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Probabilità

Spazio campionario -> Insieme di tutti gli esiti possibili.

Evento E, sottoinsieme di Ω, Insieme i cui elementi sono esiti possibili.

Se l'esito dell'esperimento è contenuto in E, Si è verificato E = una qualsiasi informazione sul risultato della prova.

Evento elementare = ωi singolo risultato della prova.

Esempio

Evento A: esce croce al primo (su due) forati.

  • A = {CT, CC},
  • Ω = {CT, CC, TC, TT}

C, T -> eventi elementari

→A si verifica se ω ∈ A

Gli eventi vengono studiati tramite insiemi.

Richiami di teoria degli insiemi

  • A ∪ B eventi, si verifica se si verifica ALMENO uno tra A e B.
  • A ∩ B si verifica se si verifica sia A che B.

Ω = evento certo

  • Negazione o complemento -> AC = A' = {ω ∈ Ω : ω ∉ A} → non si verifica Ω ∩ A' = Ø (evento impossibile)

m ∪ Ei → tutti gli esiti che appartengono almeno ad un Ei.

m ∩ Ej → gli esiti che appartengono ad ogni Ej

  • A ⊂ B → A è contenuto in B → A implica B → si verifica A, allora si verifica anche B.

Proprietà

  • commutativa → A∪B = B∪A, A∩B = B∩A
  • associativa → (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
  • distributiva → (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)

Leggi di De Morgan

(E∪F)c = Ec ∩ Fc

(E∩F)c = Ec ∪ Fc

Eventi

A∩B = ∅ → A e B eventi incompatibili

J=1nAj = Ω → eventi necessari

Se A1, A2, ..., An sono incompatibili e necessari si dice che formano una partizione di Ω

Ω = B ∪ Bc

A = A∩Ω = A∩(B ∪ Bc) = (A∩B) ∪ (A∩Bc)

Assiomi della probabilità

P(E), probabilità dell'evento E, deve soddisfare tre assioni:

  • 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • P(Ω) = 1
  • E1, ..., En incompatibili → P(∪i=1nEi) = ∑i=1nP(Ei) = la probabilità che si verifichi almeno un evento su un insieme di eventi incompatibili è pari alla somma delle probabilità che si verifichi ogni singolo evento nell'insieme.

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI

Ho n oggetti distinti, da ordinare in gruppi di k (K ≤ n). I gruppi sono formati da elementi non necessariamente diversi tra loro, presi dagli n dati. Ogni volta che formo un gruppo, posso scegliere tra n elementi:

Dn,k = nk

ESEMPIO:

Quanti modi possibili ho di generare una password con 8 caratteri, potendo scegliere tra maiuscole, minuscole e numeri? Ho 26 maiuscole, 26 minuscole e 10 cifre. n = 26 + 26 + 10 = 62 K = 8 -> devo formare un gruppo di 8 elementi: Posso ripetere ogni elemento quante volte voglio -> 628 possibili password

Combinazioni

Una combinazione semplice di n oggetti di classe K, K ≤ n, è uno dei possibili sottinsiemi non ordinati composti da K elementi distinti scelti tra gli n dati. In combinatoria differiscono solo per composizione, ma non per ordine -> (a, b) = (b, a)

Cn,k = Dn,k / k! = n! / k! (n - k)! = (n / k) -> coefficiente binomiale

ESEMPIO:

Nel gioco del bridge, si hanno 52 carte. Ogni giocatore ne ha 13. Qual è la probabilità che il primo giocatore abbia le stesse carte della mano precedente?

Ho 52 elementi tra cui scegliere -> n = 52 Li raggruppo in gruppi da 13, ma non mi importa l'ordine degli elementi all'interno del gruppo (k, q, j, 10, 9, ...) = (..., 9, 10, j, q, k) -> k = 13

# modi in cui possono capitare le carte ad un giocatore -> (52 sopra 13) = 52! / 13! (52 - 13)! # casi favorevoli (modi in cui ti possono capitare di nuovo le stesse carte) = 1

arancione su n estrazioni, avrò che

P(Ei) = n·p(1-p)n-1

n di estrazioni probabilità di non estrarre una pallina arancione nelle n-1 estrazioni estrarre 1 pallina arancione in n estrazioni

La probabilità di estrarre k palline arancioni con n estrazioni sarà invece data da

P(Ek) = nCk pk (1-p)n-k

possibili combinazioni k palline arancioni probabilità di estrarre k palline arancioni prob. di non estrarre palline arancione negli n-k esperimenti

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Modello di Bernoulli o binomiale prende in considerazione una successione di eventi indipendenti ed aventi tutti la stessa probabilità

ESTRAZIONI IN BLOCCO

Estrazione palline in blocco. La probabilità che k siamo arancioni è data da

tutti i modi che ho per scegliere k palline arancioni tra le K arancioni (KCk) (N-kCh-k) prob. che ho di estrarre n-k palline bianche dalle N-k bianche (NCn) # modi possibili che ho di estrarre n palline in blocco da N

Dettagli
Publisher
A.A. 2013-2014
12 pagine
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-S/01 Statistica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Caterina94L di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e calcolo della probabilità e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof De Gregorio Alessandro.