Riassunto completo statistica + esempi

Riassunto elementi di statistica

Definizione di statistica

Ramo della matematica che tratta l’analisi e l’interpretazione di una quantità di dati.

Storia della statistica

• Già in Egitto dal 3000 a.C. si realizzavano censimenti della popolazione per motivi fiscali, militari e per conoscere la consistenza della manodopera per realizzare opere ingegneristiche.
• Nell’antica Roma venivano effettuati censimenti, che servivano anche per determinare le tasse che ogni cittadino doveva corrispondere.
• Nel 1565 si rese obbligatoria la compilazione di registri parrocchiali per i battesimi, i matrimoni e le morti.
• John Graunt nel 1662 condusse delle indagini demografiche sulla popolazione londinese ed è pertanto considerato uno dei fondatori della demografia.
• Blaise Pascal e Pierre de Fermat, scienziati francesi del 1600, contribuirono allo sviluppo della statistica attraverso il calcolo delle probabilità e consentendo il passaggio dalla statistica descrittiva all’inferenziale.

Fenomeno statistico

Un fenomeno statistico (o variabile statistica) è l’oggetto dell’indagine; è una caratteristica di ogni unità statistica della popolazione. Un fenomeno statistico è caratterizzato dall’attitudine a variare.

Differenza popolazione-campione

• La popolazione (o universo di riferimento) è l’insieme degli individui o oggetti che si vogliono studiare (unità statistiche). Non è necessariamente costituita da individui fisici. Un censimento è lo studio effettuato sull’intera popolazione.
• Una variabile è una caratteristica registrabile su ogni unità appartenente alla popolazione.
• Il campione è una parte (un sottoinsieme, una fetta) di popolazione. Il campione non è unico, ossia campioni differenti possono essere estratti dalla stessa popolazione.

Perché si seleziona un campione

Normalmente si seleziona un campione per tre motivi:

• Problemi di tempo: analizzare l’intera popolazione costerebbe troppo tempo.
• Problemi di costo: studiare l’intera popolazione costerebbe troppo.
• Problemi di impossibilità: potrebbe non essere possibile identificare ogni elemento della popolazione.

Errore di campionamento

È la differenza tra una caratteristica misurata sull’intera popolazione e la stessa riscontrata in un campione di quella popolazione. La grandezza dell’errore dipende da due fattori:

• Ampiezza del campione: maggiore sarà il campione e maggiore sarà la somiglianza con la popolazione di interesse, diminuendo così l’errore di campionamento.
• Variabilità della popolazione: il grado di variabilità è una misura di come gli elementi della popolazione differiscono gli uni dagli altri in riferimento alla variabile sotto studio.

Differenza tra un parametro ed una statistica

• Parametro: valore numerico che descrive una caratteristica della popolazione.
• Statistica: valore numerico che descrive una caratteristica di un campione.

Il reddito medio in una popolazione è un parametro. Il reddito medio ottenuto da un campione, estratto dalla popolazione per stimare il reddito medio della popolazione, è una statistica.

Fattori che influenzano la dimensione del campione

• Variabilità della popolazione: per determinarla possiamo usare informazioni sulla variabilità in una popolazione simile a quella che stiamo studiando, oppure possiamo utilizzare precedenti studi sulla stessa popolazione o possiamo condurre uno studio pilota. Più gli individui sono simili e meno variazione vi è nella popolazione e di conseguenza la dimensione del campione può essere minore.
• Errore che si è disposti a tollerare: più si vuole ridurre l’errore e più grande deve essere il campione.
• Risorse disponibili (tempo, denaro...)
• Dimensione N della popolazione: numero di unità statistiche della popolazione.

N.B. la dimensione della popolazione è il numero delle unità statistiche e il relativo simbolo è N; la dimensione del campione si indica con n.

