Riassunto completo esame di "Costruzioni di macchine"

CAPITOLO

STATI DI TENSIONE INTERNI

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2.1 Introduzione

E’ necessario caratterizzare in maniera oggettiva l’effetto di un carico su un pezzo: dato un corpo

soggetto ad un sistema di forze, si prenda un suo punto (di cui si vuole determinare lo stato di

sofferenza), baricentro di un parallelepipedo di lati , , riferito ad un sistema di riferimento ;

un vertice del parallelepipedo è sull’origine e i lati giacciono sugli assi.

Si riproducono sul parallelepipedo le sollecitazioni a cui era sottoposto nel mezzo; su ogni faccia, il corpo

trasferiva un sistema di forze (risultante + momento risultante); complessivamente, forze e momenti

sono in equilibrio. Si fanno due ipotesi:

1) Forze distribuite uniformemente sulle facce, in modo tanto migliore quanto più queste ultime

sono piccole;

2) Facce infinitesime → Si trascurano le coppie.

Si ottengono tre risultanti , , : il pedice indica che la forza agisce sulla faccia che ha quell’asse come

normale. Le risultanti possono essere scomposte nelle tre direzioni, ottenendo 9 componenti

, , , , , , , , . Si passa alle pressioni:

=

è la pressione agente sulla faccia perpendicolare all’asse , dovuta alla componente lungo della

risultante. Si procede analogamente, ottenendo: 9

Lo stato di sofferenza in P necessita di 9 numeri per poter essere definito. Applicando l’equilibrio alla

rotazione, si ottengono importanti considerazioni sulle 9 componenti della sollecitazione:

∙ ∆ = ∙ ∆

Poiché = , si ottiene

∆∙∆ ∙ ∆ ∙ ∆ ∙ ∆ = ∙ ∆ ∙ ∆ ∙ ∆ → =

Generalizzando =

̅

Un altro modo di vedere quanto detto è tramite il vettore tensione ̅,

̅

̅, ̅

lim = = ( , , )

̅, ̅,, ̅,, ̅,,

∆

∆→0

Esso dipende da P e dal piano di normale ̅; si ricavano

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̅ ̅ ̅

= = =

{ } { } { }

, , ,

Da cui si ottiene la matrice

[] = [ ]

Tale matrice è la rappresentazione dell’operatore tensore che trasforma un vettore in un altro vettore.

̅

= []̅

̅,

N.B.: in un punto non c’è tensione, ma uno stato tensionale.

2.2 Rappresentazione degli stati di tensione mediante cerchi di Mohr

Prendendo un altro sdr Ox’y’z’ centrato nello stesso punto P, ma orientato diversamente, si ottiene

[]′.

un’altra matrice [] []′,

Deve esistere una regola, dipendente solo da ̅, per passare da a affinché queste siano

equivalenti. Dato un punto P riferito a due terne, tra le coordinate del punto esiste una relazione tramite

la matrice di rotazione del sdr [], definita come … …

cos ′

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ … …

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

[]

′ = =

[{ } { } { }]

cos ′ … …

cos ′

Per passare tra i due tensori si sfrutta ancora []:

′

[] [] [][]

= []

Esisterà, per un determinato sdr, detto principale, una formata solo dalle componenti principali:

∗

0 0

∗

0 0

[] = [ ]

∗

0 0

Una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile. Esiste ed è unica la matrice di rotazione che

[ ]

trasforma una data matrice simmetrica in una matrice diagonale.

[]

Per determinare , si risolve un problema agli autovalori ed autovettori:

{[] {0}

− ∙ []}{} =

11

Esso è un sistema lineare omogeneo che ammette soluzione non banale se e solo se

{[] − ∙ []} = 0

è l’autovalore desiderato, se ne trovano 3, da cui poi:

∗ ∗ ∗

= = =

1 2 3

0 0

1

0 0

=

[ ] [ ]

2

0 0

3

Si è scelto il sistema di riferimento tale che > > . Si ipotizzi ora un tensore del genere:

1 2 3

0

0

[] = [ ]

0 0

L’asse è principale, però non si sa se è , ; si guarda per cui il cubo dalla direzione z:

1 2 3

Si ruota il cubo intorno all’asse z finché non si trovano gli assi ′ e ′ principali. Per risolvere

analiticamente il problema, si taglia in due parti il cubetto:

12

Le zone interne erano sottoposte ad un sistema di forze, riconducibili a e . Esse agiscono su un

lato del prisma tagliato, che potrebbe essere comunque un lato di un altro cubo scelto arbitrariamente,

cioè = e = .

