Riassunto esame Analisi 2, docente Taddei

Topologia in Rⁿ

Distanza euclidea

La distanza euclidea in Rⁿ è definita così:

x = (x1, x2, ..., xn)

y = (y1, y2, ..., yn)

x, y ∈ Rⁿ

d(x,y) = √(sum_i=1ⁿ (x_i - y_i)²)

= √(x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + ... + (x_n - y_n)²

es R²

x = (x1, x2)

y = (y1, y2)

d(x,y) = √((x1 - y1)² + (x2 - y2)²)

Proprietà:

d(x,y) = d(y,x)

d(x,y) ≥ 0 e d(x,y) = 0 ⇔ x = y

x = (z1, z2, ..., zn) ∈ Rⁿ

d(x,y) ≤ d(x,z) + d(y,z) disuguaglianza triangolare

Topologia in Rⁿ

Distanza euclidea

La distanza euclidea in Rⁿ è definita così:

x = (x₁, x₂, ..., x_n)

y = (y₁, y₂, ..., y_n)

x, y e Rⁿ

d(x, y) = sqr( sum_i=1ⁿ (x_i - y_i)² )

= sqr( (x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + ... + (x_n - y_n)² )

es R²

x = (x₁, x₂)

y = (y₁, y₂)

d(x, y) = sqr( (x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² )

Proprietà:

d(x, y) = d(y, x)

d(x, y) >= 0 e d(x, y) = 0 <=> x = y

z = (z₁, z₂, ..., z_n) e Rⁿ

d(x, y) <= d(x, z) + d(y, z) disuguaglianza triangolare

Intorno di un punto

Def:

Dato x in Rⁿ e r>0, r e R, si definisce intorno aperto di x di raggio r, l'insieme:

B_r(x) = { y in Rⁿ : d(x,y) < r }

es R²

es R³

Nota:

Sfera = vuota

Palla = piena

Dato E c Rⁿ, E != ø

Punto interno

Def:

Dato x in E, x si dice interno ad E se esiste un intorno aperto (raggio) di x tutto contenuto in E.

es:

E = [0,1[ x ]0,1]

E = (senza il bordo)

Punto di accumulazione

Def

Dato x in Rⁿ, x si dice di accumulazione per E se V intorno aperto di x, succede che:

(B_r(x) n E) \ {x} # 0

es

il buco

non è di accumulazione

A(E) = [ ] solo il bordo

i punti interni sono tutti di accumulazione.

Punto isolato

Def

Dato x in E, x si dice isolato per E se esiste un intorno B_r(x) tale che

B_r(x) n E = {x}

non isolato

isolati

I_sol(E) = {(2,2), (3,3)}

isolato è l'opposto di accumulazione.

Punto di frontiera

Def

Dato x in Rⁿ si dice di frontiera per E se V intorno aperto di x succede che

B_r(x) n E # 0

B_r(x) n E^c # 0

es

di frontiera

F(E) = [ ]

non è di frontiera: o interno o di frontiera

gli isolati sono di frontiera, non sono di accumulazione

Punto di chiusura

Def. x̂ in Rⁿ si dice di chiusura per E se V intorno aperto di x̂ succede che

B_r(x) n E != ∅

A(E) =

E =

Insieme aperto e insieme chiuso

Def. E si dice aperto se ogni suo punto è interno, cioè se E = E^o

es.

quindi non è aperto

Def. E si dice chiuso se il suo complementare E^c: (E^c = Rⁿ \ E) aperto

Nota: il punto è chiuso

Analogamente E è chiuso se E = Ē

Proprietà

Proprietà:

L'unione numerabile di aperti è un aperto.

L'intersezione finita di aperti è un aperto.

es)

E_n = {(x,y) : x² + y² < 1/n²}

∩_n=1^+∞ E_n = {(0,0)}

Quindi non funziona l'intersezione numerabile, perché da un punto, che è chiuso e non aperto.

L'unione finita di chiusi è un chiuso.

L'intersezione numerabile di chiusi è un chiuso.

finito o infinito

Insieme limitato

Def. Un insieme E c Rⁿ, si dice limitato se exists r in R⁺ | E c B_r(x) per un qualche x in Rⁿ,

cioè se esiste un intorno che lo contiene tutto.

Sì

No

Un insieme chiuso non si può dire limitato.

Dim es.

x²/a² - y²/b² > 1 = definisce il bordo.

> l'area interna/esterna.

Nota: Rⁿ e emptyset sono sia aperti che chiusi

Insieme connesso

Def. Un insieme E si dice connesso se non esistono due insiemi aperti A₁, A₂ tali che,

E c A₁ U A₂

A₁ inter A₂ = emptyset (disgiunti)

E inter A₁ != emptyset

E inter A₂ != emptyset

es.

Non è connesso

Connesso, perché i 2 insiemi c