Riassunto di probabilità e calcolo combinatorio

CALCOLO COMBINATORIO

• DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE ^nk
• DISPOSIZIONI SEMPLICI ^{n(n-1)...(n-k+1)}
• PERMUTAZIONI SEMPLICI ^n!
• COMBINAZIONI (SEMPLICI) _{NO ORDINE}
• PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE ^{n₁!n₂!...n_k!}

P(A∪B) = P(A) + P(B)

se (A∩B) F.A (R(A)=0 e A e B INDIPENDENTI)

se A e B indipe. P(A∩B) = P(A) e indipe.

FORMULA DI BAYES

P(B_i|A) = ^{P(A|B_i) · P(B_i)} / Σ P(A|B_j) P(B_j)

VARIABILI ALEATORIE

• BINOMIALE num relative (ρ) n eserv (c.c.n)
  • X ~ B_X. (n, p)
  • P(X=x) = ⁽ⁿ⁾/_(x) p ^x (1-p)^n-x
• IPERGEOMETRICA num.assolute
  • X ~ hyper (N, n, K)
  • P(X ≤ x) = ^(x)/_(X) ^K/_k-x
• GEOMETRICA num.relative
  • P(X=x) = ^{(1-p)x-1 p}
• BIN. NEGATIVA num.relative
  • P(X=k) = ^(n-k+1)/_(k-1) (1-p)^x

CONGIUNTA

• marginale di X = tot colonna integrale di X
• marginale di Y = tot di riga
• congiunta

D_XY = ∫(x, )∫(y)

P( x | X, y= 0

2 VAR. ALEATORIE DISCRETE INDIP

D_XY = D_X x D_Y

(cond. necessaria)

• POISSON n arrivi casuali
  • X ~ P(λ)
  • P(X=x) = ^e-λ / x!

• CON DENSITÀ e DENSITÀ PARTICOLARI
  • P(X ≤ x) = ∫₁P(x)
  • DENSITÀ UNIFORME
  • GAUSSIANA
    • f_X(x) = ¹ √(2πσ^{2) e(x-μ)2 / σ2}
  • NORMALE
    • Φ
  • ESPONENZIALE SEMPLICE
    • f_X(x) = e^-μ ∀x≥0

CALCOLO COMBINATORIO

• DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE                     n^k       n pall. k estr. con
• DISPOSIZIONI SEMPLICI                 n(n-1)...(n-k+1)       n pall. k estr. senza
• PERMUTAZIONI SEMPLICI                n!       n=k estr. senza
• COMBINAZIONI (SEMPLICI) NO ORDINE         ⁿC_k=ⁿK/n!/k!(n-k)!       n pall. k estr. senza
• PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE         n!/(n₁!,n₂!...,n_h!)     n pall. di k color. n estr. senza

P(AIB)=P(A)P(B)

• se P(AnB)=P(A)P(B)=A e B indipendenti

• se A e B undip. P(A)=P(AnB)

FORMULA DI BAYES

P(B_i|A)=

[P(A|B_i)·P(B_i) ]/

∑P(A|B_k)P(B_k)

VARIABILI ALEATORIE

BINOMIALE num. relative (p,q)

• n estra ⁿC_k
• P(X=x)=

ⁿC_x·p^x·(1-p)^n-x

x ~ B_n(.1)

IPERGEOMETRICA num. assolute

• n estra   senza n=B

mA

(x=

P(

POISSON # arcivi casuali)

• x ~ P(λ) A=21x/^x)

λ>0

P({X=z)=e

μy=a(y·b(yx)

P(X=z)=e

-A^x

(λ_x,sup>2x-4_—s=/

• e-s

P(1-z=l )e

2 – λ_x^{=y/x)/2=sup>(λ+22) )={l-}

• f_{x =(l dx}

0 I ≤ i≤*0,1

• o≤x≤f[0,1)

GAUSSIANA

l