Riassunto esame Demografia - prof. Manfredi

Equazione alle differenze

= ∙ = 0,1,2, …

:

+1 +1 0

dove

sono i numeri di casi infettivi,

sono le generazioni di infezione

Quindi prendendo il numero di infettivi iniziali della generazione zero () troviamo che:

= = 0,1,2, …

+1 0

{ =

0

troviamo così: = =

1 0 0 0

02

= =

2 0 1

…

( )

= ∙

0

Quindi:

( )

= 0

0

Crescita per generazioni e in tempo reale

( + ) Ipotizzando che la distanza tra due generazioni successive di casi nella fase epidemica è fissa

,

e pari a e che la crescita in tempo reale del numero di casi ad ogni periodo è

() = ∙ , > 0),

esponenziale a tempo continuo (cioè allora, durante un qualunque

intervallo tra due generazioni epidemiche, abbiamo che:

(+)

( + ) = ∙ = ∙ ∙

( + ) = () ∙

(+)

=

Dato che , si ha:

0 ()

=

0

dove

→ rappresenta la velocità relativa di crescita della curva esponenziale nel tempo reale

(quello per, intendersi, degli orologi…): più grande è più rapida è la crescita.

Tasso di variazione (o crescita) relativa

ℎ,

Il tasso di variazione relativa su un intervallo di tempo di ampiezza arbitraria è la quantità:

(,+ℎ) ( + ℎ) − ()

(, + ℎ) = , = 1,2, … , unità temporali

ℎ ∙ ()

dove

()

sono i casi infetti cumulativi al tempo ℎ → 0,

Prendendo intervalli di ampiezza piccolissimi, cioè è come avere un tasso di variazione

in tempo continuo: ̇()

( + ℎ) − () 1 ( + ℎ) − ()

lim (, + ℎ) = lim = ∙ lim =

ℎ ∙ () () ℎ ()

ℎ→ 0 ℎ→ 0 ℎ→ 0

Ovvero, in tempo continuo il tasso di variazione relativa si esprime mediante il rapporto tra la

()

derivata prima del processo e il processo stesso. Indicando con il tasso di crescita

:

dell’istante ̇() ̇()

() = → = ∙ ()

()

Tasso di variazione esponenziale

() Se riprendiamo la formula del tasso di variazione in tempo continuo e la poniamo come equazione

()

rispetto a troviamo: ̇() = () , > 0

{

(0) =

0

La soluzione è:

() = ∙

0

( = 0) ( = )

Se sono noti il tempo iniziale e quello finale e risolvendola rispetto ad troviamo:

1 ()

= log

(0) ̇()

= 1 = ()

Oss: nel caso in cui l’equazione differenziale prende la forma: , e dato che

() = ∙ , si ha: ̇()

= ∙

= 1 () = ∙

In sintesi se allora ci sarà crescita (o decrescita) esponenziale del tipo

Modello SIR epidemico

Serve per descrivere il corso di un’epidemia nella sua globalità.

Ipotesi:

() =

numero di soggetti suscettibili al tempo

() =

numero di soggetti infettivi al tempo

() =

numero di soggetti rimossi al tempo = + +

La popolazione è fissa (cioè non ci sono ingressi o uscite di soggetti) e uguale a

=

Numero di nuovi casi di infezione p.u.t

dove

= probabilità di trasmissione per contatto

= numero di contatti p.u.t.

= tasso di rimozione dell’infezione

1

= = durata media della fase infettiva

Quindi:

̇ = −

̇ = −

{ ̇ =

Risultati notevoli: →

• Principio di soglia lo scoppio epidemico si verifica se e solo se la frazione suscettibile eccede una

precisa soglia critica: 1

> = , = =

0

0 →

• Crescita esponenziale in tempo reale nella fase iniziale dopo vari passaggi algebrici si trova

l’equazione differenziale: ̇ = ( − 1)

0

Che ha soluzione:

() = , = ( − 1)

0 0

→ > 1),

• Principio del contagio incompleto Anche se lo scoppio epidemico si verifica ( l’epidemia si

0

esaurisce senza che tutta la popolazione sia stata contagiata. In particolare, la prevalenza epidemica

(∞)

finale (o tasso di attacco finale) è una funzione crescente di che soddisfa l’equazione:

0

−

= 1 − 0 ∞

∞

Tirando le fila:

• Con i numeri di riproduzione ( , ) rispondiamo alle domande notevoli:

0

- Avremo un’epidemia?

- Se l’epidemia scoppia a che velocità cresce?

