Riassunto Algebra lineare e geometria

PREMESSE

GRUPPO

• INSIEME DOTATO DI UNA FUNZIONE CHE HA:
  • proprietà associativa
  • el. neutro
  • el. inverso

GRUPPO ABELIANO

• GRUPPO + proprietà commutativa

CAMPO

• INSIEME con 2 operazioni (+, .) t.c.
  • (K, +) è un gruppo abeliano con el. neutro 0
  • il prodotto è associativo
  • 1 el. neutro del prodotto
  • vale la proprietà distributiva
  • il prodotto è commutativo
  • tutti gli el. non nulli hanno un inverso moltiplicativo

ALGERBRA LINEARE

SPAZIO VETTORIALE

Uno spazio vettoriale V su un campo K è un insieme V t.c.

∃( V×V )→V,

∃ m: K×V (v,w)→v+w

(a,v)→a·v

somma tra vettori prodotto scalare per vettore

e devono esserci queste condizioni:

1. (V,+) è un gruppo abeliano
2. PROPRIETÀ DEL PRODOTTO:
• Distribuina
• Associativa
• 1 el. neutro

COMPOSIZIONE LINEARE

Dati v₁,...,v_n∈V e a₁,...,a_m∈K definiamo

a₁v₁+...+a_nv_n=∑_i=1ⁿa_iv_i la combinazione lineare dei vettori v₁,...,v_m rispetto agli scalari a₁,...a_m

scrittura alternativa:

A = (a_i,j)_{i=1...mj=1...n}

INSIEMI DI MATRICI

A ∈ Mat (m×m, K) ⇔ A è una matrice m×m a coeff. su K

• Mat (m×m, K, +) è un gruppo abeliano
• Mat (m, n, K) è uno sp. vettoriale in K

BASE STANDARD: (E)_ij = {1 al posto ij

0 altrimenti

dim Mat (m×n, K) = m·m

PRODOTTO TRA MATRICI

(riga per colonna)

∀A∈M(m×m, K), B∈M(m×s, K)

(A·B)_i,j = Σ_k=1 a_i,k b_k,j ⇒ AB ∈ Mat (m×s, K)

PRODOTTO MATRICI x VETTORI

(A·(

• x₁
• ⋮
• x_m

)_i = Σ_k=1 a_i,k·x_k

= x₁·A¹ + x₂·A² +...+ x_mA^m

=> ∃ c₁,...,c_k ∈ K t.c. ∑_r=k+1^m d_rw_r = ∑_i=1^k c_iM_i

⇔ ∑ c_iM_i = ∑_r=k+1^m d_rw_r = 0

{μ₁,...,μ_k,w_k+1,...,w_m} sono l.i. => d_r = 0 ∀r

analogamente per M₁,...,M_k,ν_k+1,...,ν_m, si combinano

i due risultati per ottenere la tesi.

SOMMA DI k SOTTOSP. VETT.

V sp. vett su K, W₁,...,W_k sottosp. di V

W₁ + ... + W_k = (W₁ + ... + W_k-1) + W_k

SOMMA DIRETTA k SOTTOSP.

W₁ + ... + W_k è somma diretta

⇔ ∀ i = 2,...,k : W_i ∩ (W₁ + ... + W_i-1) = (∅)

lo scriviamo così: W₁ ⊕ ... ⊕ W_k

APPLICAZIONI LINEARI

V, W due sp. vett. su K

F : V → W si dice applicazione lineare se

1. ∀ u₁, u₂ ∈ VF(u₁ + u₂) = F(u₁) + F(u₂)
2. ∀ λ ∈ K e ∀ u ∈ V : F(λ u) = λ F(u)

SISTEMI LINEARI

Dati V,W sp. vett. con dim V=m e dim W=m sia b∈W e F:V→W lineare

risolviamo {F(x)=b}(1) cercando x∈V t.c. F(x)=b

introduciamo il problema {f(x)=0_w}, le cui sol sono gli el. di Ker F

Supponiamo b∈Im f , x₁,x₂ due sol. di (1)

=> F(x₁)-F(x₂)= 0_w || f. lin.

