Riassunto esame Calcolo delle probabilità, prof. De Gregorio

PROBABILITÀ

SPAZIO CAMPIONARIO S.o Ω = insieme di tutti gli esiti possibili.

EVENTO E, sottoinsieme di Ω; insieme i cui elementi sono esiti possibili.

Se l’esito dell’esperimento è contenuto in E, si è verificato E = una qualsiasi informazione sul risultato della prova.

EVENTO ELEMENTARE = ω_i, singolo risultato della prova.

Esempi:

Evento A: esce croce al primo (su due) lanci

A = { CT, CC }

Ω = { CT, CC, TC, TT }

evento

spazio campionario

C.T → eventi elementari

A si verifica se ω ∈ A

Gli eventi vengono studiati tramite insiemi

Richiami di teoria degli insiemi

A ∪ B, A e B eventi, si verifica se si verifica ALMENO uno tra A e B

A ∩ B si verifica se si verifica sia A che B

Ω = evento certo

Negazione o complementare → A^c = Ω \ A = { ω ∈ Ω : ω ∉ A } = non si verifica

Ω = ∅ (evento impossibile)

∪_i=1^m E_i = tutti gli esiti che appartengono almeno ad un E_i.

∩_j=1^m E_j = gli esiti che appartengono ad ogni E_j

A ⊂ B → A è contenuto in B → A implica B. Se si verifica A, allora si verifica anche B

Probabilità

Spazio campionario S o Ω = insieme di tutti gli esiti possibili.

Evento E, sottoinsieme di Ω, insieme i cui elementi sono esiti possibili. Se l’esito dell’esperimento è contenuto in E, si è verificato. È una qualsiasi informazione sul risultato della prova.

Evento elementare = ω_i, singolo risultato della prova.

Esempi

Evento A: esce croce al primo (su due) lanci.

• A = {CT, CC}
• Ω = {CT, CC, TC, TT}

• evento
• spazio campionario
• C,T = eventi elementari

A si verifica se ω_i ∈ A

Gli eventi vengono studiati tramite insiemi

Richiami di teoria degli insiemi

A ∪ B, A e B eventi, si verifica se si verifica almeno uno tra A e B

A ∩ B si verifica se si verifica sia A che B

∅ = evento certo

Negazione o complemento = A^c = {ω ∈ Ω : ω ∉ A} = non si verifica

Ω = ∅ (evento impossibile)

_{i = 1}∪^mE_i = tutti gli esiti che appartengono almeno ad un E_i

_{j = 1}∩^mE_j = gli esiti che appartengono ad ogni E_j

A ⊂ B → A è contenuto in B → A implica B. Se si verifica A, allora si verifica anche B

Proprietà

• commutativa → A∪B= B∪A, A∩B= B∩A
• associativa → (A∪B)∪C= A∪(B∪C), A∩(B∩C)= (A∩B)∩C
• distributiva → (A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C)

Leggi di De Morgan

• (E∪F)^c = E^c ∩ F^c
• (E∩F)^c = E^c ∪ F^c

Eventi

• A∩B= ∅ → A e B eventi incompatibili
• ∪_J=1^∞ A_j = Ω → eventi necessari

Se A₁, A₂...A₃ sono incompatibili e necessari si dice che formano una partizione di Ω

Ω = B∪B^c

A = A∩Ω = A∩(B∪B^c)= (A∩B)∪(A∩B^c)

Assiomi della probabilità

P(E), probabilità dell'evento E, deve soddisfare tre assioni

• 0 ≤ P(E) ≤ 1
• P(Ω) = 1

E₁, E₂...E_n incompatibili → P(∪_i=1ⁿ E_i) = ∑_i=1ⁿ P(E_i)

→ CONSEGUENZE

P(Ω) = 1

P(A ∪ A^c) = P(A) + P(A^c)_(ass.3)

ma P(A ∪ A^c) = P(Ω) = 1      ⇒      P(A^c) = 1 - P(A)

A,B      A⊂B     (A implica B)

B - B∩A = B∩(A ∪ A^c) = (B∩A)¹∪(B∩A^c) → incompatibile → (B∩A)¹∩(B∩A^c)

P(B) = P(B∩A) + P(B∩A^c)      (3^o assioma)

P(B∩A^c) > 0      ⇨ P(A) ≤ P(B)

P(A) ≤ P(B)

(1^o assioma)

Definizioni di probabilità:

- DEFINIZIONE FREQUENTISTA

P(E) = _lim [n → ∞] (n_E / n)        n_E = numero di volte in cui si verifica E

n = numero di esperimenti

VERIFICA DEGLI ASSIOMI:

1. P(E) ≥ 0
2. P(Ω) = _lim [n → ∞] n_{nΩ = lim [n → ∞] n/n = 1}
3. A∩B = ∅,   P(A ∪ B) = _lim [n → ∞] (n_A∪B/n) = _lim [n → ∞] (n_A + n_B)/n

= _lim [n → ∞] (n_A/n) + _lim [n → ∞] (n_B/n) = P(A) + P(B)

