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Matrici
Siano V → W 限 Z
L'applicazione composta:
applicazioni lineari.
È anch'essa un'applicazione lineare
Qual è la sua matrice associata?
Esempio:
ψ(v)=Bv
ψ(φ(v))=Aw
Allora
φω(v)=Cv con C ε M22(ℝ)
Calcoliamo
- e1->(10) → B( 10)=b1 →χ A·b1
- e2->(01) → B( 01)=b2 →χ A·b2
Quindi C=(Ab1 | Ab2)=A·B
Definizione
A matrice m×n B matrice n×p
Il prodotto A·B è la matrice m×p le cui colonne sono vettori (Ab1, Ab2, ..., Abp)
Osservazione
A·B è la matrice associata (rispetto alle basi canoniche) a ψoφ: ℝm → ℝm
Nel esempio
A B (-10)
2 01 01 (12)
1 -10 20
Ab1=-12 (21) + 0(01) + 2(20)
Ab2=-12 (21) + 1 (01)
AB= (0-2)
Osservazione:
AB = C = (cijk)
1 ≤ i ≤ m 1 ≤ k ≤ p
cik= ∑ aij bjk
j=1
i: eij ≡ righe di A bjk ≡ colonne di B
→ Prodotto righe per colonne
In generale
V → W → Z
applicazione lineare
base V base W base Z
Allora vale
A0; Z; ψ; φϕ → AW; Zψ Aψ; Wφϕ
Applicazione lineare
φϕ: V → W
dim W m n
base W
A = AW; W; φϕ
Cosa compone all'identità su V?
iV: V → V iV(V)i
V2 = {w1, ..., wn} base di V
idv(Vi) = Vi ∑ δij Vj
i=1
con δij = {1 se i=j0 se i ≠ j}
Quindi il vettore dv(Vk) ha coordinate
δ1kδ2kδnk = Li rispetto a V
AV; V; iv = (e1, ..., en)
In ∈ Mm, n(ℝ) matrice di identità di ordine n
1 0 00 1 00 0 1
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