Selezionare un campione

1. Scegliere un campione senza distorsioni: un campione dovrebbe essere idealmente una versione in miniatura della popolazione e dovrebbe perciò contenere tutti gli aspetti chiave. Un campione distorto è un campione non rappresentativo della popolazione.
2. Scegliere un campione casuale semplice: è un campione che è stato scelto in modo tale che tutti i membri della popolazione abbiano la stessa probabilità di essere scelti. Inoltre, ogni campione di dimensione n ha la medesima probabilità di diventare il campione selezionato.
3. Creare la base di campionamento: creare ossia l’elenco di tutte le unità statistiche della popolazione.
4. Usare una tabella di numeri casuali per selezionare il campione. I numeri creati a caso sono disposti nello stesso ordine di creazione.

Tipi di dati

Il tipo di analisi statistica da applicare dipende dal tipo di dati raccolti. È importante identificare i dati prima di analizzarli poiché vengono usate tecniche statistiche differenti a seconda del tipo di dati.

Dati qualitativi

Descrivono una caratteristica particolare di un’osservazione campionaria. Nella maggior parte dei casi non sono numerici. Sono la forma più semplice di dati.

• I dati creati assegnando codifiche numeriche alle diverse categorie, senza che tali numeri abbiano un reale significato, sono chiamati dati nominali (sesso, stato civile, colore occhi).
• I dati creati assegnando numeri alle categorie dove l’ordine di assegnazione ha un significato sono detti dati ordinali (livello di gradimento, livello di accordo, frequenza).

Dati quantitativi

Dati che sono intrinsecamente numerici.

• Dati discreti: possono assumere solo determinati valori, che sono spesso numeri interi, o comunque non decimali. Derivano dal conteggio del numero di volte in cui qualcosa accade. È necessario chiedersi se ha senso fare operazioni matematiche utilizzando questi numeri e se la risposta è positiva, questi valori vanno considerati dati discreti (numero di prezzi difettosi, n° fratelli, esami sostenuti in una sessione).
• Dati continui: dati numerici non discreti. Possono assumere un infinito numero di valori possibili entro un intervallo di valori della scala numerica, con un’unità di misura. Sono spesso il risultato di misurazioni (statura, peso, concentrazione di polveri sottili).

Statistica descrittiva

Gli strumenti della statistica descrittiva permettono di descrivere un campione o una popolazione sintetizzando i dati.

• Strumenti descrittivi grafici e visivi: diagrammi, istogrammi, aerogrammi. Aiutano a capire come i dati si comportano e hanno la funzione di riassumere i dati visivamente.
• Strumenti descrittivi numerici: permettono di sintetizzare i dati numericamente. In generale, una sintesi numerica è formata da statistiche quali la media, la mediana, la moda, il valore massimo e il valore minimo. La statistica descrittiva consente una descrizione del campione, ma a noi interessa la popolazione!

Statistica inferenziale

Una inferenza è una deduzione o una conclusione. Le tecniche della statistica inferenziale ci permettono di trarre conclusioni (inferenze) su una popolazione basandoci sulle informazioni contenute nel campione.

Bisogna attuare uno studio di probabilità.

• Teoria della probabilità: usata per calcolare la “verosimiglianza” di osservare o selezionare un particolare campione della popolazione.

Relazione tra la probabilità e la statistica inferenziale

La freccia che parte dal campione e va verso la popolazione rappresenta la “statistica inferenziale”. Gli strumenti della statistica inferenziale si usano per veicolare l’informazione del campione sulla popolazione. Bisogna trarre conclusioni su di una popolazione basandosi su un campione osservato e sulla teoria della probabilità.

La sommatoria

Il simbolo sigma è una notazione sintetica, utilizzata per scrivere formule statistiche. Deriva dalla lettera maiuscola Σ dell’alfabeto greco. Il simbolo sigma nella parte destra dell’equazione si legge: “la sommatoria delle x per i che va da 1 a n”.

Statistica descrittiva (rappresentazione grafica dei dati)

Organizzazione dei dati

Quando i dati sono stati raccolti, il risultato iniziale è di solito una lista di quanto osservato per ogni variabile, i cosiddetti dati grezzi. Esempio:

La distribuzione di frequenza

Un modo di organizzare i dati grezzi consiste nel determinare quante volte ogni valore o categoria ricorre nei dati e nel riassumere le informazioni in una tabella.