DEFINIZIONE SOGGETTIVA

Probabilità = grado di fiducia che ha il soggetto nel verificarsi di quell'evento

DEFINIZIONE CLASSICA

P(A) = ^#A/_#Ω = ^{# casi favorevoli}/_{# casi possibili}

• Ω è finito
• suppongo lecito assegnare la stessa probabilità a tutti gli eventi

SPAZI EQUIPROBABILI

CALCOLO COMBINATORIO

Serve a determinare la cardinalità di un evento: "^{# casi possibili}"

Regola fondamentale:

Se si considerano n esperimenti, in cui il primo ha n₁ esiti possibili, il secondo n₂ esiti possibili e così via fino al n-esimo, che ha n_r esiti possibili,il risultato complessivo dell'esperimento avrà n₁ x n₂ x ... x n_r esiti possibili (cardinalità del risultato).

P

ESEMPIO

Diciotto persone sono divise in tre gruppi di sei amici,calcolate la probabilità che i gruppi siano tutti separati.

P_A = ^{# casi favorevoli}/_{# casi possibili} → in quanti modi possono sedersi18 persone?

# casi favorevoli: ho 3 blocchi (A, B, C) che possono disporsi in 3! modi

All'interno di ogni blocco ho 6! possibilità → i blocchi sono 3 6! x 6! x 6! =

= (6!)³

→ P_A = ^3!(6!)3/_18!

Se ho gruppi di oggetti uguali tra loro, sono nel caso delle PERMUTAZIONI

CON RIPETIZIONE

k₁, k₂, k₃ gruppi di elementi uguali tra loro

Σ_j=1^rk_j = n

P_n(k₁, ..., k_r) = ^n!⁄_{k1! k2! ... kr!}

ESEMPIO: In quanti modi posso anagrammare la parola zuzzurellone?

Ho 12 elementi (lettere) → n=12

Ho 4 gruppi di lettere ripetute → r=4

k₁ = 3 (z)   k₂ = 2 (u)   k₃ = 2 (e)   k₄ = 2 (l)

P_n(3,2,2,2) = ^12!⁄_{3! 2! 2! 2!}

Disposizioni

Se ho n oggetti distinti sono nelle DISPOSIZIONI SEMPLICI.

Una disposizione semplice di n oggetti di classe k, k ≤ n, è un

sottinsieme ordinato composto da k elementi presi disgiunti in dati

D_n,k = ^n!⁄_(n-k)! → numero totale di disposizioni

  di n elementi in gruppi di k

ESEMPIO:

Una società ha 25 membri. Quanti modi possibili ho di scegliere

il presidente e il segretario?

Ho 25 elementi → n = 25

Devo fare gruppi di 2 (pres, segr) → k = 2

D_25,2 = ^25!⁄_(25-2)! = ^25!⁄_23! = 600

Se gli elementi non sono tutti distinti, ho DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI Ho n oggetti distinti, da ordinare in gruppi di k (k ≤ n). I gruppi sono formati da elementi ma necessariamente diversi tra loro, presi dagli n dati. Ogni volta che formo un gruppo, posso scegliere tra n elementi.

D_n,k = n^k

ESEMPIO:Quanti modi possibili ho di generare una password con 8 caratteri, potendo scegliere tra maiuscole, minuscole e numeri?Ho 26 maiuscole, 26 minuscole e 10 cifre.n = 26 + 26 + 10 = 62k = 8 → devo formare un gruppo di 8 elementi.Posso ripetere ogni elemento quante volte voglio → 62⁸ possibili password

CombinazioniUna combinazione SEMPLICE di n oggetti di classe k, k ≤ n, è uno dei possibili sottoinsiemi NON ORDINATI composto da k elementi distinti scelti tra gli n dati. Le combinazioni differiscono solo per composizione, ma non per ordine → (a,b) = (b,a)

C_n,k = D_n,k / k! = n! / k!(n-k)! = ⁿC_k coefficiente binomiale

ESEMPIO:Nel gioco del bridge, si hanno 52 carte. Ogni giocatore ne ha 13. Qual è la probabilità che il primo giocatore abbia le stesse carte della mano precedente?Ho 52 elementi tra cui scegliere → n = 52Li raggruppo in 4 gruppi da 13, ma non mi importa l'ordine degli elementi all'interno del gruppo → (k = 13, 10, 9).k = 13

# modi in cui possono capitare le carte ad un giocatore = ⁵²C₁₃ = 52! / 13!(52-13)!

# casi favorevoli (modi in cui ti possono capitare di nuovo le stesse carte) = 1

P_A = ¹/₅₂ = ^13!/39!/_52!

Lo stesso risultato poteva essere raggiunto ragionando diversamente:

• # casi possibili = modi in cui posso dare le carte = modi in cui posso ordinare 52 elementi → 52!
• # casi favorevoli = modi in cui posso dare 13 carte al 1^o giocatore x modi in cui posso dare le carte agli altri → 13!.39!

P_A = ^13!.39!/_52!