F(x₁-x₂) ⇔ x₂-x₂ ∈ Ker F

⇔ ∃y∈Ker F t.c. x₁-x₂=y x₁=y+x₂

∀z sol. di (1) , ∀y∈Ker F

F(z+y)= F(z) + F(y) = F(z) = b

=> z+y è sol. di (1)

Conclusione:

se (1) è risolvibile allora tutte le sol. di (1) si ottengono con {z+y, y∈Ker F}

Teorema di Binet

∀A, B ∈ M(n, K), si ha

det(A · B) = detA · detB = detB · detA = det(B · A)

Dim.

Fissiamo B, definiamo g_B: M(m, n) → K

g_B(A) = det(B · A)

g_B è multilineare e alternante nelle colonne

g_B(I_m) = det(B · I_m) = detB

x il Teo. prec. ∃! appl. multi e alter. che vale

detB su I_m ed è: A → detB · detA

⇒ g_B(A) = detB · detA

det(B · A)

Autovalore x Matrici

A ∈ M(n, k)

λ ∈ K si dice autovalore di A ⇔ ∃ x ∈ K^m x ≠ e t.c.

A x = λ x

Naturalmente, x è l'autovettore relativo a λ e

V(λ) = Ker(A - λ I_m) = { x ∈ K^m | A x = λ x } v K^m è l'autospazio relativo a λ

Polinomio Caratteristico

P_A(χ) è il polinomio caratteristico di A

λ ∈ K autovalore di A ⇔ λ è una radice di P_A(χ)

cioè P_A(λ) = 0

Traccia

A ∈ M( _m, _k )

tr A = a₁₁ + ... + a_mm

Traccia di A = somma degli el. sulla diagonale

P_A(χ) = (-1)^mχ^m + (-1)^m-1tr(A)χ^m-1 + ... + det A

w_m+1 ∈ <w₁, ..., w_m>

∃ a₁, ..., a_m ∈ K t.c. w_m+1 = a₁w₁ + ... + a_mw_m =

= a₁r + a₂g(r)t + ... + a_mj^m-1(r) = j^m(r)

j^m(r) - ∑_i=1^m-1 a_ijⁱ(r) = 0_V

q(x) = x^m - ∑_i=1^m-1 a_ixⁱ, q(j)(r) = 0

Considero (w₁, ..., w_m, u₁, ... u_m-n) base di V (β)

A = (M_β^ϕ_β)

D_g(x) = P_M(x)·P_D(x) = (-1)ⁿ(a₁-a₂x - ... - a_mx^m+1 + xⁿ).P_D(x) = (-1)ⁿq(x).P_D

q(j)(r) = 0

D_g(gⁱ)(x) = (-1)^m(q(gⁱ).D_g(j₁))(x)=0 perché q(gⁱ)(r)=0

NIL POTENZA

A∈M(n,k) si dice nilpotente se ∃k>0 t.c.

A^k = ϑ

RANGO FORME QUADRATICHE

Sia q:V→K quadratica dim V=m+ρ. Sia A la matrice che rappresenta q su una base di V ⇒ rango di q r(q)=r(A).

INDICE DI NULLITÀ

n₀(q):=m-r(q)

CONGRUENZA

q e q' quadratiche sono congruenti se le loro matrici associate in una base sono congruenti.

FORME SEMI-DEFINITE

V spazio vett. reale, φ:V×V→ℝ bilineare simmetrica, q:V→ℝ quadratica associata a φ.

q (o φ) si dice semi-definita positiva quando

• φ⩾0 (o q⩾0) se ∀ v∈V q(v)⩾0
• q(v)>0 φ'⟨v|v⟩

^NB: VICEVERSA PER IL NEGATIVO

FORME DEFINITE

φ⨄0 (o q⨄0) se ∀ v∈V q(v)⩾0 e q(v)=0⇔v=0

equivalentemente ∀ v≠0 q(v)>0

MATRICI (SEMI)DEF

A∈Mₙ(ℝ) simmetrica è (semi)def positiva quando

∀ v⊂ ℝⁿ con φₐ(x|y)=t x Ay

FORME INDEFINITE

q si dice indefinita se ∃ u,w∈V t.c. q(u)0