Riassunto corso Algebra lineare (Prof. Tommasi) - Prima Parte

Numeri complessi

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

Somma

N × N -> N ad una coppia di numeri naturali si associa un terzo numero naturale (n, m) -> n+m (h, k) -> h+k

Prodotto (⨉)

N × N -> N (n, m) -> n ⨉ mZ ⨉ Z -> Z(h, k) -> (h ⨉ k)

Abbiamo gli elementi particolari: elementi neutri per somme e prodotti.

Elementi neutri

Somma: Per ogni intero m, e, n 0+m=m, 1+h∈N, ∀h∈Z, k∈Z, k+0=k

Prodotto

1,m∈N, n⨉1=n ∀h∈Z h: 1⨉h

Proprietà aggiuntive delle somme

∀s∈Z ∃t∈Z ∃l∈Z t|s(l⨉s) l-s

Non è vero invece che ∀s∈Z ∃t∈Z t|s t|st|t ⨉ prodotto

Numeri razionali

Q: insieme di tutti i numeri del tipo ^m/_n con m∈Z, n∈Z \ {0}

^m/_m' definiscono lo stesso numero razionale se e solo se m⨉n' = n⨉m'

Anche su Q è definito la somma: ^m/_n + ^m'/_n' = ^{mn' + m'n}/_n⨉n' e il prodotto ^m/_n ⨉ ^m'/_n' = ^m⨉m'/_n⨉n'

Proprietà

• Commutativa delle somme: ∀x,y∈Q (x+y) = y+x
• Associatività delle somme: ∀x,y,z ∈ Q, (x+y) + z = x + (y+z)
• Commutativa del prodotto: ∀x,y∈Q, x⨉y = y⨉x
• Associatività del prodotto: ∀x,y,z ∈ Q, (x⨉y) ⨉ z = x⨉(y⨉z)
• Distributività: ∀x,y,z ∈ Q, x(y+z) = (x⨉y) + (x⨉z)
• Elemento neutro delle somme: ∀x∈Q, x+0=x
• Elemento neutro del prodotto: ∀x∈Q, x⨉1=x
• Opposto per la somma: ∀x∈Q, ∀y∈Q ⊕x = 0 (se ^x/_m con n∈Z \ {0}, g = - ^m'/_n⨉(^m/_n ⨉ 0))
• Inverso per il prodotto: O non ammette inverso, ma ∀x∈Q \ {0} 3.y| x⨉y = 1 (se ^x/_m con m∈Z, n∈Z \ {0}, x>0 g = ^m/_n m/n)

Tutte queste proprietà definiscono un CAMPO, deve esistere l’inverso (N non è un campo).

Numeri complessi

NN Z E SQ C R C SOMMA: (N x N -> N) a due coppie di numeri naturali si associa un terzo numero naturale. (n, m) -> n+m (h, k) -> h+k

Prodotto

(N x N -> N) (n, m) -> n·m (h, k) -> h·k

Abbiamo gli elementi particolari: elementi neutri per somme e prodotto.

Somma: Per ogni intero m∈N o+m=m, ∀h∈N, ∃k∈Z, k∈Z, k+o=k

Prodotto: ∀h∈Z, h·1=h

R₁.sup rispetto a più delle somme: ∀s∈Z ∃t∈Z t∈Zs.t.o. t-s

Non è vero invece che ∀s∈Z ∃t∈I s.t.o prodotto

Numeri razionali

Q: insieme di tutti i numeri del tipo ^m/_n con m∈Z, n∈Z \ {0}.

^m/_m' definiscono lo stesso numero razionale se e solo se m·n'=n·m'

Anche su Q è definita la somma: m' + m'' = ^m'·m''/_{n' + n''} = n'·n''

E il prodotto: m' · m'' = ^m'·m''/_{n' · n''} = n'·n''

Proprietà

• Commutativa delle somme: ∀x, y ∈ Q, x+y = y+x
• Associatività delle somme: ∀x, y, z ∈ Q, (x+y)+z = x+(y+z)
• Commutatività del prodotto: ∀x, y ∈ Q, x·y = y·x
• Associatività del prodotto: ∀x, y, z ∈ Q, (x·y)·z = x·(y·z)
• Distributività: ∀x, y, z ∈ Q, x·(y+z) = (x·y) + (x·z)
• Elemento neutro delle somme: ∀x∈Q, x+0=x
• Elemento neutro del prodotto: ∀x∈Q, x·1=x
• Opposto per la somma: ∀x∈Q, ∃y∈Q, y+x=0 (se x=^m/_n con m ∈ Z, n∈Z \ {0}, g=-^m/_n allora m'+m-g=^-m/_n) = 0
• Inverso per il prodotto: 0 non ammette inverso, ma ∀x∈Q \ {0}, x·y=1 (se x=^m/_n con m ∈ Z, n∈Z \ {0}, allora g=ⁿ/_m verificare x·y=^mn/_mn =1)

Tutte queste proprietà definiscono un CAMPO, deve esistere l'inverso (N non è un campo)

Domanda: √2 ∈ ℚ?

√2 = p/q ⇒ z = p²/q² ⇒ p² = 2q² → p = 2p(2p)² = 2q²4(p)² = 2q²(q)² = q²q = 2q p/q = 2p/2q contraddizione: √2 ∉ ℚ

Definizione di numeri reali ℝ

Prendiamo una retta, scegliamo un'origine, una direzione e un'unità di misura -2 -1 0 1 2 unità di misura, 1, radici di due. Prendiamo tutti i punti. Tutte le possibili lunghezze di segmento della retta (con segno) sono numeri reali ℝ. Lo Euclide. Se si suddivide la circonferenza sull'asse X si trova π.

X² + 2 = 0 non ha soluzioni in ℝ perché x² = -2

Problema

Dato un qualsiasi polinomio P(x) = a_nXⁿ + a_{n-1x^n-1 +... + aaxo n axo n ℤ are ℝ trova le radici.}

Ci sono casi in cui le radici sono numeri complessi

Soluzioni

Su campo ℂ la soluzione è il Teorema fondamentale dell'algebra che afferma che ogni polinomio...