Riassunto Calcolo delle probabilità

FORMULARIO '

CALCOLO DELLE probabilita

di

COMBINATORIO

CALCOLO Si

PRINCIPIO Si

FONDAMENTALE combinatorio possibili

esperimento esiti

realizzino il

DEL CALCOLO abbia

che esiti

esperimenti primo che questi

di

r supponga n per ognuno ne

, ,

.

il che

possibili possibili

abbia

esperimento abbia

il

secondo esiti esiti

terzo

questi

di così via

per

ne ognuna n e

, .

,

Allora finali esperimenti

)

(

distinti

distinte l'

esperimenti importante

esiti è

producono

dei

di ordine

esiti

sequenze i

se r

r se

, ,

hanno tutta possibili

in esiti

no

n nn

.

.

.

. .

. .

Dato (

PERMUTAZIONI Pn

l' )

ordinamento

oggetti !

di essi

è rilevante

di

permutazione

insieme è possibili

ordinamento permutazioni

di

n n

un una numero

un - -

,

È )

pnl

" " "

PERMUTAZIONI permutazione

RIPETIZIONE loro

CON "

uguali

loro

cui oggetti "

tra

in tra

uguali

oggetti permutazioni

di

una numero i

r r =

sono

sono con

! !

!

, %

. .tk

ti

, , .

. . possibile

ripetizione

. .

loro

tra

uguali

oggetti

ti sono I tre

con the

t n

=

.

. . , , . . .

DISPOSIZIONI (

( ) l' )

Uno tutti

classe Dn

è sottoinsieme rilevante

diversi composta

è

di oggetti

disposizione ordinato

K

di possibili

ordinamento di

ask.cn disposizioni

numero

n =

un K

,

oggetti

degli

da K n DI

( l'

Una )

è "

sottoinsieme

( ) tutti

DISPOSIZIONI ripetizione ordinato rilevante

disposizione distinti è

oggetti

classe

CON RIPETIZIONE di ordinamento di

di n disposizioni

K un

riso

con numero

n = ÷ con

K

, ripetizione possibili

volta

oggetto di

ogni più

può

dati cui

dagli

composta da in

presi

oggetti una

presa

K n essere

, µ! (f)

( ) ( l' )

classe tutti

Una Cn

combinazioni è sottoinsieme

di oggetti rilevante

diversi combinazioni

K

di

combinazione è

ordinamento

ordinata

ask.cn n di

non

un non ÷ numero

=

=

*

, possibili

composta oggetti

degli

da K n )

CI "

È

Una è

combinazione sottoinsieme

( ) tutti

ripetizione

combinazioni distinti

oggetti

classe combinazioni

di

ripetizione

con di =

= di

K non

un

riso

con numero

n ÷ con

K

, possibili

ripetizione

( l' )

rilevante ogni

è dati cui

dagli

composta

ordinata da

ordinamento in

presi

oggetti

non K n ,

oggetto volta

di

può più una

presa

essere (f)

mi )

(f) ( (F)

I I

N.b.

µµ N

COEFFICIENTE B

binomiale O Keo

= ksn

= se

=

= a

- . ⑤

f)

( IR

" induzione

)

ato "

(

TEOREMA lo

K

Ion

BINOMIALE - re ne

a e

= , ,

" ⑤

)

( )

( )

In

I ¥

Pascal

Formula di + =

,

PROBABILITÀ { }

lancia

possibili

tutti

SPAZIO CAMPIONARIO monete

gli

insieme di esiti di esperimento

A te

ls cc

et

tt

a-

2

un → =

÷ ,

, ,

.

.

È sottoinsieme

EVENTO è possibili Devo

esperimento di

di

insieme

E esiti posteriori

di dire verifica

in grado di

A. si

un

un essere

un oppure

÷ se

a no

. .

