Riassunto esame Calcolo delle probabilità, prof. De Gregorio

Probabilità

Spazio campionario -> Insieme di tutti gli esiti possibili.

Evento E, sottoinsieme di Ω, Insieme i cui elementi sono esiti possibili.

Se l'esito dell'esperimento è contenuto in E, Si è verificato E = una qualsiasi informazione sul risultato della prova.

Evento elementare = ω_i singolo risultato della prova.

Esempio

Evento A: esce croce al primo (su due) forati.

• A = {CT, CC},
• Ω = {CT, CC, TC, TT}

C, T -> eventi elementari

→A si verifica se ω ∈ A

Gli eventi vengono studiati tramite insiemi.

Richiami di teoria degli insiemi

• A ∪ B eventi, si verifica se si verifica ALMENO uno tra A e B.
• A ∩ B si verifica se si verifica sia A che B.

Ω = evento certo

• Negazione o complemento -> A^C = A' = {ω ∈ Ω : ω ∉ A} → non si verifica Ω ∩ A' = Ø (evento impossibile)

m ∪ E_i → tutti gli esiti che appartengono almeno ad un Ei.

m ∩ E_j → gli esiti che appartengono ad ogni Ej

• A ⊂ B → A è contenuto in B → A implica B → si verifica A, allora si verifica anche B.

Proprietà

• commutativa → A∪B = B∪A, A∩B = B∩A
• associativa → (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
• distributiva → (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)

Leggi di De Morgan

(E∪F)^c = E^c ∩ F^c

(E∩F)^c = E^c ∪ F^c

Eventi

A∩B = ∅ → A e B eventi incompatibili

∪_J=1ⁿA_j = Ω → eventi necessari

Se A₁, A₂, ..., A_n sono incompatibili e necessari si dice che formano una partizione di Ω

Ω = B ∪ B^c

A = A∩Ω = A∩(B ∪ B^c) = (A∩B) ∪ (A∩B^c)

Assiomi della probabilità

P(E), probabilità dell'evento E, deve soddisfare tre assioni:

• 0 ≤ P(E) ≤ 1
• P(Ω) = 1
• E₁, ..., E_n incompatibili → P(∪_i=1ⁿE_i) = ∑_i=1ⁿP(E_i) = la probabilità che si verifichi almeno un evento su un insieme di eventi incompatibili è pari alla somma delle probabilità che si verifichi ogni singolo evento nell'insieme.

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI

Ho n oggetti distinti, da ordinare in gruppi di k (K ≤ n). I gruppi sono formati da elementi non necessariamente diversi tra loro, presi dagli n dati. Ogni volta che formo un gruppo, posso scegliere tra n elementi:

D_n,k = n^k

ESEMPIO:

Quanti modi possibili ho di generare una password con 8 caratteri, potendo scegliere tra maiuscole, minuscole e numeri? Ho 26 maiuscole, 26 minuscole e 10 cifre. n = 26 + 26 + 10 = 62 K = 8 -> devo formare un gruppo di 8 elementi: Posso ripetere ogni elemento quante volte voglio -> 62⁸ possibili password

Combinazioni

Una combinazione semplice di n oggetti di classe K, K ≤ n, è uno dei possibili sottinsiemi non ordinati composti da K elementi distinti scelti tra gli n dati. In combinatoria differiscono solo per composizione, ma non per ordine -> (a, b) = (b, a)

C_n,k = D_n,k / k! = n! / k! (n - k)! = (n / k) -> coefficiente binomiale

ESEMPIO:

Nel gioco del bridge, si hanno 52 carte. Ogni giocatore ne ha 13. Qual è la probabilità che il primo giocatore abbia le stesse carte della mano precedente?

Ho 52 elementi tra cui scegliere -> n = 52 Li raggruppo in gruppi da 13, ma non mi importa l'ordine degli elementi all'interno del gruppo (k, q, j, 10, 9, ...) = (..., 9, 10, j, q, k) -> k = 13

# modi in cui possono capitare le carte ad un giocatore -> (52 sopra 13) = 52! / 13! (52 - 13)! # casi favorevoli (modi in cui ti possono capitare di nuovo le stesse carte) = 1

arancione su n estrazioni, avrò che

P(E_i) = n·p(1-p)^n-1

n di estrazioni probabilità di non estrarre una pallina arancione nelle n-1 estrazioni estrarre 1 pallina arancione in n estrazioni

La probabilità di estrarre k palline arancioni con n estrazioni sarà invece data da

P(E_k) = ⁿC_k p^k (1-p)^n-k

possibili combinazioni k palline arancioni probabilità di estrarre k palline arancioni prob. di non estrarre palline arancione negli n-k esperimenti

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Modello di Bernoulli o binomiale prende in considerazione una successione di eventi indipendenti ed aventi tutti la stessa probabilità

ESTRAZIONI IN BLOCCO

Estrazione palline in blocco. La probabilità che k siamo arancioni è data da

tutti i modi che ho per scegliere k palline arancioni tra le K arancioni (^KC_k) (^N-kC_h-k) prob. che ho di estrarre n-k palline bianche dalle N-k bianche (^NC_n) # modi possibili che ho di estrarre n palline in blocco da N