Per combinazione con RIPETIZIONE di n elementi di classe k, k ≤ n, si intende una delle possibili collezione di k elementi, non tutti diversi, presi tra gli n dati.

Ĉ_n,k = ^n+k-1C_k

ESEMPIO:

Una ditta produce 5 diversi tipi di cioccolatini. Quanti tipi di scatole da 10 pezzi può confezionare?

Ho scatole da 10 elementi, non per forza tutti diversi → k=10

Ho 5 tipi tra cui scegliere → n=5

Ĉ_{5, 10} = ^5+10-1C₁₀ = ¹⁴C₁₀

PROPRIETA' DEL COEFFICIENTE BINOMIALE

• ∂_n^k + ∂_n^k-1 = ∂_n+1^k Identità di Tartaglia
• (a+b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ ∂_n^k a^k b^n-k n ∈ N, a,b ∈ R

Tabella riassuntiva delle differenze tra combinazioni e disposizioni

Mi interessa l'ORDINE degli elementi nell'insieme?

• SI
  • Posso RIPETERE gli elementi nell'insieme?
    • SI _Dn,k = n^k
    • NO _Dn,k = n!/(n-k)!
• NO
  • _Cn,k = ^(n+k-1)/_k
  • _Cn,k = ^n!/_k!(n-k)!

Permutazioni semplici → n!

Permutazioni con ripetizioni → n!/k₁!...k_r!

P(A∪B)

Se ho eventi che non sono incompatibili [A∩B] ≠ ∅, devo calcolarle in modo diverso P(A∪B)

• P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
• P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Dati due eventi A e B, come cambia la probabilità di A dato che B si è verificato?

• B si verifica → B diventa B̅
• ω ∈ B
• Se si verifica A, ω deve appartenere ad A∩B

P(A|B) = #casi favorevoli ad A∩B / #casi favorevoli a B = P(A∩B)/P(B)

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

Verifica che la probabilità condizionata verifichi gli assioni

1. 0 ≤ P(A|B) ≤ 1 → P(A∩B) = P(B)
2. P(Ω|B) = 1 → P(∅|B) = P(B). P(B) = 1
3. P(A∩B) = ∅ → P(A∪B|C) = P(A|C) + P(B|C)

Dim:

P(A∪B|C) = P((A∪B)∩C) = P(A∩C)∪(B∩C)

P(A∩C) = P(A|C)P(A|B)

Legge delle probabilità composta

P(A∩B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)

P(A₁∩A₂∩A₃...) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁,A₂) = P(A₂|A₁,A₂)P(A₁|A₂) = P(A₃|A₁,A₂)P(A₁)P(A)

Legge delle probabilità totali

Bₖ, k≥1 partizioni di Ω

∪ Bₖ Ω

Bn∩Bn = ∅

P(A) = Σ P(Bₖ)P(A|Bₖ)

Dimostrazione nel caso n = 2

B₁ = B B₂ = B^c

A = (A∩B)∪(A∩B^c)

P(A) = P(A∩B) + P(A∩B^c) = P(B)P(A|B) + P(B^c)P(A|B^c)

Teorema di Bayes

∪_i=1 F_i = Ω gli eventi F_i ricoprono S(Ω). Si verifica esattamente un evento di essi.

P(F_i | E) = ^{P(F_i ∩ E)}/_P(E) = ^{P(E | F_i) P(F_i)}/_{∑j P(E | Fj) P(Fj)}

F_j = possibili ipotesi alternative che influenzano un qualche esperimento

La formula ci mostra come è necessario modificare le opinioni su tali ipotesi da prima a dopo l'esperimento stesso, con le probabilità che passano da P(F_i) a P(F_i | E).

Sistemi

SISTEMI IN SERIE = Il funzionamento è dato dal funzionamento di tutte i componenti → P(ok) = P(A) ∩ P(B) ∩ P(N)

SISTEMI IN PARALLELO → Deve funzionare ALMENO un dispositivo P(ok) = P(A) ∪ P(B) ∪ P(N)

Estrazione da un'urna

Ho N palline in un'urna K sono arancioni e N-K sono bianche

Posso estrarre le palline in due modi differenti:

• con reimmissione
• in blocco

Estrazioni con ripetizione

Ogni estrazione viene fatta nelle stesse condizioni della precedente

La probabilità di estrarre una pallina arancione è costante, ed è

P(A) = p = ^K/_N

Se voglio calcolare la probabilità di estrarre una pallina

arancione su n estrazioni. avrò che

P(E₁) = n · p(1-p)^n-1

La probabilità di estrarre k palline arancioni con n estrazioni sarà invece data da

P(E_k) = (ⁿ⁄_k) p^k (1-p)^n-k

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Modello di Bernoulli o binomiale → prende in considerazione una successione di eventi indipendenti ed aventi tutti la stessa probabilità

ESTRAZIONI IN BLOCCO

Estrazione n palline in blocco.

La probabilità che k siano arancioni è data da

^K⁄_k (^N-k⁄_h-k)

(^N⁄_n)