}

{

lancia almeno testa

monete 1

E TT

ls TC CT

ma

2 → = = , ,

. { }

risultato E WEE E

W l'

verifica

RISULTATO perché

WEE

si evento

GENERICO Wee è certo Wee

generico

: a

= =

a

⇐ : sempre

:{

l' }

è Si

' ¢

che

esiti verifica #

E

E

EVENTO degli trovano

di

COMPLEMENTARE E. NB

wcf

insieme E

quando Wee

verifica

E

in

si

a si

non :

non =

.

. impossibile

evento

! {

L' { } }

UNIONE Ai almeno

evento Wee vieni

EVENTI quando

verifica i.

TRA verifica Avb

si :

aub si b web per

Wee 1,2

=

A oppure web un

: n

o

= . .

, ,

.

. n {

{

L' ?

} }

ti fi

Wee

evento Ai

quando

verifica WE

INTERSEZIONE Anb

EVENTI

TRA verifica :

si

anb si b. web

Wea =

A 1,2

web

:

e e n

>

= . .

, ,

.

i

Due Dato incompatibili

incompatibili §

EVENTI Incompatibili eventi definiscono ti ¢

dicono Ain

eventi

b Aj

A.

a Anb di

di

insieme

si An essi si j

se

se

e un

= =

, ,

.

, .

. .

.

,

Se Se allora

verifica verifica

gli

tutti Acb b.

esiti anche A si anche

EVENTI B contenuta

di

CONTENUTI si

di

A dice in

A si si

b scrive

sono e

, . , ;

orami siamo

a. ac

e

anni

"

a . B) )

(

B) )

PROPRIETÀ ( (

( al An

UC Au an

Associativa Av

unione intersezione boc

boc =

= :

: ( )

) )

B)

(

B) nfbuc

)

( ( ( UC

al Auc

an

Av Anc

proprietà distributiva Bric

u =

=

www.noroan .

⇐ :

}

{ È

An )

(

collezione parametro

SUCCESSIONE solitamente

da

EVENTI N

eventi indicizzata

di di un ne

÷ una

, È Ante crescente

(

Una A

) se

fu Aut

SUCCESSIONE si :

decrescente An

di indica

crescente Ann

dice

CRESCENTE eventi e

successione si se

non !

limita an An

=

}

{ lei

1

" µ

"

Ant

" almeno lanci

testa -1

in a.

a wea ×

n

= :

= .

.

, .

. . .

. É decrescente

An

Una )

( A

tu Ant se :

decrescente Anti indica

di si

An

crescente

successione dice

decrescente successione eventi se e

si non µ §

an An

=

, ,

+

{ }

il

/ #

" (

! " lanci

An T

testa WEA W

es Xi

x.

in

nessuna : x.

=

n =

= =

. .

, .

. , ,

bing.am?Am=!!nAmm--n

a him

inf if

An An

Am

0am

INFERIORE

LIMITE s =

= 1

a

→

n +

"

I lini { /

ainf }

An /

weamtms.no

rispetto il

è him almeno

crescente ad quale

esiste dopo

inf An

fan

In

We am

we

a we se un

n n

= ,

, a

a &

him

him a µ

!

An An Am

Am

U And Am

limite superiore sui im =

= = .

µ

M 1

n nel

nota

- a

→

n +

Ì {

bing.MY }

J-ms.nl

An a)

decrescente

è verifica

tu almeno

rispetto welimsnp

ad Am

An ogni si

per

We am

We per un

n se man

n

= , ⑤

}

{ liminf

Dato limainf

ha bin

lim limsnp

limonavi

an .info lim sinan

uguali An An

eventi An

successione di

TEOREMA si

una se

e sono

e e =

=

,

» , A

n nota

+

→

.

TÀ elementi

degli dell'

A

cardinali # insieme a

numero

:-. ⑤

#

) P

PIA "

(a)

#

tutti

l' allora

A

INSIEME sottoinsiemi

è

POTENZA A

di 2

i

di

insieme n

se =

=

: >

La t

A

)

A algebra )

( tale

classe tspfa

famiglia

di

6- eventi che

è che appartiene

sottoinsiemi di

di ad

Algebra e sia

6-

costituisce a.

su e una

se

una ,

A

) et )

et uanet

aet che

complemento all'

(

chiuso (

si

allora

all' chiuso rispetto allora

rispetto di unione Ai van

sia an A.

