Riassunto di Psicometria

ISTRIBUZIONE DI FREQUENZA RELATIVA

Si chiama frequenza relativa di una modalità Xj la frazione o proporzione di unità statistiche che presentano tale modalità: Si ottiene facendo un rapporto tra la frequenza di ciascuna categoria e il totale di tutte le osservazioni.

DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA CUMULATA

Frequenza cumulata assoluta = la somma delle frequenze assolute sino alla modalità considerata. Frequenza cumulata relativa = la somma delle frequenze relative sino alla modalità considerata. La frequenza cumulata si ottiene sommando la frequenza assoluta della modalità che ci interessa, con la frequenza cumulata della modalità precedente ad essa.

VERIFICA

1) Ad un campione composto da 10 adulti viene fatto studiare un brano complesso. Attraverso una prova di ricordo libero, viene poi chiesto loro di rievocare tutte le frasi complete che riescono a ricordare. Si ottengono i seguenti risultati: 12, 15, 17, 15, 12, 20, 16, 15, 16, 14. Calcolare frequenza.

semplice e cumulata.

Valore	Frequenza assoluta	Frequenza relativa	Calcolo percentuale
12	2	(2/10) = 0.2	(2/10) x 100 = 20
14	1	(1/10) = 0.1	(1/10) x 100 = 10
15	3	(3/10) = 0.3	(3/10) x 100 = 30
16	2	(2/10) = 0.2	(2/10) x 100 = 20
17	1	(1/10) = 0.1	(1/10) x 100 = 10
20	1	(1/10) = 0.1	(1/10) x 100 = 10

n=10 - 1.00 - 100

Valore	Frequenza assoluta	Calcolo Frequenza cumulata
12	2	2 = 2
14	1	2 + 1 = 3
15	3	3 + 3 = 6
16	2	6 + 2 = 8
17	1	8 + 1 = 9
20	1	9 + 1 = 10

n=10

2. INDICI DI TENDENZA CENTRALE

Consentono di sintetizzare una distribuzione di dati con un singolo valore:

Per ogni scala di misura dei dati occorre scegliere l'indice adeguato:

- moda

- mediana

- media

MODA

• Si può utilizzare per variabili misurate su tutte le scale
• È rappresentata dalla categoria o dal valore più frequente della distribuzione osservata
• Si indica con Mo., Mod.

MEDIANA

• Si può utilizzare solo per variabili misurate almeno su scala ordinale
• È rappresentata dal valore che occupa la posizione centrale

della distribuzione osservata (valore al di sopra o al di sotto del quale sta il 50% dei casi) • Si indica con Me., Mdn. - Per calcolare: • Ordinare i casi in modo crescente • Calcolare la frequenza cumulata • Calcolare la posizione media • È data dalla somma delle misure osservate diviso il numero delle osservazioni fatte (totale dei casi) • Si indica con M (y) per i campioni (m greca) quando ci si riferisce alla popolazione • Il calcolo della media è appropriato solo per variabili quantitative • È sempre compresa tra il minimo e il massimo dei valori osservati (internalità) • La somma degli scarti della media è sempre uguale a zero ECCEZIONE: quando i valori hanno frequenze diverse, si moltiplica ogni valore per la sua frequenza, poi si sommano tutti come nei casi generici La media è il centro della distribuzione e risente delle variazioni fatte dai valori anomali "outlier" (= quei valori molto al di sotto)

o al di sopra degli altri). La media tende a spostarsi nella direzione della coda più lunga della distribuzione. In questi casi, la tendenza centrale della distribuzione è meglio rappresentata dalla mediana. Oppure si calcola la media eliminando i valori estremi.

Variabile Scala Nominale: moda S & I

Variabile Scala Ordinale: moda \ mediana CALE NDICI

Variabile Scala ad Intervalli e Scala a Rapporti: moda \ mediana \ media

V 3ERIFICA1)

Voto esame di psicometria. Calcolare indici di tendenza centrale (moda\mediana\media).

Valore Frequenza Frequenza cumulativa

18 3 3

19 3 6

20 6 12

21 10 22

22 14 36

23 21 57

24 24 81

25 21 102

26 12 114

27 10 124

28 7 131

29 5 136

30 4 140

-n= 140

M : valore più frequente della distribuzione Mo= 24

ODAM : (140+1) \2= 70,5 Me= 24

EDIANAM : M= 3(18) +3(19) +6(20) +10(21) +14(22) +21(23) +24(24) +21(25) +12(26) + 10(27) +7(28) +5(29) +4(30) = 3376 M= 3376\140 = 24,1111\03\2020

DESCRIVERE I DATI

3.INDICI DI DISPERSIONE O DI VARIABILITÀ- campo di

variazione - deviazione standard - devianza - coefficiente di variazione - varianza - C ( )

Il campo di variazione è dato dalla differenza tra il valore maggiore e quello minore della distribuzione di frequenza osservata. Poco usato perché trascura la maggior parte dell'informazione disponibile e risente dei valori estremi.

La devianza è la somma degli scarti dalla media al quadrato. Elevando al quadrato trascuriamo il segno degli scarti. L'unità di misura è il quadrato di quella della variabile.

La varianza è un indice unico e sintetico sulla variabilità. Si calcolano gli scarti dei valori osservati dalla media, elevati al quadrato e si fa una media di questi scarti. Proprietà: sempre maggiore o uguale a zero, non è mai negativa. Minore è la varianza, più i casi sono concentrati attorno alla media. Maggiore è la varianza, più i casi sono dispersi attorno alla media.

La deviazione standard è la radice quadrata della varianza.

La Varianza:

Indice di dispersione con unità di misura uguale alla media.

