Riassunto completo Matematica per l'azienda

ALGEBRA LINEARE

è una tabella in cui sono riportati in modo ordinato gli elementi di un dato insieme,

MATRICE:

generalmente sono numeri. è la matrice è la matrice

MATRICE DIAGONALE SUPERIORE: MATRICE DIAGONALE INFERIORE:

in cui gli elementi al di sotto della diagonale in cui gli elementi al di sopra della diagonale

principale sono nulli. principale sono nulli.

: una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, se esiste un'altra matrice

MATRICE INVERTIBILE

tale che il prodotto tra le due restituisce la matrice identica.

DETERMINANTE DI UNA MATRICE

È un numero associato a ciascuna matrice quadrata che ne esprime alcune proprietà algebriche e geometriche.

Il d. di una matrice di 2° ordine è dato dalla differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale

e quello degli elementi della secondaria. Il d. di una matrice in cui gli elementi di 1 riga/colonna sono nulli, è =

0 serve a calcolare serve a calcolare il determinante di

REGOLA DI SARRUS: TEOREMA DI LAPLACE:

il determinante di una matrice di 3° matrici di ordine ≥3

ordine; consiste nel trascrivere alla 1.Il determinante di una matrice quadrata di ordine 3 è

≥

destra della matrice le prime due uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una

colonne: il determinante sarà dato dalla riga/colonna per i corrispondenti complementi algebrici.

differenza tra la somma dei prodotti 2.La somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna)

delle diagonali principali e la somma per i complementi algebrici di un’altra riga o colonna è uguale a

dei prodotti delle diagonali secondarie. 0.

dell’elemento a è il determinante della matrice che si ottiene sopprimendo

MINORE COMPLEMENTARE: ij

esima esima

i riga e la j colonna della matrice.

è il minore complementare dell’elemento a preso con il segno più se la

COMPLEMENTO ALGEBRICO: ij

somma degli indici ij è pari e con il segno meno se la somma degli indici è dispari.

: di una matrice A è il massimo numero di righe (o colonne) linearmente

RANGO o CARATTERISTICA

indipendenti in A. Il rango di una matrice dipende dal suo determinante.

Se il determinante 0, Se il determinante = 0, il rango è uguale all’ordine della matrice che

≠

il rango = l’ordine della matrice si trova calcolando il minore complementare.

SISTEMI LINEARI

Da un sistema lineare si possono trarre due matrici: quella dei coefficienti delle incognite e quella

completa, inclusiva dei termini noti. Per risolvere un sistema lineare grazie alle proprietà delle matrici,

bisogna prime guardare al teorema di Rouchè-Capelli e poi eventualmente applicare la regola di Cramer.

Un sistema Se il determinante della

TEOREMA DI ROUCHÈ CAPELLI: REGOLA DI CRAMER:

lineare di m equazioni in n incognite, ammette matrice dei coefficienti è diverso da 0 si può

soluzioni se e solo se il rango (P) della matrice dei procedere alla risoluzione del sistema lineare

coefficienti è uguale al rango della matrice applicando la regola di Cramer, che ci dice che: il

completa. risultato di ogni incognita sarà uguale al rapporto tra

-Se il rango è uguale al numero delle incognite (n): il determinante di una matrice composta dai termini

il sistema ammette 1 soluzione noti e dai coefficienti dell’incognita che non si

-Se il rango è minore del numero delle incognite: il intente risolvere e il determinante della matrice dei

sistema ammette infinite soluzioni elevate a (m – P) coefficienti.

è un sistema lineare di m equazioni in n incognite i cui termini noti

SISTEMA LINEARE OMOGENEO:

sono tutti = 0. Questo tipo di sistema ammette sempre la soluzione nulla. Un sistema lineare omogeneo di

m equazioni in n incognite ammette un risultato diverso da 0 se e solo se il rango della matrice dei

coefficienti è < del numero delle incognite.

GEOMETRIA ANALITICA

: Insieme infinito di punti

RETTA

EQUAZIONE: PARELLELE: Due rette

RETTE

- Forma esplicita: y = mx + q - Coefficiente angolare = m che hanno lo stesso coefficiente

−a angolare.

