali, il suo determinante risulta nullo.
• Il determinante di una matrice non cambia se agli elementi di una linea si aggiungono quelli di una linea parallela moltiplicati ciascuno per uno scalare k.

La caratteristica di una matrice

Matrici singolari e non singolari

Matrice singolare: Una matrice con determinante uguale a zero. |A| = 0.

Matrice non singolare: Una matrice con determinante diverso da zero. |A| ≠ 0.

Da una matrice qualunque possono essere estratte delle sottomatrici, il cui determinante sarà minore del determinante della matrice di partenza.

Definizione: Si definiscono minori di una matrice A(mxn) i determinanti delle sottomatrici quadrate d’ordine r (r≤m se mn) estraibili dalla matrice A.

Ricerca della caratteristica di una matrice

Per ricercare la caratteristica di una matrice evitando di calcolare tutti i minori da essa estraibili, si utilizza la Regola di Kronecker.

• Si sceglie un minore del 2^o ordine diverso da zero.
• Si orla questo in tutti i modi possibili con le righe e le colonne rimanenti.
• Se tutti i minori di ordine 3 sono nulli, si conclude che è r=2.
• Se, invece, si riscontra che un minore del 3^o ordine è diverso da zero, allora si ripete l’operazione 2.
• Se tutti i minori di ordine 4 sono nulli, si conclude che è r=3.
• Se, invece, si riscontra che un minore del 4^o ordine è diverso da zero, allora si ripete l’operazione 2.
• E così via.

Matrice inversa

Definizione: Data una matrice quadrata A, chiamiamo inversa di A, se esiste, la matrice quadrata A^-1 tale che:

A x A^-1 = A^-1 x A = I

Definizione: Sia A ∈ M(nxn): affinché esista A^-1, A deve essere non singolare, cioè il suo determinante deve essere diverso da 0.

Definizione: Dicesi matrice aggiunta di una matrice A (o matrice dei cofattori), la matrice ottenuta sostituendo agli elementi di A i corrispondenti complementi algebrici, e si indica con A^*.

Per trovare l'inversa di una matrice quadrata A bisogna seguire questi passi:

1. Trovare il determinante della matrice e verificare che sia diverso da zero; in caso contrario la matrice è singolare e quindi non ammette inversa.
2. Trovare la matrice aggiunta della matrice A.
3. Trovare la trasposta della matrice aggiunta.
4. Costruire l’inversa dividendo ogni elemento della matrice del punto 3 per il determinante trovato al punto 1.

Il teorema di Binet

Il teorema di Binet riguarda il prodotto RIGAxRIGA tra matrici rettangolari simili.

Siano A e B le matrici da moltiplicare, la matrice prodotto sarà C_m,m.

Teorema di Binet:

• Se il numero di righe è maggiore del numero di colonne, m>n, il determinante sarà uguale a zero: |C| = 0.
• Se il numero di righe è uguale al numero di colonne (matrici quadrate), m=n, il determinante sarà uguale al prodotto dei determinanti delle due matrici: |C| = |A| x |B|.
• Se il numero di righe è minore del numero di colonne, m

Sistemi di equazioni lineari

Definizione: Un’equazione lineare è un’equazione di 1^o grado nella forma: a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = h

• Se h=0, l’equazione è omogenea;
• Se h≠0, l’equazione è non omogenea.

Un sistema di equazioni lineari (o sistema lineare) si presenta in questa forma: è un sistema di m equazioni a n incognite; i numeri reali a_ij e h_i prendono il nome, rispettivamente, di coefficienti e termini costanti o termini noti del sistema. Nella forma matriciale, il sistema assume la forma di Ax = h dove A(m,n), x(n,1) e h(m,1) sono rispettivamente le matrici dei coefficienti, delle incognite e dei termini costanti.

• Se h=0, il sistema è omogeneo;
• Se h≠0, il sistema è non omogeneo.

Ogni x soddisfacente il sistema, viene detta soluzione del sistema.

I sistemi di Cramer

Il metodo di Cramer si può applicare nel caso in cui si parla di un sistema di n equazioni in n incognite, e il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero. Se il sistema ammette queste ipotesi, avrà una ed una sola soluzione.

