Riassunto completo esame di "Costruzioni di macchine"

Capitolo 1: Materiali

Prova a trazione e curva

Il test per stabilire resistenza, rigidezza e deformazione di un materiale è la prova di trazione su un provino standard, con sezione di diametro minimo raccordata alle estremità. Si registrano gli allungamenti Δ in funzione del carico P e si riportano in un grafico (Δ):

• Comportamento lineare elastico: proporzionalità tra carico ed allungamento; alla rimozione del carico il provino torna alla propria lunghezza originale.
• Comportamento plastico: discostamento dal comportamento lineare a seconda del materiale; rimuovendo il carico a partire da un generico punto, il provino mostra una deformazione Δ permanente. Si distinguono tre andamenti:
  • Materiali fragili: la curva quasi non si flette, il materiale ha plasticità pressoché nulla; il provino si spezza praticamente subito.
  • Comportamento incrudente: la curva si flette subito; il provino plasticizza incrudendosi con continuità.
  • Comportamento plastico + incrudente: dopo un comportamento puramente plastico (il provino si allunga a carico costante), la curva si flette, evidenziando un comportamento incrudente.

Per provini di dimensioni diverse si ottengono ragionevolmente gli stessi grafici. È quindi possibile svincolare i risultati dalle dimensioni del provino: si introducono ad hoc le variabili.

Il comportamento in campo elastico di materiali diversi si distingue in base all'inclinazione della retta σ/ε = E. Il coefficiente E è detto modulo di elasticità (di Young), viene espresso in Pa e caratterizza la rigidezza di un materiale.

Comportamento in campo plastico

• Materiali fragili
  • Limite di proporzionalità σ_p: carico/superficie oltre il quale il comportamento non è più né lineare né elastico;
  • Ultimate strength σ_u: carico/superficie alla quale il provino si rompe senza segni di deformazione.
• Materiali con comportamento plastico + incrudente
  • Si approssima l’elastic strength σ_e con il limite di proporzionalità σ_p;
  • Yield strength: carico/superficie che caratterizza la zona a comportamento puramente plastico; il provino si snerva, allungandosi sotto carico costante.
• Materiali duttili (plastico-incrudenti)
  • Non è presente una zona puramente plastica, il materiale si allunga incrudendosi;
  • σ_0.2%: carico/superficie tale da provocare una deformazione permanente dello 0.2% (ε = 0.002);
  • Oltre lo 0.2% si parla di deformazione plastica.

Per questi ultimi due comportamenti si definiscono anche:

• Ultimate strength: massima tensione subita dal provino lungo la prova di trazione;
• Fracture strength: tensione alla quale il provino si rompe.

σ_p, σ_e, σ_u caratterizzano il materiale; se si vuole che esso non si deformi plasticamente si considera resistenza il valore σ_e, tuttavia difficile da determinare. Da un punto di vista pratico esso viene spesso confuso con σ_y.

Per molti materiali, azzerando il carico da qualsiasi punto della curva P(ε) e poi ripristinandolo, non si ottengono modifiche sensibili. Supponendo di scaricare un provino che si trova nello stato ε_i, si osserva che, ricaricandolo, esso ha una tensione di snervamento σ_y' maggiore dell’originale σ_y.

Curva σ = σ(ε)

Nei materiali duttili si verifica la strizione, che fa agire il carico su una superficie ridotta e genera tensioni maggiori. Si introducono allora i concetti di tensione reale σ_true e deformazione reale ε_true. Poiché il volume rimane inalterato, si ottiene:

σ_true = P/A₀ = P/A₁ = (P + ΔP)/A₁ = σ_nom (1 + ε)

Si può anche definire una deformazione reale ε_true:

ε_true = ln(1 + ε)

È quindi possibile rappresentare la prova a trazione su un diagramma σ = σ(ε_true) che differisce da σ(ε) solo per deformazioni significative. σ_true è una funzione monotona crescente, che rappresenta bene la prova di trazione, fornendo un valore σ_u. Tuttavia è difficile misurare le deformazioni locali nella zona di strizione, poiché enormemente superiori a quelle delle zone esterne, per cui si tende ad usare σ_nom. In ogni caso, una misura accurata è ottenuta con la misura della sezione in tale zona.

