Riassunto esame Calcolo delle probabilità, prof. De Gregorio

Probabilità

Spazio campionario ed eventi

Spazio campionario S.o Ω = insieme di tutti gli esiti possibili.

Evento E, sottoinsieme di Ω; insieme i cui elementi sono esiti possibili. Se l’esito dell’esperimento è contenuto in E, si è verificato E = una qualsiasi informazione sul risultato della prova.

Evento elementare = ω_i, singolo risultato della prova.

Esempi

Evento A: esce croce al primo (su due) lanci.

A = { CT, CC }

Ω = { CT, CC, TC, TT }

Evento spazio campionario.

C.T → eventi elementari.

A si verifica se ω ∈ A.

Gli eventi vengono studiati tramite insiemi.

Richiami di teoria degli insiemi

A ∪ B, A e B eventi, si verifica se si verifica almeno uno tra A e B.

A ∩ B si verifica se si verifica sia A che B.

Ω = evento certo.

Negazione o complementare → A^c = Ω \ A = { ω ∈ Ω : ω ∉ A } = non si verifica.

Ω = ∅ (evento impossibile).

∪_i=1^m E_i = tutti gli esiti che appartengono almeno ad un E_i.

∩_j=1^m E_j = gli esiti che appartengono ad ogni E_j.

A ⊂ B → A è contenuto in B → A implica B. Se si verifica A, allora si verifica anche B.

Probabilità

Spazio campionario ed eventi

Spazio campionario S o Ω = insieme di tutti gli esiti possibili.

Evento E, sottoinsieme di Ω, insieme i cui elementi sono esiti possibili. Se l’esito dell’esperimento è contenuto in E, si è verificato. È una qualsiasi informazione sul risultato della prova.

Evento elementare = ω_i, singolo risultato della prova.

Esempi

Evento A: esce croce al primo (su due) lanci.

A = {CT, CC}

Ω = {CT, CC, TC, TT}

Evento spazio campionario.

C,T = eventi elementari.

A si verifica se ω_i ∈ A.

Gli eventi vengono studiati tramite insiemi.

Richiami di teoria degli insiemi

A ∪ B, A e B eventi, si verifica se si verifica almeno uno tra A e B.

A ∩ B si verifica se si verifica sia A che B.

∅ = evento certo.

Negazione o complemento = A^c = {ω ∈ Ω : ω ∉ A} = non si verifica.

Ω = ∅ (evento impossibile).

_{i = 1}∪^mE_i = tutti gli esiti che appartengono almeno ad un E_i.

_{j = 1}∩^mE_j = gli esiti che appartengono ad ogni E_j.

A ⊂ B → A è contenuto in B → A implica B. Se si verifica A, allora si verifica anche B.

Proprietà

Commutativa → A∪B = B∪A, A∩B = B∩A.

Associativa → (A∪B)∪C = A∪(B∪C), A∩(B∩C) = (A∩B)∩C.

Distributiva → (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C).

Leggi di De Morgan

(E∪F)^c = E^c ∩ F^c.

(E∩F)^c = E^c ∪ F^c.

Eventi

A∩B = ∅ → A e B eventi incompatibili.

∪_J=1^∞ A_j = Ω → eventi necessari.

Se A₁, A₂...A₃ sono incompatibili e necessari si dice che formano una partizione di Ω.

Ω = B∪B^c.

A = A∩Ω = A∩(B∪B^c) = (A∩B)∪(A∩B^c).

Assiomi della probabilità

P(E), probabilità dell'evento E, deve soddisfare tre assiomi.

• 0 ≤ P(E) ≤ 1.
• P(Ω) = 1.
• E₁, E₂...E_n incompatibili → P(∪_i=1ⁿ E_i) = ∑_i=1ⁿ P(E_i).

Conseguenze

P(Ω) = 1.

P(A ∪ A^c) = P(A) + P(A^c)_(ass.3).

Ma P(A ∪ A^c) = P(Ω) = 1 → P(A^c) = 1 - P(A).

A,B      A⊂B     (A implica B).

B - B∩A = B∩(A ∪ A^c) = (B∩A)¹∪(B∩A^c) → incompatibile → (B∩A)¹∩(B∩A^c).

P(B) = P(B∩A) + P(B∩A^c)      (3^o assioma).

P(B∩A^c) > 0      ⇐ P(A) ≤ P(B).

P(A) ≤ P(B) (1^o assioma).

Definizioni di probabilità

Definizione frequentista

P(E) = _lim[n → ∞] (n_E / n).

n_E = numero di volte in cui si verifica E.

n = numero di esperimenti.

Verifica degli assiomi

• P(E) ≥ 0.
• P(Ω) = _lim[n → ∞] n_{nΩ = lim[n → ∞] n/n = 1}.
• A∩B = ∅, P(A ∪ B) = _lim[n → ∞] (n_A∪B/n) = _lim[n → ∞] (n_A + n_B)/n.

= _lim[n → ∞] (n_A/n) + _lim[n → ∞] (n_B/n) = P(A) + P(B).

