Riassunto completo Matematica per l'azienda

Proprietà delle funzioni continue:

- Teorema di Weierstrass: se una funzione continua è definita su un sottoinsieme A dei numeri reali, allora in esso assumerà il massimo e il minimo assoluti.

- Teorema dei valori intermedi: se una funzione continua è definita su un sottoinsieme A dei numeri reali e assume valori opposti agli estremi, allora esisterà almeno un punto x tale che f(x) = 0.

- Teorema dell'esistenza degli zeri: se una funzione continua è definita su un sottoinsieme A dei numeri reali e assume valori opposti agli estremi, allora esisterà almeno un punto x tale che f(x) = 0.

Limiti:

Siano dati una funzione f: A → R (definita su un sottoinsieme A dei numeri reali) e un punto di accumulazione x. Un numero reale L è il limite di f(x) per x tendente a x0 se, per ogni valore della distanza tra x e x0, si riesce a trovare un valore della distanza tra f(x) e L, per il quale tutte le x, escluso il punto di accumulazione x0, sono comprese tra x e x0.

1. Per l'accumulazione x, che distano da meno di δ, si ha che f(x) dista da meno di ε.
2. Formalmente, il limite di f(x) per x tendente a x0 è l se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se x è diverso da x0 e compreso tra x0 - δ e x0 + δ, allora f(x) è compreso tra l - ε e l + ε.
3. Per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se |x - x0| < δ, allora |f(x) - l| < ε.
4. Per ogni accumulazione x0 esiste un limite l tale che se x tende a x0, allora f(x) tende a l.
5. Se f(x) tende a +∞ o -∞ per x che tende a x0, allora il limite di f(x) per x che tende a x0 è +∞ o -∞ rispettivamente.
6. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è l, allora il limite di f(x) per x che tende a +∞ è l.
7. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ o -∞, allora il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ o -∞ rispettivamente.
8. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è +∞, allora il limite di f(x) + g(x) per x che tende a +∞ è +∞.
9. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è -∞, allora il limite di f(x) + g(x) per x che tende a +∞ è indefinito.
10. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è l, con l diverso da 0, allora il limite di f(x) * g(x) per x che tende a +∞ è +∞.
11. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è l, con l diverso da 0, allora il limite di f(x) / g(x) per x che tende a +∞ è +∞.
12. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è +∞, allora il limite di f(x) / g(x) per x che tende a +∞ è indefinito.
13. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è -∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è +∞, allora il limite di f(x) / g(x) per x che tende a +∞ è -∞.
14. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è -∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è -∞, allora il limite di f(x) / g(x) per x che tende a +∞ è indefinito.
15. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è 0, allora il limite di f(x) * g(x) per x che tende a +∞ è indefinito.
16. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è -∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è 0, allora il limite di f(x) * g(x) per x che tende a +∞ è indefinito.
17. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è +∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è 0, allora il limite di f(x) / g(x) per x che tende a +∞ è indefinito.
18. Se il limite di f(x) per x che tende a +∞ è -∞ e il limite di g(x) per x che tende a +∞ è 0, allora il limite di f(x) / g(x) per x che tende a +∞ è indefinito.

punto di accumulazione x del dominio. Se il limite per x che tende a x esiste allora è unico

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO:

HIPOTESI: Esiste un limite per x tendente a x di f(x) ed è lim f(x) = l

TESI: Esiste un intorno di x tale che per ogni x appartenente all'intorno di x asterisco, intersecato il dominio X, accade che f(x) ha lo stesso segno di l

TEOREMA DEL CONFRONTO (O DEI CARABINIERI):

Se il limite per x che tende a x di f(x) è uguale al limite per x che tende a x di h(x), allora essi saranno uguali al limite per x che tende a x di g(x)

DERIVATA:

Data una funzione f: A → R, considerando un valore x

appartenente al dominio A, l'equazione della retta tangente alla curva nel punto x è:
y - f(x) = m(x - x₀)

Per conoscere l'equazione della tangente è necessario calcolare il suo coefficiente angolare, e per farlo basta calcolare la derivata f'(x) della funzione f(x) nel punto x.

La derivata è uguale al limite per h tendente a 0 del rapporto incrementale, ovvero il rapporto tra l'incremento di y e l'incremento x, indicato con h. Il rapporto incrementale non è altro che la formula per trovare il coefficiente angolare, di una retta, dati due punti, la cui distanza tende ad annullarsi.

Il differenziale della funzione nel punto x è il prodotto tra la derivata prima della funzione in quel punto e l'incremento della variabile indipendente. Esso rappresenta graficamente l'incremento della tangente al grafico nel punto x₀.

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ

È una

La funzione è continua se: f(x) → f(x₀) quando x → x₀.

La continuità in un punto è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché una funzione sia anche derivabile in esso.

Se f(x) è continua in un intervallo x, per capire se è anche derivabile in quel punto bisogna calcolare il limite sinistro e il limite destro per x che tende a x₀ della derivata prima di f(x).

Ci sono 4 CASI possibili:

1. Se i limiti esistono e sono uguali, f'(x) → f'(x₀), allora f(x) è derivabile in x₀.
2. Se i limiti esistono e sono diversi, f'(x) ≠ lim f(x), allora f(x) non è derivabile in x, dove è presente un punto angoloso.
3. Se entrambi i limiti sono uguali a ± ∞, allora f'(x) = ± ∞.

f(x) non è derivabile in x, dove è presente un flesso a tangente verticale.