Si definiscono i seguenti parametri:

• Rapporto d’aree R = A₀/A₁ = 1 + ε_t
• Rapporto di strizione Z = ΔA/A₀ = 1 - A₁/A₀ = 1 - (1 + ε_t)

Z indica la capacità di un materiale di deformarsi plasticamente, si associa cioè alla duttilità.

Per conoscere il diagramma σ(ε_true) è fondamentale conoscere R: σ = σ(1 + ε_t)

Stima della resistenza tramite le prove di durezza

Le prove non distruttive di durezza permettono di stimare economicamente la resistenza alla deformazione permanente dei metalli sottoposti a una compressione triassiale. Nel test Brinell, una sfera viene premuta con una forza P, lasciando un’impronta di area A, andando a definire la durezza Brinell HB = P/A.

La prova di durezza induce localmente una deformazione plastica elevata e il materiale viene sollecitato a livello della σ_y, di cui se ne può ricavare una stima σ_y ≈ 3.45 HB.

Capacità di assorbire energia

Alcune componenti sono progettate per assorbire energia, piuttosto che sopportare carichi. Si definisce resilienza U_r l’energia/volume assorbita durante la deformazione elastica, che vale:

U_r = 1/2 σ_yε_y

Calcolo di U_r: un provino intagliato viene colpito da un pendolo in caduta da un’altezza H, che dopo l’urto risale ad una altezza H' < H; la differenza ΔH è legata all’energia assorbita. In genere un materiale diventa più fragile al diminuire della temperatura: esiste un intervallo di temperature, detto zona di transizione, in cui si ha una brusca diminuzione della resilienza.

Ghisa

La ghisa è una lega di 4 elementi: Fe, C (2-4%), Si, Mn; le sue proprietà sono fortemente influenzate dalla velocità di raffreddamento durante la solidificazione e dal contenuto di carbonio.

• Un alto tenore di carbonio rende più fluida la ghisa;
• La precipitazione del carbonio durante la solidificazione controbilancia il restringimento;
• La presenza di grafite comporta:
  • Eccellente lavorabilità;
  • Smorzamento delle vibrazioni;
  • Agevolazione della lubrificazione limite delle superfici soggette ad usura.

• Ghisa grigia: il carbonio precipita sotto forma di lamelle, che limitano fortemente la resistenza a trazione; quella a compressione è da 3 a 5 volte superiore. σ_t = 66 ÷ 160 MPa.
• Ghisa sferoidale: aggiungendo magnesio, il carbonio in eccesso precipita sotto forma di noduli; aumentano duttilità, tensione di rottura, rigidezza e resistenza agli urti. σ_t ≈ 165 MPa, σ_c = 370 ÷ 700 MPa.
• Ghisa bianca: si ottiene in zone esterne di un pezzo fuso in ghisa grigia o sferoidale, se raffreddato così velocemente da non permettere al carbonio di precipitare. Un pezzo in ghisa bianca è estremamente duro e resistente all’usura.
• Ghisa malleabile: si distinguono la ghisa malleabile a cuore bianco e la ghisa malleabile a cuore nero.

Acciaio

Lega di Fe, C (< 1.6 – 1.7%) ed altri elementi. Variando composizione e trattamenti termici e meccanici subiti, le proprietà meccaniche cambiano enormemente. Sussistono tre relazioni fondamentali:

• Tutti gli acciai hanno essenzialmente lo stesso valore E = 210 GPa;
• La durezza aumenta se aumenta il contenuto di C (fino a 0.7%);
• Gli elementi di lega facilitano l’indurimento dell’acciaio, permettendo l’uso di trattamenti termici meno drastici.