• Tabella di frequenza o distribuzione di frequenza: registra ogni categoria, valore o classe di valori che una variabile potrebbe avere e il corrispondente numero di volte che ognuna di esse ricorre nei dati, detto frequenza assoluta. La frequenza della i-esima categoria è indicata con f_i.

Tabelle di frequenza per dati qualitativi

Una classica tabella di frequenza semplice consiste in due colonne:

• Nella prima colonna, ogni riga riporta dei valori della variabile di interesse.
• Nella seconda colonna, ogni riga riporta il corrispondente numero di volte che tale valore ricorre nel campione (insieme di dati).

Non è importante la sequenza delle categorie. Per campioni di grandi dimensioni, le singole frequenze sono numeri molto più grandi rispetto ai campioni più piccoli, rendendo il confronto tra campioni diversi difficile. Il problema è risolto mediante l’utilizzo della frequenza relativa, ossia una classificazione che consiste nel numero di volte in cui un’osservazione si ritrova all’interno della classificazione stessa, rappresentata come una porzione del numero totale di osservazioni. È il rapporto tra la frequenza f_i e il numero totale delle osservazioni (dimensione del campione) n. La frequenza relativa può essere espressa come una frazione, decimale o percentuale. Esempio:

Tabelle di frequenza per dati quantitativi discreti

La progettazione della tabella è identica a quella per i dati qualitativi, con la semplice differenza che, avendo i valori numerici un reale significato, è necessario numerare le categorie secondo un ordine logico.

Dal momento che i dati quantitativi sono intrinsecamente ordinati, è interessante porsi domande come “quale percentuale di studenti colloca la statistica nella metà inferiore della scala? E nella metà superiore? Quale percentuale ha opinione neutrale?”...

Si può rispondere utilizzando la frequenza relativa cumulata: è la somma della frequenza relativa di quella classe con quelle di tutte le classi precedenti. Indica la frazione (o percentuale) di unità nel campione che presentano una classe uguale o più piccola di quella in esame. La frequenza relativa cumulata si può calcolare per variabili almeno ordinali (quindi non per variabili qualitative nominali!).

Se il numero di possibili valori è di molto superiore a 15 o 20, è preferibile usare i metodi per i dati continui.

Tabelle di frequenza per dati quantitativi continui

Dati che derivano da misurazioni possono assumere valori differenti in un campione, per cui non possiamo usare ogni valori come una categoria per la tabella di frequenza. È necessario riflettere su come definire le categorie o le classi per i dati, rispondendo a due domande:

1. Quante classi devono esserci nella tabella?
2. Quanto ampia deve essere ogni classe?

Per rispondere alla domanda n° 1 bisogna seguire due regole:

1. Il numero di classi nella tabella di frequenza deve essere approssimativamente uguale alla radice quadrata del valore della dimensione n del campione. Se il risultato dovesse dare un numero non intero, si considera solo la parte intera.
2. Il numero delle classi non deve essere inferiore a 5 o maggiore di 20.

Per rispondere alla domanda n° 2 bisogna avere presente quali informazioni la tabella deve fornire:

1. Le classi devono comprendere tutti i valori dell’insieme dei dati.
2. Le classi non devono essere sovrapposte. Per determinare il limite inferiore e il limite superiore di ogni classe dobbiamo ricordare che le classi non si possono sovrapporre e che non possono essere interruzioni nell’intervallo. Possiamo definire una classe come un insieme contenente tutte le osservazioni dal limite inferiore a quello superiore, senza includere quest’ultimo:

Rappresentazioni grafiche dei dati qualitativi

• Diagramma a barre: rappresenta la frequenza o la frequenza relativa di una tabella di frequenza sotto forma di un rettangolo o barra o colonna. Uno degli assi è usato per rappresentare le categorie; l’altro (altezza delle barre) rappresenta la frequenza o frequenza relativa. Per i dati qualitativi, l’assegnazione degli assi è indifferente. La categoria “altro” deve sempre essere posta alla fine del diagramma a barre, anche se ha una frequenza maggiore delle altre classi.
• Areogramma: presenta i dati sotto forma di fette o sezioni di un cerchio. Ogni fetta rappresenta una categoria e la dimensione della fetta è proporzionale alla frequenza relativa o assoluta della categoria.