Definizione soggettiva

Probabilità = grado di fiducia che ha il soggetto nel verificarsi di quell'evento.

Definizione classica

P(A) = ^#A/_#Ω = ^{# casi favorevoli}/_{# casi possibili}.

Ω è finito.

Suppongo lecito assegnare la stessa probabilità a tutti gli eventi.

Spazi equiprobabili

Calcolo combinatorio

Serve a determinare la cardinalità di un evento: "^{# casi possibili}".

Regola fondamentale

Se si considerano n esperimenti, in cui il primo ha n₁ esiti possibili, il secondo n₂ esiti possibili e così via fino al n-esimo, che ha n_r esiti possibili, il risultato complessivo dell'esperimento avrà n₁ x n₂ x ... x n_r esiti possibili (cardinalità del risultato).

P_n = n!

Esempio

Diciotto persone sono divise in tre gruppi di sei amici, calcolate la probabilità che i gruppi siano tutti separati.

P_A = ^{# casi favorevoli}/_{# casi possibili} → in quanti modi possono sedersi 18 persone?

# casi favorevoli: ho 3 blocchi (A, B, C) che possono disporsi in 3! modi. All'interno di ogni blocco ho 6! possibilità → i blocchi sono 3. 6! x 6! x 6! = = (6!)³.

→ P_A = ^3!(6!)3/_18!.

Permutazioni con ripetizioni

Se ho gruppi di oggetti uguali tra loro, sono nel caso delle permutazioni con ripetizioni.

k₁, k₂, k₃ gruppi di elementi uguali tra loro.

Σ_j=1^rk_j = n.

P_n(k₁, ..., k_r) = ^n!⁄_{k1! k2! ... kr!}.

Esempio

In quanti modi posso anagrammare la parola zuzzurellone?

Ho 12 elementi (lettere) → n=12.

Ho 4 gruppi di lettere ripetute → r=4.

k₁ = 3 (z)   k₂ = 2 (u)   k₃ = 2 (e)   k₄ = 2 (l).

P_n(3,2,2,2) = ^12!⁄_{3! 2! 2! 2!}.

Disposizioni

Se ho n oggetti distinti sono nelle disposizioni semplici.

Una disposizione semplice di n oggetti di classe k, k ≤ n, è un sottoinsieme ordinato composto da k elementi presi disgiunti in dati.

D_n,k = ^n!⁄_(n-k)! → numero totale di disposizioni   di n elementi in gruppi di k.

Esempio

Una società ha 25 membri. Quanti modi possibili ho di scegliere il presidente e il segretario?

Ho 25 elementi → n = 25.

Devo fare gruppi di 2 (pres, segr) → k = 2.

D_25,2 = ^25!⁄_(25-2)! = ^25!⁄_23! = 600.

Disposizioni con ripetizioni

Se gli elementi non sono tutti distinti, ho disposizioni con ripetizioni. Ho n oggetti distinti, da ordinare in gruppi di k (k ≤ n). I gruppi sono formati da elementi ma necessariamente diversi tra loro, presi dagli n dati. Ogni volta che formo un gruppo, posso scegliere tra n elementi.

D_n,k = n^k.

Esempio

Quanti modi possibili ho di generare una password con 8 caratteri, potendo scegliere tra maiuscole, minuscole e numeri?

Ho 26 maiuscole, 26 minuscole e 10 cifre.

n = 26 + 26 + 10 = 62.

k = 8 → devo formare un gruppo di 8 elementi.

Posso ripetere ogni elemento quante volte voglio → 62⁸ possibili password.

Combinazioni

Una combinazione semplice di n oggetti di classe k, k ≤ n, è uno dei possibili sottoinsiemi non ordinati composto da k elementi distinti scelti tra gli n dati. Le combinazioni differiscono solo per composizione, ma non per ordine → (a,b) = (b,a).

C_n,k = D_n,k / k! = n! / k!(n-k)! = ⁿC_k coefficiente binomiale.

Esempio

Nel gioco del bridge, si hanno 52 carte. Ogni giocatore ne ha 13. Qual è la probabilità che il primo giocatore abbia le stesse carte della mano precedente?

Ho 52 elementi tra cui scegliere → n = 52.

Li raggruppo in 4 gruppi da 13, ma non mi importa l'ordine degli elementi all'interno del gruppo → (k = 13, 10, 9).

k = 13.

# modi in cui possono capitare le carte ad un giocatore = ⁵²C₁₃ = 52! / 13!(52-13)!

# casi favorevoli (modi in cui ti possono capitare di nuovo le stesse carte) = 1.

P_A = ¹/₅₂ = ^13!/39!/_52!.

Lo stesso risultato poteva essere raggiunto ragionando diversamente:

# casi possibili = modi in cui posso dare le carte = modi in cui posso ordinare 52 elementi → 52!

# casi favorevoli = modi in cui posso dare 13 carte al 1^o giocatore x modi in cui posso dare le carte agli altri → 13!.39!

P_A = ^13!.39!/_52!.