Ad esempio, consideriamo il sistema di 2 equazioni in 2 incognite (n=2):

Avremo che |A| sarà il determinante della matrice dei coefficienti; |A₁|, il determinante della matrice ottenuta sostituendo alla prima colonna di A i termini noti b₁ e b₂; |A₂|, il determinante della matrice ottenuta sostituendo alla seconda colonna di A i termini noti b₁ e b₂. La soluzione sarà data dal rapporto:

x₁ = |A₁| / |A| e x₂ = |A₂| / |A|

perché:

1. indicando con A₁₁, A₂₁, i complementi algebrici di a₁₁, a₂₁;
2. moltiplicando entrambi i membri della prima equazione per A₁₁ e quelli della seconda per A₂₁;
3. sommando membro a membro;
4. mettendo in evidenza le incognite;

otterremo:

dove:

• a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁, per il 1^o teorema di Laplace, è uguale a |A|;
• b₁A₁₁ + b₂A₂₁, per il 1^o teorema di Laplace, è uguale a |A₁|;
• a₁₂A₁₁ + a₂₂A₂₁, per il 2^o teorema di Laplace, è uguale a 0.

Allora l’espressione si riduce a: |A|x₁ = |A₁|

da cui:

x₁ = |A₁| / |A|

Ragionamento analogo per x₂.

Teorema di Rouche'-Capelli

Questo teorema si può applicare in un sistema ad m equazioni in n incognite; il sistema ammette soluzioni solo se la caratteristica della matrice completa è uguale alla caratteristica della matrice incompleta, dove quest’ultima equivale alla matrice dei coefficienti, mentre la prima è la matrice incompleta + i termini noti.

• Se r_A < r_Ah, il sistema è impossibile e non ammette soluzioni;
• Se r_A = r_Ah, il sistema ammette una o infinite soluzioni.

Il metodo di Gauss

Il metodo di Gauss rappresenta un metodo alternativo a quello di Cramer, utilizzato per un sistema di n equazioni in n incognite e si basa sull’osservazione che, in un sistema la cui matrice dei coefficienti è triangolare inferiore, è possibile ricavare il valore delle incognite a partire dall’ultima equazione e quindi, con sostituzioni successive, ricavare le altre soluzioni del sistema.

Il metodo di Jordan-Gauss

Il metodo di Jordan-Gauss, o metodo del pivot, è un perfezionamento del metodo di Gauss, ovvero si tratta della sua applicazione in forma matriciale.

I sistemi lineari omogenei

Definizione: Un sistema lineare si dice omogeneo quando tutte le equazioni che lo costituiscono sono omogenee. Un sistema omogeneo ammette sempre almeno lo 0 come soluzione, detta soluzione nulla o impropria, perché la condizione che la caratteristica della matrice completa sia uguale alla caratteristica della matrice incompleta è sempre verificata.

Quindi, affinché un sistema lineare omogeneo ammetta soluzione diversa da quella nulla, la caratteristica della matrice del sistema deve essere minore del numero delle incognite. Nel caso particolare in cui il sistema abbia numero di equazioni uguale al numero delle incognite, si possono presentare due casi:

• Il determinante del sistema è diverso da zero;
• Il determinante del sistema è uguale a zero.

Nel primo caso il sistema, essendo omogeneo, ammette sicuramente la soluzione nulla, ed essendo il determinante diverso da zero, per Cramer ammette un’unica soluzione. Quindi, in questo caso, la soluzione nulla è l’unica soluzione del sistema. Nel secondo caso, essendo il determinante uguale a zero, la caratteristica della matrice dei coefficienti sarà inferiore al numero delle incognite, quindi il sistema ammette infinite soluzioni.

Geometria analitica nel piano

Il piano cartesiano

Un piano cartesiano è formato da due assi che hanno la stessa origine O_x e O_y, chiamati assi coordinati. Ad un generico punto P del piano, resta associata la coppia (x,y) ∈ Γ. Γ è un piano cartesiano se è stata istituita una corrispondenza biunivoca tra il punto P ∈ Γ e la coppia di numeri (x,y) ∈ Γ. Le coordinate x e y vengono chiamate ascissa e ordinata di P, e si scrive P(x,y).

Il piano è diviso in 4 parti, chiamati quadranti:

• Iº quadrante: x e y positive;
• IIº quadrante: x negativa e y positiva;
• IIIº quadrante: x e y negative;
• IVº quadrante: x positiva e y negativa.

Definizione. Siano P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂) due punti nel piano, la distanza tra essi viene calcolata come: d(P₁,P₂) = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).

Definizione. Siano P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂) i punti estremi di un segmento, l’ascissa e l’ordinata del punto medio M del segmento sono: