Riassunto corso ALGEBRA LINEARE (Prof. Tommasi) - Seconda Parte

Matrici

Siano V, W e Z applicazioni lineari. L'applicazione composta è ψ ∘ φ. È anch'essa un'applicazione lineare. Qual è la sua matrice associata?

Esempio

^R2 _φ → ^R3 _ψ → ^R2

φ(v) = Bv       ψ(w) = Aw

B = \[\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\] = (b₁, b₂)     A = \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\]

Allora φ ∘ ψ(v) = Cv con C ∈ M_2,2(^R)

Calcoliamo:

e₁ = \[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\] → B\[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\] = b₁ → ↳ A·b₁

e₂ = \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] → B\[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] = b₂ → ↳ A·b₂

Quindi: C = (Ab₁, Ab₂) = A·B

Definizione

A matrice mxn   B matrice nxp

Il prodotto A·B è la matrice mxp le cui colonne sono vettori (Ab₁, Ab₂, ..., Ab_p)

Osservazione: A·B è la matrice associata (rispetto alle basi canoniche) a ψ ∘ φ: ^Rn → ^Rm

con ψ: ^Rm → ^Rm ψ(v) = Aw e φ: ^Rp → ^Rm con φ(w) = Bw

Nell'esempio

A = \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\]

Ab₁ = \[\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\] + 0 \[\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}\] + 2 \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Ab₂ = \[\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\] + 1 \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] - 0 \[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\] - \[\begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}\]

AB = \[\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\]

Matrici

Siano V → W e W → Z applicazioni lineari. L'applicazione composta è Ψ o φ.

V         |                  ← f(I[v])

V(I[v]) → Z

È anch'essa un'applicazione lineare. Qual è la sua matrice associata?

Esempio

^R2   ← ^R3    Φ             Ψ   → ^R2

φ(I[v]) = Bv Ψ Φ (I[v]) = AvB =   [  -1 02, 0] [b₁, b₂]

A = [        2, 0, 1-1, 0]

Allora Φ Ψ (I[v]) = Cv con C ∈ M_2,2(R)

Calcoliamo       1 0 [0]      [1]        Φ^-1         Ψ        E_2,2        [0, 1]              [A.b₂]

Quindi C = (A_b1b2A. b)   A . B

Definizione

A matrici mxn   B matrici nxp

Il prodotto A.B è la matrice mxp le cui colonne sono vettori (Ab₁, Ab₂... Ab_p)

dove B = (b₁ ... b_p)

Osservazione: A vera posizione lin

Nell'esempio

A           20₁             (+b₂)   -1 ^-2

Ab₁ = 1 2^-1   +0 ^{1 0}   Ab₂ = 1 0

Ab =

Osservazione

^a₁₁ … ^a_1m … ^a_n1 … ^a_nm

m righe

B(^b₁₁ … ^b_1n … ^b_m1 … ^b_mn)

p colonne

1 ≤ i ≤ m

1 ≤ k ≤ p

c_ik = zⁿ_j=1 a_ij b_jk

e_ij → righe di A

b_jk → colonne di B

→ Prodotto righe per colonne

In generale: V → W

ψ Z

applicazione lineare

base V base W b