Riassunto corso Algebra lineare (Prof. Tommasi) - Prima Parte

Numeri complessi

N, Z, Z, Q, R, C

Somma: N x N -> N ad una coppia di numeri naturali si associa un terzo numero naturale(m, n) -> m+nZ x Z -> Z(h, k) -> h+k

Prodotto: N x N -> N(m, n) -> m·n

Z x Z -> Z(h, k) -> h·k

Abbiamo gli elementi particolari: elementi neutri per somme e prodotto.

Somma: Per ogni intero mЄN o+m=m, ꓯhЄN, ꓯkЄZ, k+0=kProdotto: ꓯnЄN, m·1=m ꓯhЄZ h.1=h

Non è vero invece che ꓯsЄZ ꓯtЄZ ꓯl s.t. l=prodotto

Numeri razionali: Q insieme di tutti i numeri del tipo m/n con mЄZ, nЄZ\{0}.

Proprietà: Commutativa della somma:ꓯx, yЄQ, x+y=y+x

Associatività delle somme: ꓯx, y, zЄQ, (x+y)+z=x.(y+z)

Commutatività del prodotto:ꓯx, yЄQ, x·y=y·x

Associatività del prodotto:ꓯx, y, zЄQ, (x·y)·z=x·(y·z)

Distribuità: ꓯx, y, zЄQ, (x·(y+z) = (x·y) + (x·z)

elemento neutro delle somme: ꓯxЄQ x+0=x

elemento neutro del prodotto: ꓯxЄQ x·1=x

Opposto per le somme: ꓯxЄQ ꓯ7ЄQ g+x=0

- (Se x=m/n con mЄZ, nЄZ\{0}, g=-m/n, g=-m/n)

Inverso per il prodotto: 0 non ammette inverso, ma ꓯxЄQ\{0} ꓯ7ЄQ x·y=1

- (Se x=m/n con mЄZ, nЄZ\{0}, x≠0 g=n/m - x·g=mn·nm=1)

Tutte queste proprietà definiranno un campo, deve esistere l'inverso (N non è un campo)

Domanda:

√2 ∈ ℚ ?

√2 = p/q√2 = z = p²/q²z = p²/q²

(2p)² = 2q²2p = 2q

corrado znove √2 ∉ ℚ

Definizione: I numeri reali ℝ prendiamo una retta scegliamo un'origine una direzione e una unità di misura

Pendiamo tutti i puntiTutte le possibili lunghezze di segmenti delle rette (con segno)Sono numeri reali ℝ

Se si suddole la circonferenza uniziae x = 12zx + 2z + 2 = 0

Problema:

Dato un polinomio P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ con z_n⊂𝕙

trovere le radici.Ci sono casi in cui le radici sono numeri complessi.

Soluzioni: sul campo ℂ la soluzione è il Teorema Fondamentale dell'algebra che afferma che ogni polinomio ammette una radiceOgni equazione polinomiali ∑_i=1