Probabilità e Calcolo combinatorio

Matematica e StatisticaperScienze Biologiche

ProbabilitàCalcolo combinatorio.

A.A. 2021-2022

Matematica e Statistica

per

Scienze Biologiche

Probabilità

Calcolo combinatorio.

A.A. 2021-2022

Probabilità e calcolo combinatorio

Applicazione Numerica

In un lotto di biscotti, di 50 confezioni in scatole rigide, si trovano 5 scatole che sono esternamente uguali alle altre ma che, per errore della macchina confezionatrice, sono vuote. Vogliamo calcolare la probabilità che, estraendone 6 a caso, fra queste ve ne siano:

• 2 vuote;
• 3 vuote;
• nessuna vuota.

Dobbiamo innanzi tutto determinare quanti sono i possibili modi di estrarre 6 scatole da un gruppo di 50; poiché l’ordine di estrazione non conta e non ci possono essere scatole che compaiono due o più volte, si tratta di determinare le combinazioni semplici di 50 elementi a gruppi di 6:

C_50,6 = ⁽⁵⁰⁾⁄₍₆₎ = ^{50 · 49 · 48 · 47 · 46 · 45}⁄_6! = 15890700

Ricordiamo che

⁽ⁿ⁾⁄_(k) = ^{n(n–1)...(n–k+1)}⁄_k!

o anche

⁽ⁿ⁾⁄_(k) = ^n!⁄_k!(n–k)!

Lo spazio campionario Ω è costituito quindi da 15 890 700 elementi.Per determinare le probabilità richieste, dobbiamo individuare il numero dei casi favorevoli agli eventi considerati.

a. Poiché le confezioni estratte sono 6, l’evento prevede che ce ne siano 2 vuote e 4 piene; il numero di casi favorevoli è quindi il prodotto delle combinazioni semplici di 5 elementi (tanti quante sono le scatole vuote totali) a gruppi di 2, con le combinazioni semplici di 45 elementi (tanti quante sono le scatole piene totali) a gruppi di 4:

C_5,2 · C_45,4 = ⁽⁵⁾⁄₍₂₎ · ⁽⁴⁵⁾⁄₍₄₎ = ^{5 · 4}⁄_2! · ^{45 · 44 · 43 · 42}⁄_4! = 1489950

La probabilità dell’evento è allora ^1489950⁄_15890700 = 0,0937......, cioè circa del 9,4%.