- E “quanto sarà pesante”? (0)

• La risposta alla prima è: dipende, avremo un’epidemia se il Numero effettivo al tempo

«dell’arrivo» dell’agente infettivo è sopra l’unità.

• Dunque, se la popolazione iniziale è tutta suscettibile ((0) circa 1) è sufficiente che sia (anche di

0

poco) superiore all’unità.

• Invece, se la popolazione iniziale è in parte immune, allora dovrà largamente superare 1 (per

0

(0) = 40%, > 1/0.4 = 2.5).

esempio se allora 0

• Una volta che l’epidemia è scoppiata i numeri di riproduzione spiegano la crescita e la velocità di

evoluzione dell’epidemia: l’epidemia cresce esponenzialmente nella fase iniziale, rallenta

> 1, = 1, < 1)

ma continua a progredire finché raggiunge il suo picco per dopo il quale ( si

ritira fino a sparire.

• Attraverso il modello matematico «SIR epidemico» descriviamo in più tutto il profilo temporale

dell’epidemia. Modello SIR endemico

Le infezioni endemiche sono infezioni che persistono nella popolazione nel lungo periodo.

Persistenza endemica dell’infezione:

Situazione “teorica” in cui l’infezione persiste mantenendo inalterata nel tempo la composizione della

popolazione tra soggetti suscettibili, infetti, ed immuni, senza forze che “spingano” verso cambiamenti

(“equilibrio”).

Nel regime di equilibrio endemico:

() () =

– (fraz suscettibile) è costante al passare del tempo:

= 1 ⇒

– ogni soggetto infetto causa esattamente una nuova infezione (infatti, se fosse per

> 1

esempio allora la frazione infetta tenderebbe a crescere, riducendo - a parità di

popolazione - la frazione suscettibile, in contraddizione con l’ipotesi di stato endemico).

1

= = 1 ⇒ =

0 0

Effetti di politica di vaccinazione “routinaria”

%

Ipotizziamo che ogni anno vengano vaccinate persone nuove (ossia dei nuovi nati), quindi la frazione

1 − %:

suscettibile risulterà, al passare del tempo, inferiore o al più uguale a

(1 () (1

0 < () < 1 − → () ≤ − ) → ≤ − )

0 0 0

Quindi per far sì che non ci sia più l’equilibrio endemico, bisognerebbe far sì che

1

() (1

< 1 → − ) < 1 → >1−

0

0

1

=1−

è la percentuale critica (o di eliminazione), e cresce al crescere di (anche se non arriva

0

0

mai al 100%, cioè l’eliminazione dell’infezione non richiede, almeno teoricamente, di vaccinare l’intera

popolazione). Tasso generico di incremento della popolazione

È il rapporto tra la variazione dello stock di popolazione e la popolazione media dell’anno:

(,+1) ( + 1) − ()

=

(,+1) ̅

,+1

Bilancio demografico a tempo continuo e tasso istantaneo di variazione relativa

L’equazione contabile del bilancio demografico può essere scritta a «tempo continuo». Riprendiamo

ℎ:

l’equazione (contabile) di movimento su un intervallo di ampiezza

( + ℎ) = () + (, + ℎ) − (, + ℎ) + (, + ℎ) − (, + ℎ)

In particolare in una popolazione chiusa (no immigrazioni ed emigrazioni):

( + ℎ) = () + (, + ℎ) − (, + ℎ)

ℎ

Dividendo per e passando al limite si ottiene la versione “a tempo continuo” dell’equazione di

movimento: (, + ℎ) (, + ℎ)

̇() = lim − lim

ℎ ℎ

ℎ→ 0 ℎ→ 0

Indichiamo: (, + ℎ)

lim = () à

ℎ

ℎ→ 0

(, + ℎ)

lim = () à

ℎ

ℎ→ 0

L’equazione di bilancio delle popolazioni chiuse viene allora scritta:

̇() = () − ()

Introducendo le quantità () ()

() = () =

() ()

che sono rispettivamente il tasso generico istantaneo di natalità e mortalità, abbiamo:

̇ ̇()

() = () ∙ − ()) ⇒ = () ∙ ()

(()

()

dove è il tasso istantaneo di variazione relativa.

Equazione Malthusiana

Nel caso particolare in cui i tassi generici istantanei di natalità e mortalità sono costanti nel tempo (ossia:

() = , () = ), = − )

allora anche il tasso istantaneo di variazione relativa della popolazione (

è costante, e riotteniamo l’equazione differenziale esponenziale detta anche «Malthusiana»:

̇() (