′′ ′′

In base all’equilibrio delle forze sul triangolo rispetto agli assi e , si trovano e in funzione

dell’angolo α. E’ stato trovato quello che si stava cercando, cioè il valore delle componenti , e

in base alla loro rotazione sull’asse . Graficamente:

Si individuano i punti ( , ( , ). Il segmento AB è il diametro di un cerchio, il cui centro

)

C sta sull’asse delle ascisse; la direzione CA rappresenta l’asse x, mentre CB rappresenta l’asse y, poiché

gli angoli sono tutti raddoppiati.

Il cerchio è il luogo dei punti (; ) di tutti i sdr rotanti. Si possono per cui osservare i punti e ,

rappresentanti le tensioni principali. Tale circonferenza è detta cerchio di Mohr ed è caratterizzata da:

+

= 2

− 2

√( 2

= ) +

2

+ − 2

√( 2

= + ) +

2 2

Fino ad ora, si è considerato l’asse z principale d’inerzia, ma tutto può essere ripetuto considerando gli

altri due assi come tali, ottenendo 3 cerchi di Mohr, considerando che = , = = .

1 2 3

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Rotazione intorno all’asse x (1):

( , 0)

( , 0)

Rotazione intorno all’asse y (2):

( , 0)

( , 0)

Tra tutti i diametri, è particolarmente importante quello che congiunge i punti e . è il massimo

valore dell’ordinata ( ), cioè il massimo valore della componente della sollecitazione di taglio, è il

minimo. = =

,

Le direzioni degli assi principali complanari all’asse di taglio massimo formano con quest’ultimo un

angolo di 45°. Si osserva che il taglio massimo vale −

1 3

=

2

Analogamente al tensore delle tensioni, si può definire un tensore delle deformazioni, contenente le

componenti della deformazione ( , , … ).

2.3 Fattore di concentrazione delle tensioni

Per determinare uno stato di sollecitazione - tensore [] - si potrebbe utilizzare un modello di tipo

“trave”, che comporterebbe due approssimazioni:

1) Considerare l’oggetto come trave, mentre in realtà non lo è;

2) Sfruttare per i calcoli la teoria della trave, a sua volta contenente approssimazioni.

Per comprendere l’influenza del punto 1, si consideri il seguente albero con raccordo:

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La teoria di St. Venant tratta solidi cilindrici a = . E’ logico quindi pensare di suddividere l’albero

in più parti di diametro diverso, affinché ogni parte abbia diametro costante. Tuttavia, la teoria non vale:

- In zone di lunghezza confrontabile con la dimensione caratteristica della sezione;

- In prossimità di vincoli e/o carichi e/o restringimenti della sezione.

Considerato il pezzo nel restringimento della sezione, lo stato di tensione ivi agente ha una componente

principale che potrebbe essere o , ma che viene considerata comunque unica e denominata .

Quest’ultima è quella che verrebbe calcolata con la teoria delle travi sulla sezione di diametro minore

= ()

In realtà vi sarà il valore vero della tensione, che risulterà:

= ∙

(> 1) è detto fattore di concentrazione delle tensioni e nella maggior parte dei casi è determinato

sperimentalmente.

Albero con spallamento raccordato soggetto a carico a flessione

Dalla teoria di St. Venant 0 0 0

0 0 0

[] = [ ]

0 0

in cui

= = 4

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La massima tensione nominale viene raggiunta ai bordi della farfalla, e vale:

32

=

3

Più la discontinuità è brusca (r/d piccolo) e più è grande. Inoltre è anche funzione del rapporto

D/d: in particolare, a parità di r/d, più è grande la differenza di sezione e più aumenta.

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Si consideri un materiale elastico fragile: quando la tensione raggiunge il valore , il materiale si incrina

e si rompe. Si prenda il corpo con spallamento dell’esempio precedente: la frattura che si genera è a sua

volta un elemento di discontinuità con molto grande; si ge