Se x → ±∞, allora f(x) → ±∞.

Se un limite è uguale a e l'altro è uguale a +∞, allora lim f(x) non è derivabile in x, dove è presente una cuspide.

DERIVATE FONDAMENTALI:

f'(x) = n

f'(x) = ln(x)

f'(x) = cos(x)

f'(x) = 0

f'(x) = a

f'(x) = a^x

f'(x) = -sin(x)

f'(x) = ln(a)

f'(x) = 1/x

f'(x) = x^n

f'(x) = cos(x)

f'(x) = e^x

f'(x) = e^f(x)

f'(x) = f(x) * f'(x)

f'(x) = 1

f'(x) = e

f'(x) = e^f(x)

f'(x) = f(x) * f'(x)

f''(x) = 2cos(x)

f''(x) = -1/x^2

f''(x) = log(x)

f''(x) = sin(x)

f''(x) = cot(x)

f''(x) = n * (n-1) * x^(n-2)

f''(x) = x

f''(x) = n

f''(x) = cos(x)

f''(x) = x^2

TEOREMA DI ROLLE: se esiste almeno un punto appartenente all'intervallo [a, b] in cui f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c appartenente all'intervallo (a, b) in cui f'(c) = 0.

continua in un intervallo chiuso [a, b] all'intervallo, tale che la derivata della funzione in quel punto si annulla: f(x) è derivabile nell'intervallo aperto (a, b) punto si annulla:- assume valori uguali agli estremi dell'intervallo f(a) = f(b) ∃ ∈ [a ]/f (x )=0x I ,b '0 0

TEOREMA DI LAGRANGE xse: esiste almeno un punto appartenente all'intervallo, tale che il0- f(x) è continua in un intervallo chiuso [a, b] coefficiente della tangente in quel punto sia uguale al coefficiente della- f(x) è derivabile nell'intervallo aperto (a, b) ( ) ( )f a f b :retta secante passante per e[ ]( )-f ( )f b a( )∃! ∈ [a ]/f =x I ,b ' x0 0 b-a

TEOREMA DI DE L'HOPITAL (f x) g(x)Supponiamo di dover calcolare il limite del quoziente di due funzioni e con[ ]f , g : a , b → R (f e g, due funzioni reali appartenenti ad un intorno a, b a valori nei numeri reali)(f x) ≈ 0 ∞(g x) e che questo dia una forma

indeterminata di tipo o0 ∞¿limx→ x0

Se vale che(f x) g(x)- e sono continue nell’intervallo chiuso [a, b](x)f g( x)- e sono derivabili nell’intervallo aperto (a, b), eccetto al (x) )f f '( x=¿ limmassimo in x ( (x)g x) g '0 x → x 0x ≠ xg '(x)≠ 0- per ¿lim0 (x)f ' x→ x=¿ 0(g ' x)- Il limite del quoziente tra derivate esiste¿limx→ x0

TEOREMA DI CAUCHY[ ] xf , g : a , b → R

Siano due funzioni: Esiste almeno un punto appartenente all’intervallo, tale che il rapporto0continue tra le derivate delle due funzioni è uguale al rapporto tra le differenze dei- nell’intervallo chiuso [a, b] rispettivi valori che esse assumono agli estremi dell’intervallo:- derivabili nell’intervallo aperto (a, b) [ ]( )f ' x ( )−g ( )g b a0∃! ∈ [a ]∨x I ,b ’=0 ( ) ( )−f ( )[ ]g' x f b a0

STUDIO DI FUNZIONE

1.DOMINIO

Cercare il dominio

Significa trovare il più grande sottoinsieme di numeri reali entro il quale la funzione non perde significato. Per trovare il dominio di una funzione bisogna stare attenti a 4 cose:

1. DENOMINATORI: se ci sono, vanno posti ≠ 0, poiché le espressioni che contengono denominatori non sono definite nei punti dove essi si annullano.
2. √LE RADICI DI INDICE PARI: quando il loro argomento è maggiore o uguale a zero, l'argomento della radice deve essere posto ≥ 0, poiché le radici sono definite solo quando il loro argomento è positivo.
3. LOGARITMI: l'argomento del logaritmo deve essere posto > 0, perché il logaritmo è definito solo quando il suo argomento è positivo.
4. (x)g[ ] (x)fla funzione esterna va imposta > 0.

SIMMETRIE E PERIODICITÀ

Una funzione si dice:

• (-x )=f (PARI f x) se, per ogni x appartenente al dominio, . Il grafico è simmetrico all'asse y.
• (-x )=-f (DISPARI f x) se, per ogni x appartenente al dominio, . Il grafico è simmetrico rispetto all'origine.

appartenente al dominio, . Il grafico è simmetrico all'origine.( )=f (PERIODIC f x+T x),di periodo T (reale e positivo) se cioè dopo ogni periodo il grafico si ripete. Ad es.y=sinx y=coxA ,NB: Una funzione potrebbe essere né pari né dispari, oppure avere altre simmetrie.

3.SEGNO DELLA FUNZIONE

Si tratta di porre l'equazione maggiore o uguale a 0 per vedere in quali parti del piano si sviluppa la funzione:(f x)≥0

4.ASINTOTI

ASINTOTI VERTICALI

Gli asintoti verticali sono dei luoghi del piano in cui la funzione non è definita. Per trovarli basta cercare gli eventuali estremi del dominio e i punti che non ne fanno parte, e poi vedere se per tali punti+∞ -∞ uno dei limiti destro