Combinazione con ripetizione

Per combinazione con ripetizione di n elementi di classe k, k ≤ n, si intende una delle possibili collezione di k elementi, non tutti diversi, presi tra gli n dati.

Ĉ_n,k = ^n+k-1C_k.

Esempio

Una ditta produce 5 diversi tipi di cioccolatini. Quanti tipi di scatole da 10 pezzi può confezionare?

Ho scatole da 10 elementi, non per forza tutti diversi → k=10.

Ho 5 tipi tra cui scegliere → n=5.

Ĉ_{5, 10} = ^5+10-1C₁₀ = ¹⁴C₁₀.

Proprietà del coefficiente binomiale

∂_n^k + ∂_n^k-1 = ∂_n+1^k Identità di Tartaglia.

(a+b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ ∂_n^k a^k b^n-k n ∈ N, a,b ∈ R.

Tabella riassuntiva delle differenze tra combinazioni e disposizioni

Mi interessa l'ordine degli elementi nell'insieme? SI.

Posso ripetere gli elementi nell'insieme?

• SI _Dn,k = n^k.
• NO _Dn,k = n!/(n-k)!.
• NO _Cn,k = ^(n+k-1)/_k.
• _Cn,k = ^n!/_k!(n-k)!.

Permutazioni semplici → n!

Permutazioni con ripetizioni → n!/k₁!...k_r!

P(A∪B)

Se ho eventi che non sono incompatibili [A∩B] ≠ ∅, devo calcolarle in modo diverso P(A∪B).

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C).

Probabilità condizionata

Dati due eventi A e B, come cambia la probabilità di A dato che B si è verificato?

B si verifica → B diventa B̅.

ω ∈ B.

Se si verifica A, ω deve appartenere ad A∩B.

P(A|B) = #casi favorevoli ad A∩B / #casi favorevoli a B = P(A∩B)/P(B).

P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Verifica che la probabilità condizionata verifichi gli assiomi

• 0 ≤ P(A|B) ≤ 1 → P(A∩B) = P(B).
• P(Ω|B) = 1 → P(∅|B) = P(B). P(B) = 1.
• P(A∩B) = ∅ → P(A∪B|C) = P(A|C) + P(B|C).

Dim: P(A∪B|C) = P((A∪B)∩C) = P(A∩C)∪(B∩C).

P(A∩C) = P(A|C).

P(A|B).

Legge delle probabilità composta

P(A∩B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A).

P(A₁∩A₂∩A₃...) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁,A₂) = P(A₂|A₁,A₂)P(A₁|A₂) = P(A₃|A₁,A₂)P(A₁)P(A).

Legge delle probabilità totali

Bₖ, k≥1 partizioni di Ω∪ Bₖ ΩBn∩Bn = ∅.

P(A) = Σ P(Bₖ)P(A|Bₖ).

Dimostrazione nel caso n = 2.

B₁ = B B₂ = B^c.

A = (A∩B)∪(A∩B^c).

P(A) = P(A∩B) + P(A∩B^c) = P(B)P(A|B) + P(B^c)P(A|B^c).

Teorema di Bayes

∪_i=1 F_i = Ω gli eventi F_i ricoprono S(Ω). Si verifica esattamente un evento di essi.

P(F_i | E) = ^{P(F_i ∩ E)}/_P(E) = ^{P(E | F_i) P(F_i)}/_{∑j P(E | Fj) P(Fj)}.

F_j = possibili ipotesi alternative che influenzano un qualche esperimento.

La formula ci mostra come è necessario modificare le opinioni su tali ipotesi da prima a dopo l'esperimento stesso, con le probabilità che passano da P(F_i) a P(F_i | E).

Sistemi

Sistemi in serie = il funzionamento è dato dal funzionamento di tutte i componenti → P(ok) = P(A) ∩ P(B) ∩ P(N).

Sistemi in parallelo → deve funzionare almeno un dispositivo P(ok) = P(A) ∪ P(B) ∪ P(N).

Estrazione da un'urna

Ho N palline in un'urna K sono arancioni e N-K sono bianche.

Posso estrarre le palline in due modi differenti:

• Con reimmissione.
• In blocco.

Estrazioni con ripetizione

Ogni estrazione viene fatta nelle stesse condizioni della precedente.

La probabilità di estrarre una pallina arancione è costante, ed è P(A) = p = ^K/_N.

Se voglio calcolare la probabilità di estrarre una pallina arancione su n estrazioni, avrò che P(E₁) = n · p(1-p)^n-1.

La probabilità di estrarre k palline arancioni con n estrazioni sarà invece data da P(E_k) = (ⁿ⁄_k) p^k (1-p)^n-k.

Distribuzione binomiale.

Modello di Bernoulli o binomiale → prende in considerazione una successione di eventi indipendenti ed aventi tutti la stessa probabilità.

Estrazioni in blocco

Estrazione n palline in blocco.

La probabilità che k siano arancioni è data da ^K⁄_k (^N-k⁄_h-k)(^N⁄_n).