Riassunto corso ALGEBRA LINEARE (Prof. Tommasi) - Seconda Parte

Matrici

Siano V, W e Z applicazioni lineari.

L'applicazione composta è ψ ∘ φ.

È anch'essa un'applicazione lineare.

Qual è la sua matrice associata?

Esempio:

^R² _φ → ^R³ _ψ → ^R²

φ(v) = Bv       ψ(w) = Aw

B = \[\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\] = (b₁, b₂)     A = \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\]

Allora φ∘ψ(v) = Cv con C ∈ M_2,2(^R)

Calcoliamo:

e₁ = \[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\] → B\[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\] = b₁ → ↝ A·b₁

e₂ = \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] → B\[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] = b₂ → ↝ A·b₂

Quindi: C = (Ab₁, Ab₂) = A·B

Definizione A matrice mxn   B matrice nxp

Il prodotto A·B è la matrice mxp le cui colonne sono vettori (Ab₁, Ab₂, ..., Ab_p)

Osservazione: A·B è la matrice associata (rispetto alle basi canoniche) a ψ∘φ: ^Rn → ^Rm

con ψ: ^Rm → ^Rm ψ(v)=Aw e φ: ^Rp → ^Rm con φ(w)=Bw

Nell'esempio A = \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\]

Ab₁ = \[\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\] + 0 \[\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}\] + 2 \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Ab₂ = \[\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\] + 1 \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] - 0 \[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\] -\[\begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}\]

AB = \[\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\]

Matrici

Siano V → W e W → Z applicazioni lineari.

L'applicazione composta è Ψ o φ.

                V        |                 ←f(I[v])V(I[v])→ Z

È anch'essa un'applicazione lineare.

Qual è la sua matrice associata?

Esempio:  ^R²  ← ^R³   Φ            Ψ →^R²

φ(I[v]) = Bv

Ψ Φ (I[v]) = Av

B =   [  -1 02, 0] [b₁, b₂]A = [        2, 0, 1-1, 0]

AlloraΦ Ψ (I[v]) = Cv con C ∈ M_2,2(R)

Calcoliamo      1 0 [ 0]     [ 1]       Φ^-1         Ψ

       E_2,2       [ 0, 1]              [A.b₂]

Quindi C=(A_b1b2A. b) A . B

DefinizioneA matrici mxn B matrici nxp

Il prodotto A.B è la matrice mxp le cui colonne sono vettori (Ab₁, Ab₂... Ab_p)dove B=(b₁ ... b_p)

Osservazione: A vera posizione lin

Nell'esempioA          20₁            (+b₂)  -1 ^-2

Ab₁ = 1 2^-1  +0 ^{1 0}  Ab₂ = 1 0Ab =

Osservazione:

^a₁₁ … ^a_1m

…

^a_n1 … ^a_nm

m righe

B

(

^b₁₁ … ^b_1n

…

^b_m1 … ^b_mn

)

p colonne

1 ≤ i ≤ m

1 ≤ k ≤ p

c_ik = zⁿ_j=1 a_ij b_jk

e_ij → righe di A

b_jk → colonne di B

→ Prodotto righe per colonne

In generale

ɸ: V → W

ψ

Z

applicazione lineare

base V base W b