Rappresentazioni grafiche per dati quantitativi

• Istogramma: è molto simile a un diagramma a barre, ma la scala di misura dell’asse delle ascisse deve tenere conto che i dati sono intrinsecamente ordinati.
• Istogramma per dati quantitativi discreti: l’altezza è proporzionale alla frequenza o alla frequenza relativa della variabile. La base dei rettangoli è centrata sui valori come nel diagramma a barre, ma qui le colonne sono continue, ossia si toccano. Viene normalmente utilizzato però il diagramma ad aste o bastoncini.
• Istogramma per dati continui di uguale ampiezza: ogni rettangolo rappresenta una classe. La base dei rettangoli è l’intervallo della classe, l’altezza la frequenza corrispondente.
• Istogramma per dati quantitativi continui con intervalli di classi non uguali: se le classi hanno diversa ampiezza, non si può più rappresentarle con rettangoli di altezza uguale alla frequenza. Invece, ogni rettangolo dovrebbe avere un’area pari alla frequenza corrispondente a quella classe. Per questo introduco una nuova quantità: la densità di frequenza, uguale al rapporto tra la frequenza e l’ampiezza della classe.

Rappresentazione di piccoli insiemi di dati

Le regole per la creazione di un istogramma non si applicano a insiemi di dati che contengono meno di 25 osservazioni. Per rappresentare questi insiemi di dati si ricorre al diagramma a punti: quando più di una osservazione presenta lo stesso valore, i punti vengono “impilati” l’uno sopra l’altro.

Descrivere e confrontare i dati

Descrivere i dati quantitativi

Le caratteristiche di interesse che descrivono la distribuzione dei dati:

• Tendenza centrale o posizione di un insieme di dati indica dove, numericamente, i dati sono posizionati o concentrati (indici di posizione).
• La forma di un insieme di dati descrive come i dati si distribuiscono intorno ai valori centrali – simmetria o asimmetria (per variabili almeno ordinali).
• La variabilità di un insieme di dati descrive quanto dispersi sono i dati intorno ai valori della tendenza centrale (indici di variabilità).

Forma: simmetria / asimmetria

• Quando le osservazioni equidistanti da un valore centrale presentano la stessa frequenza relativa, la distribuzione è simmetrica.
• Quando non succede quanto sopra, la distribuzione è asimmetrica.
• Se l’estremità della curva è più lunga a sinistra, l’asimmetria si dice negativa (altrimenti positiva).
• Se la distribuzione è simmetrica, la sua rappresentazione grafica (diagramma a barre, a bastoncini o istogramma) presenta simmetria rispetto ad un asse verticale.

Misure di tendenza centrale

Descrivere i dati numericamente

Le misure numeriche calcolate dai dati sono rispettivamente parametri o statistiche.

• Statistica: descrittore numerico calcolato dai dati campionari ed è usato per descrivere il campione. Le statistiche, di norma, si rappresentano con lettere romane.
• Parametro: descrittore numerico usato per descrivere la popolazione. I parametri si rappresentano con lettere greche.

Misure di tendenza centrale

Le tabelle di frequenza servono a organizzare i valori osservati di una variabile su un campione/popolazione. Gli indici di posizione li riassumono con un solo valore o numero.

La moda

• È il valore o categoria con la frequenza più alta nel campione (per variabili qualitative o quantitative discrete). Può essere calcolata per qualsiasi tipo di variabile.
• In un diagramma a barre, la moda corrisponde al rettangolo con la frequenza più alta.
• Per alcuni campioni, la moda potrebbe essere assente. Per esempio, per i dati quantitativi continui.