Ae

operazione e

se se . . .

,

. .

.

,

,

limn

et

1- et

allora An

leggi

le De Morgan

NB N.b.se An

anche .name di

naen

A. per

.

. . .

» ⑤

)

BUR Borel IR

algebra

6- delle

sullo delle

di IR

definita

di gli

Borel

ALGEBRA tutti intervalli

rette da rette

costituito

dagli

partire intervalli aperti

spazio

G- costruito è

e a

÷ ,

Dato spazio

di

ASSIOMI KOLMOGOROV uno a : A

la

⑧ eventi idgebra

degli costituisce

classe 6-

una Rt

et

⑥ funzione

"

ta reale "

insano probabilità p

p

) definisca

pla di A è

che

numero :b

un > o →

una ,

③ )

pp 1

=

④ beh =p

Anb ( )

A (a)

p plb)

=p

Aub

>

= +

, , bin ) (4)

)

③ limi

(

(

)

Arnett

}

Dato Anto

{ lim allora

( l'

che =p

=p

=p

Ha tale 0

.am p An

vuota

decresce

an an

insieme

an

con verso =

,

» , » , .

.

(a)

probabilità la

P solo equiprobabili

possibili

cordialità

A risultati

finita

* i di

classica e e

se e sono

=

e Da l'

(a) limn esperimento nelle

ripetere

Probabilità il vale

effettuati

il volte

P solo può

esperimenti

che

dove si

né

verifica

FREQUENTATA di

è di si e

ma numero se

A

numero

= ,

n

,

» infinite)

volte idealmente

(

più

stesse condizioni -

③

④ Dato -1 )

( )

Pla

ri

TEOREMI allora 1

Ae P = - ②

④ (d)

p O

= ③

⑤ )

della )

(

Dati probabilità auguri

monotonia

(b)

beh allora

Asb (a) B.

sp

a p

se

, ③

④ Anni

AEA (a)

Dato 1

p a

-

e

, ⑥

④ s )

plena)

Dati adcucc

-1 )

( Borsa

(A)

)

plb a.

(c)

p =p

ce

B Bra

A. p

O =p

o

se se

: ,

- -

, ⑥

v Abdul )

bori cscva

) prua)

( (a) (c) 1

P =p =p

Bua ,

=

È che logicamente

=p

(

Quasi (

EVENTO comporta probabilità

certo evento fatto )

'

si certa pp

) di

in approssimazione

un e

come ma non un .

È logicamente

che ( ) (

impossibile fatto

comporta probabilità )

'

evento si

Quasi )

EVENTO di

impossibile pp approssimazione

in e

un ma

come O non un

- . ⑥

( ) )

a)

) alberi

(a) autori )

(b)

P Plan sub

Dati =p

AUB D=

-1

TEOREMA tp

probabilità

( allora

A B

Be

) -

UNIONE Eventi

di - ,

, Plaubuc Hotel

) (

Plan

) )

(b) (c) )

-1 (a) ( )

=P Plan

p p

allora P Anc

Dati B P boc

t Bac

t

b

A ce +

- - -

,

, )

Adamoli

An -

bin

linm -

bin

}

{ vele

Dato )

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An PIA

A

)

continuità

TEOREMA )

(

( (

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Andarsi

An p a-

an

della P

con =

= =

» , _

•

, →

, ⑧

È

! )

pi

et Mai) induzione

( fu

Dati ④

TEOREMA IN

)

probabilità

( Ai

tipi

incompatibili ¢

Aia allora

) Aj redditività

An

UNIONE Eventi

di ai Ae

incompatibili semplice

= c-

:

=

, ,

.

.

.

, @

È

piè ) Mai continuità

)

di

④ completa

additivi

= , ⑥

!

! )

PL

et Anania

Doti sai

(

) )

ha

DISUGUAGLIANZA Ai

di belle si

si

A. a. an i .

.

.

. .

, . ,

.

, . .

È )

fa A

probabilità algebra funzione tutti