Misura la dispersione intorno alla media.

Fortemente influenzata dai dati anomali.

Proprietà:

• Maggiore o uguale a zero.
• s=0 solo quando tutte le osservazioni hanno lo stesso valore.
• Più grande è la variabilità intorno alla media, maggiore è il valore di s.
• Quando ci si riferisce al campione si indica con s, quando ci si riferisce alla popolazione si indica con sigma.

Coefficiente di Variazione

Consente di confrontare la variabilità di due o più distribuzioni.

Si calcola dividendo la deviazione standard per la media (indice di variabilità relativa).

Il valore ottenuto viene espresso in percentuale, moltiplicandolo per cento.

Con questo indice è possibile fare confronti tra distribuzioni in termini di variabilità assoluta e relativa.

Scale di misura quantitative:

Scala ad intervalli e scala a rapporti.

Le scale ordinale e nominale, non.

essendo possibile calcolare la media, non possiamo avere nessuna misura che sintetizza la variabilità tramite le deviazioni dall'indice di tendenza centrale.

VERIFICA

1) In una ricerca sull'ansia da prestazione condotta da uno psicologo dello sport su un gruppo di 12 atleti professionisti sono stati registrati i seguenti punteggi ottenuti somministrando un questionario (punteggio da 0 a 20): 6, 6, 7, 13, 7, 9, 9, 7, 11, 7, 11, 8.

Calcolare le frequenze, gli indici di tendenza centrale e la deviazione standard.

- Calcolo frequenze (semplici e cumulate)

Valore	Frequenza assoluta	Frequenza relativa	Calcolo percentuale
6	2	0.17	17%
7	4	0.33	33%
8	1	0.08	8%
9	2	0.17	17%
11	2	0.17	17%
13	1	0.08	8%

n=12

- Frequenza cumulata

Valore	Frequenza cumulata assoluta
6	2
7	6
8	7
9	9
11	11
13	12

n=12

Frequenza cumulata

relativa: 0,17 +0,33 +0,08 +0,17 +0,17 +0,08= 1,00

Calcolo indici di tendenza centrale

Valore Frequenza Frequenza cumulata

6 2 2

7 4 6

8 1 7

9 2 9

11 2 11

13 1 12

M : valore più frequente della distribuzione Mo= 7

ODAM : 12\2<PosMe< (12\2) +1 … 6<PosMe<7 Me= 8

EDIANAM : M= 2(6) +4(7) +1(8) +9(2) +11(2) +13(1) = 114 M= 101\12 = 8,42

EDIA-Calcolo deviazione standard

Primo metodo

Valore Frequenza assoluta Prodotto

26 2 (6-8,42) x2= 11,71

27 4 (7-8,42) x4= 8,06

28 1 (8-8,42) x1= 0,17

29 2 (9-8,42) x2= 0,67

11 2 (11-8,42) x2= 13,32

13 1 (13-8,42) x1= 20,97

n=12 somma= 54,88

s = 54,88\12 = 4,57

s = = 2,13√4,57

Secondo metodo 2

Valore Frequenza assoluta Prodotto (X x f ) Prodotto (x x f )i i i i

26 2 6x2= 12 (6) x2= 72

27 4 7x4= 28 (7) x4= 196

28 1 8x1= 8 (8) x1= 64

29 2 9x2= 18 (9) x2= 162

11 2 11x2= 22 (11) x2= 242

13 1 13x1= 13 (13) x1= 169

n=12 somma= 101 somma= 905

2s = 905\12 – (101\12) = 75,4 – 70,9= 4,5

s = =

2,13√4,5

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ESERCIZI

Risolvendo un set di prove di false credenze, un gruppo di 17 bambini di tre anni ottiene i seguenti risultati: 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 10, 10. Calcolo varianza e deviazione standard.

Valore Frequenza Prodotto Media

20 2 (0-5,5) x2= 29,16 M= 0(2) +2(3) +4(3) +6(1)

22 3 (2-5,5) x3= 11,56 +8(6) +10(2) =

24 3 (4-5,5) x3= 1,96 0+6+12+6+48+20 = 92

26 1 (6-5,5) x1= 36 92\17 = 5,5

28 6 (8-5,5) x6= 6,76

10 2 (10-5,5) x2= 21,16 2s = 182\17 = 10,72-n=17 -=182 s = radice di 10,72 = 3,27

12\03\2020

DESCRIVERE I DATI

4.INDICI DI POSIZIONE

Forniscono informazioni sul valore della variabile osservata, al di sotto del quale ricade una certa proporzione di osservazioni della distribuzione: Quartili \ Decili \ Percentili

La variabile deve essere misurata almeno su una scala ordinale.

Per il calcolo:

1. Ordinare in senso crescente le modalità o valori della variabile

Calcolare le frequenze cumulate

Calcolare la posizione del quartile\decile\percentile con le apposite formule

Cercare nella distribuzione il valore corrispondente alla posizione trovata

QUARTILE

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali (sono 3)

1° quartile (o inferiore): valore sotto il quale ricade il 25% dei casi

2° quartile (o mediano): valore sotto il quale ricade il 50% dei casi

3° quartile (o superiore): valore sotto il quale ricade il 75% dei casi

DECILI

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in dieci parti uguali (sono 9)

1° decile: valore sotto il quale ricade il 10% dei casi

2° decile: valore sotto il quale ricade il 20% dei casi

9° decile: valore sotto il quale ricade il 90% dei casi

PERCENTILI

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in cento parti uguali (sono 99)

24° percentili: valore sotto il quale ricade il 24% dei casi

casi89° percentile: valore sotto