Acciaio da costruzione: contengono poco carbonio e pochi elementi di lega; sono ottenuti per deformazione (sia a caldo che a freddo). Vengono commercializzati in 3 versioni standard:

• σ_y = 360 MPa
• σ_y = 430 MPa
• σ_y = 510 MPa

Acciaio inossidabile: ha un contenuto di cromo superiore al 10.5%.

Acciaio per macchine utensili: ne esistono vari tipi, ma in generale il contenuto di C è abbastanza basso; vengono aggiunti Cr, Ni. Un raffreddamento veloce migliora di molto le proprietà meccaniche, ma la duttilità peggiora fortemente. Con un rinvenimento si recupera una buona duttilità in cambio di un lieve peggioramento delle proprietà. Si definisce bonifica un processo di tempra seguito da rinvenimento. Aggiungendo particolari combinazioni di Cr e Ni, si può arrivare a una tensione di rottura di 1500 MPa.

Si possono suddividere gli acciai in:

• Bassolegati (elementi di lega <5%);
• Altolegati (elementi di lega >5%).

Per tutti gli acciai risulta ρ ≈ 7850 kg/m³.

Leghe non ferrose

Leghe di alluminio: esistono centinaia di leghe di alluminio, classificate con 4 cifre (leghe da lavorazione plastica) o 3 cifre (leghe da fonderia). Risultano E = 70 GPa, σ_t = 200 ÷ 400 MPa, ρ = 2700 kg/m³.

Leghe di titanio: le leghe di titanio sono amagnetiche, estremamente resistenti alla corrosione, conducono poco il calore e hanno un rapporto resistenza/peso straordinario. E = 105 GPa, σ_t = 1000 MPa, ρ = 4500 kg/m³.

Capitolo 2: Stati di Tensione Interni

Introduzione

È necessario caratterizzare in maniera oggettiva l’effetto di un carico su un pezzo: dato un corpo soggetto ad un sistema di forze, si prenda un suo punto (di cui si vuole determinare lo stato di sofferenza), baricentro di un parallelepipedo di lati dx, dy, dz riferito ad un sistema di riferimento xyz; un vertice del parallelepipedo è sull’origine e i lati giacciono sugli assi.

Si riproducono sul parallelepipedo le sollecitazioni a cui era sottoposto nel mezzo; su ogni faccia, il corpo trasferiva un sistema di forze (risultante + momento risultante); complessivamente, forze e momenti sono in equilibrio. Si fanno due ipotesi:

• Forze distribuite uniformemente sulle facce, in modo tanto migliore quanto più queste ultime sono piccole;
• Facce infinitesime → Si trascurano le coppie.

Si ottengono tre risultanti T_x, T_y, T_z: il pedice indica che la forza agisce sulla faccia che ha quell’asse come normale. Le risultanti possono essere scomposte nelle tre direzioni, ottenendo 9 componenti T_xx, T_xy, T_xz, T_yx, T_yy, T_yz, T_zx, T_zy, T_zz. Si passa alle pressioni:

T_xx = F_x/A è la pressione agente sulla faccia perpendicolare all’asse x, dovuta alla componente lungo x della risultante. Si procede analogamente, ottenendo:

Lo stato di sofferenza in P necessita di 9 numeri per poter essere definito. Applicando l’equilibrio alla rotazione, si ottengono importanti considerazioni sulle 9 componenti della sollecitazione:

T_xyΔA = T_yxΔA

Poiché τ_xy = τ_yx, si ottiene:

ΔA · τ_xy = ΔA · τ_yx

Generalizzando τ_xy = τ_yx.