- Forma implicita: ax + by + c = 0 - Coefficiente angolare = b

EQUAZIONE DELLA RETTA DATI EQUAZIONE DELLA RETTA DATI PERPENDICOLARI: Due

RETTE

DUE PUNTI: 1 PUNTO E IL COEFF ANCOLARE: rette i cui coefficienti angolari

sono l’uno il reciproco cambiato

di segno dell’altro.

FORMULA DISTANZA TRA 2 PUNTI: FORMULA COEFF. ANGOLARE DATI

DUE PUNTI:

CIRCONFERENZA: è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.

=−a/2

a=−2 x x

EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA 

c c

RAGGIO:

DATI CENTRO E =−b/2

b=−2 y y



c c

:

EQUAZIONE IN FORMA CANONICA 2 2

x y 

2

c = + – r

2 2

+ + +

x y ax+by c=0 c c

: è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta

PARABOLA

direttrice; in termini più generali una parabola è una conica non degenere.

SIMMETRIA: retta

ASSE DI CON L’ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO A Y:

che divide la parabola in due 2 +bx +c

y=a x

parti uguali 

a > 0 rivolta

verso l’alto

FUOCO: punto che realizza la 

a < 0 rivolta

medesima distanza rispetto verso il basso

alla direttrice per ciascun

punto della parabola. 2

VERTICE: punto di +by +c

CON L’ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO A X: x=a y

intersezione tra la parabola e 

a > 0 rivolta verso destra

l’asse di simmetria. 

a < 0 rivolta verso sinistra

DIRETTRICE: punto che 2

realizza la medesima distanza −4

Δ=b ac

rispetto al fuoco per ciascun

punto della parabola.

è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti

ELLISSE:

fuochi. 2 2 ASSI: i segmenti che dividono l’ellisse in parti

x y

+ =1

:

EQUAZIONE uguali: 2a e 2b

2 2

a b

SE a > b: SE a < b:

- a = semiasse maggiore - a = semiasse minore

- b = semiasse minore - b = semiasse maggiore

- I fuochi (F e F ) si trovano sull’asse x alle - I fuochi (F e F ) si trovano sull’asse y alle

1 2 1 2

coordinate (c , 0) , (- c ; 0). coordinate (0 , c) , (0 ; -c).

-

- - Distanza focale: 2c

- Distanza focale: 2c 

- e = c/b L’eccentricità è il rapporto tra la



- e = c/a L’eccentricità è il rapporto tra la semi-distanza focale (c) e l’asse maggiore

semi-distanza focale (c) e l’asse maggiore dell’ellisse (a). dell’ellisse (b).

: è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la EQUAZIONE:

IPERBOLE 2 2

differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. L’iperbole non è una x y

− =1

curva chiusa ed è costituita da due rami distinti. 2 2

a b

ASSI: sono le rette rispetto alle quali TRASVERSO: l’asse (dei ASINTOTI: sono le rette cui tendono i

ASSE

l’iperbole viene suddivisa in due parti due) che unisce i due vertici rami dell’iperbole all’infinito e che

uguali. dell’iperbole. passano per il suo centro.

TRASVERSO: distanza dal CENTRO: è il centro di simmetria VERTICI: sono i punti di intersezione

SEMIASSE

centro (0;0) a ciascun vertice (V e V ). dell’iperbole (0;0) con uno dei due assi.

1 2

SE a > b: SE a < b:

a = semiasse trasverso (orizzontale); a = semiasse non trasverso (orizzontale);

b = semiasse non trasverso (verticale) b = semiasse trasverso (verticale)

2a = asse trasverso (orizzontale); 2a = asse non trasverso (orizzontale);

2b = asse non trasverso (verticale) 2b = asse trasverso (verticale)

(−a ) ( ) ( ) ( )

+

V ;0 V a; 0 V 0 ;−b V 0 ;+b

, ,

1 2 1 2

(−c ) ( ) ( ) ( )

+c

F ; 0 F ; 0 F 0 ;−c F 0 ;+c

, ,

1 2 1 2

Semi-distanza focale: Semi-distanza focale:

√ √

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

c = -- c = --

=a + =a +

+b +b

c b c b

a a

b b

y=± x y=± x

Asintoti dell’iperbole: Asintoti dell’iperbole: