vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Probabilità
Spazio campionario -> Insieme di tutti gli esiti possibili.
Evento E, sottoinsieme di Ω, Insieme i cui elementi sono esiti possibili.
Se l'esito dell'esperimento è contenuto in E, Si è verificato E = una qualsiasi informazione sul risultato della prova.
Evento elementare = ωi singolo risultato della prova.
Esempio
Evento A: esce croce al primo (su due) forati.
- A = {CT, CC},
- Ω = {CT, CC, TC, TT}
C, T -> eventi elementari
→A si verifica se ω ∈ A
Gli eventi vengono studiati tramite insiemi.
Richiami di teoria degli insiemi
- A ∪ B eventi, si verifica se si verifica ALMENO uno tra A e B.
- A ∩ B si verifica se si verifica sia A che B.
Ω = evento certo
- Negazione o complemento -> AC = A' = {ω ∈ Ω : ω ∉ A} → non si verifica Ω ∩ A' = Ø (evento impossibile)
m ∪ Ei → tutti gli esiti che appartengono almeno ad un Ei.
m ∩ Ej → gli esiti che appartengono ad ogni Ej
- A ⊂ B → A è contenuto in B → A implica B → si verifica A, allora si verifica anche B.
Proprietà
- commutativa → A∪B = B∪A, A∩B = B∩A
- associativa → (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
- distributiva → (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)
Leggi di De Morgan
(E∪F)c = Ec ∩ Fc
(E∩F)c = Ec ∪ Fc
Eventi
A∩B = ∅ → A e B eventi incompatibili
∪J=1nAj = Ω → eventi necessari
Se A1, A2, ..., An sono incompatibili e necessari si dice che formano una partizione di Ω
Ω = B ∪ Bc
A = A∩Ω = A∩(B ∪ Bc) = (A∩B) ∪ (A∩Bc)
Assiomi della probabilità
P(E), probabilità dell'evento E, deve soddisfare tre assioni:
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- P(Ω) = 1
- E1, ..., En incompatibili → P(∪i=1nEi) = ∑i=1nP(Ei) = la probabilità che si verifichi almeno un evento su un insieme di eventi incompatibili è pari alla somma delle probabilità che si verifichi ogni singolo evento nell'insieme.
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI
Ho n oggetti distinti, da ordinare in gruppi di k (K ≤ n). I gruppi sono formati da elementi non necessariamente diversi tra loro, presi dagli n dati. Ogni volta che formo un gruppo, posso scegliere tra n elementi:
Dn,k = nk
ESEMPIO:
Quanti modi possibili ho di generare una password con 8 caratteri, potendo scegliere tra maiuscole, minuscole e numeri? Ho 26 maiuscole, 26 minuscole e 10 cifre. n = 26 + 26 + 10 = 62 K = 8 -> devo formare un gruppo di 8 elementi: Posso ripetere ogni elemento quante volte voglio -> 628 possibili password
Combinazioni
Una combinazione semplice di n oggetti di classe K, K ≤ n, è uno dei possibili sottinsiemi non ordinati composti da K elementi distinti scelti tra gli n dati. In combinatoria differiscono solo per composizione, ma non per ordine -> (a, b) = (b, a)
Cn,k = Dn,k / k! = n! / k! (n - k)! = (n / k) -> coefficiente binomiale
ESEMPIO:
Nel gioco del bridge, si hanno 52 carte. Ogni giocatore ne ha 13. Qual è la probabilità che il primo giocatore abbia le stesse carte della mano precedente?
Ho 52 elementi tra cui scegliere -> n = 52 Li raggruppo in gruppi da 13, ma non mi importa l'ordine degli elementi all'interno del gruppo (k, q, j, 10, 9, ...) = (..., 9, 10, j, q, k) -> k = 13
# modi in cui possono capitare le carte ad un giocatore -> (52 sopra 13) = 52! / 13! (52 - 13)! # casi favorevoli (modi in cui ti possono capitare di nuovo le stesse carte) = 1
arancione su n estrazioni, avrò che
P(Ei) = n·p(1-p)n-1
n di estrazioni probabilità di non estrarre una pallina arancione nelle n-1 estrazioni estrarre 1 pallina arancione in n estrazioni
La probabilità di estrarre k palline arancioni con n estrazioni sarà invece data da
P(Ek) = nCk pk (1-p)n-k
possibili combinazioni k palline arancioni probabilità di estrarre k palline arancioni prob. di non estrarre palline arancione negli n-k esperimenti
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Modello di Bernoulli o binomiale prende in considerazione una successione di eventi indipendenti ed aventi tutti la stessa probabilità
ESTRAZIONI IN BLOCCO
Estrazione palline in blocco. La probabilità che k siamo arancioni è data da
tutti i modi che ho per scegliere k palline arancioni tra le K arancioni (KCk) (N-kCh-k) prob. che ho di estrarre n-k palline bianche dalle N-k bianche (NCn) # modi possibili che ho di estrarre n palline in blocco da N