Un altro modo di vedere quanto detto è tramite il vettore tensione t^→:

lim_ΔA→0 t^→ = (σ, τ_xy, τ_xz)

Esso dipende da P e dal piano di normale n^→; si ricavano:

t^→ = σn^→

Da cui si ottiene la matrice:

σ_ij = [σ]t^→

Tale matrice è la rappresentazione dell’operatore tensore che trasforma un vettore in un altro vettore.

t^→ = [σ]n^→

N.B.: in un punto non c’è tensione, ma uno stato tensionale.

Rappresentazione degli stati di tensione mediante cerchi di Mohr

Prendendo un altro sistema di riferimento Ox’y’z’ centrato nello stesso punto P, ma orientato diversamente, si ottiene un’altra matrice [σ]'.

Deve esistere una regola, dipendente solo da n^→, per passare da [σ] a [σ]' affinché queste siano equivalenti. Dato un punto P riferito a due terne, tra le coordinate del punto esiste una relazione tramite la matrice di rotazione del sistema di riferimento [R]:

[σ]' = [R] · [σ] · [R]^T

Esisterà, per un determinato sistema di riferimento, detto principale, una matrice formata solo dalle componenti principali:

[σ]_principal = [σ₁ 0 0; 0 σ₂ 0; 0 0 σ₃]

Una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile. Esiste ed è unica la matrice di rotazione che trasforma una data matrice simmetrica in una matrice diagonale.

Per determinare [σ]_principal, si risolve un problema agli autovalori ed autovettori:

det([σ] - λ[I]) = 0

Esso è un sistema lineare omogeneo che ammette soluzione non banale se e solo se det([σ] - λ[I]) = 0 è l’autovalore desiderato, se ne trovano 3, da cui poi:

σ₁, σ₂, σ₃ = λ₁, λ₂, λ₃

Si è scelto il sistema di riferimento tale che σ₁ > σ₂ > σ₃. Si ipotizzi ora un tensore del genere:

[σ] = [σ₁ 0 0; 0 σ₂ 0; 0 0 σ₃]

L’asse z è principale, però non si sa se σ₁ è σ_x, σ_y o σ_z; si guarda per cui il cubo dalla direzione z:

Si ruota il cubo intorno all’asse z finché non si trovano gli assi x' e y' principali. Per risolvere analiticamente il problema, si taglia in due parti il cubetto:

Le zone interne erano sottoposte ad un sistema di forze, riconducibili a σ_x' e σ_y'. Esse agiscono su un lato del prisma tagliato, che potrebbe essere comunque un lato di un altro cubo scelto arbitrariamente, cioè σ_x' = σ_x e σ_y' = σ_y.

In base all’equilibrio delle forze sul triangolo rispetto agli assi x' e y', si trovano σ_x' e σ_y' in funzione dell’angolo α. È stato trovato quello che si stava cercando, cioè il valore delle componenti σ_x', σ_y' e τ_x'y' in base alla loro rotazione sull’asse z. Graficamente:

Si individuano i punti (σ_x, τ_xy) e (σ_y, τ_yx). Il segmento AB è il diametro di un cerchio, il cui centro C sta sull’asse delle ascisse; la direzione CA rappresenta l’asse x, mentre CB rappresenta l’asse y, poiché gli angoli sono tutti raddoppiati.

Il cerchio è il luogo dei punti (σ, τ) di tutti i sistemi di riferimento rotanti. Si possono per cui osservare i punti σ₁ e σ₃, rappresentanti le tensioni principali. Tale circonferenza è detta cerchio di Mohr ed è caratterizzata da:

• σ_mean = (σ₁ + σ₃)/2
• R = √((σ₁ - σ₃)/2)²

Fino ad ora, si è considerato l’asse z principale d’inerzia, ma tutto può essere ripetuto considerando gli altri due assi come tali, ottenendo 3 cerchi di Mohr, considerando che σ₁ = σ_y, σ₂ = σ_z e σ₃ = σ_x.

Rotazione intorno all’asse x (1):

(σ₁, 0) (σ₃, 0)

Rotazione intorno all’asse y (2):

(σ₁, 0) (σ₂, 0)