Riassunto completo elettrotecnica 2

21 - Circuiti Dinamici Elementari - Politecni

• Descritti da equazioni costitutive differenziali
• Lineari
• Con memoria (d’immagazzinamento)
• Diassestuali

Condensatore Ideale

i(t) = C dv(t) / dt

Capacità C = q / V

• [C] = A · S / V

Proprietà di memoria:

• u(t)
• v(t)
• Condensatore è un elemento con memoria

Potenza ed Energia

p(t) = ui

W(t) = ∫₀^t p(t) dt

• P(t) > 0
• P(t) < 0

U (C / t)

Nota:

• P(t) = C Componenti dinamico

Proprietà 1

In Regime Stazionario (fenomeni costanti) il condensatore ideale si comporta come circuito aperto.

i_c(t) = C⋅dV(t)/dt = 0

V(t)

Proprietà 2

La tensione ai capi di un condensatore è continua;

V_C(t₀^-) = V_C(t₀⁺)

Condensatore Reale

dielettrico con costante dielettrica ε_r

armature metalliche area A

Q = C⋅V

C = ε₀ε_rA/d

μ(t) = i_c + i_G = C dV(t)/dt

Condensatore ideale

Condensatore associato a materiali dielettrico isolante (parate nel materiale isolante)

12: Circuiti dinamici elementari - Parte 1

Circuiti del primo ordine

A(t)_e

v_in(t)

i_L(t)

Condensatore = Circuito RC

v_C(t)

KVL

V_TH

R_THi_C(t) + v_C(t) + v_L(t) = V_TH(t)

i_C(t) = C dv_C/dt

dv_C(t)/dt

v_C(t)

1/R_TH

v_TH(t)

Induttore = Circuito RL

i_L(t)

KCL N_L

G_NLv_L(t) + i_L(t) = i_in(t)

v_L(t) = L di_L(t)/dt

KCL N_L

di_L(t)/dt + 1/G_NLi_L(t) = 1/G_NLi_in(t)

Equazioni di stato

Equazioni di stato

• Variabili di stato
• Conclusione iniziale
• Energia immagazzinata: W_C = C v_C²(t)/2
• W_L(t) = 1/2 Li_L²(t)
• Continuato

v_C(t₀) = v_D(t^-₀) = v_C(t⁺₀)

i_L(t₀) = i_L(t^-₀) = i_L(t⁺₀)

(Lezione 3) 1) Regola di derivazione

Ã(t) è il fasore associato a A_m cos(ωt+φ)

V(t) - A è il fasore associato alla sua derivata

A_m cos(ωt+φ)

d/dt A_m cos(ωt+φ)

d/dt Re [V₂ V₁ e^jωt]

- d/dt Re [V₂V₁ e^jωt]

2) Teorema fondamentale del regime sinusoidale

In un circuito C.I. con frequenza maggiore (...) parte reale negativa

Si esprime per l'unidità di frequenza e di fase (quadratini di fasori)

Si risolve per l'unidità di fase (squadratina, ups...)

Si modificherà in entrambi i quadranti (quadratino, quadratino)

Si esprime unicamente come operazione W

3) Leggi di Kirchoff

In virtù del teorema #1 e #2 si estendono al dominio dei fasori

Le leggi di Kirchoff KVL e KCL

Resistore

• Dominio del tempo
• Dominio dei fasori

V(t)

I(t)

V(t) = R I(t)

|

I

V = R I

@ W

φ

I

V

φ fasori, tensione e correnti ai capi del resistore sono allineati φ

Si dice che sono IN FASE φ

Induttore

• Dominio del tempo

I(t)

V(t)

V(t) = L d/dt I(t)

V(t) = Re [V₂V₀e^jωt]

I(t) = Re [V₂V₇e^jωt]

• Sorgenti Soregenerabili

w₁ = w₂

Vk = V₁ + V₂

gonio

spazio spazio V_s

Sovrapposizione nel dominio dei fasori

V(t) = √2 |V₂| cos (ω_t + ϕ V_k)

• Sorgenti non Soregenerabili

w_i ≠ w₂

V_k = V_k + V_s

|V_k| ≤ |V_k| cos (ω_it + ϕ V_k)

Sovrapposizione nel dominio del tempo

V(t) = V’(t) + V’’(t)

Regime sinusoidale permanente (C)

• Potenza Istantanea

V(t), I(t)

V(t) = V_m cos (ω_t + ϕ_v)

I(t) = I_m cos (ω_t + ϕ_i)

p(t) = V(t) I(t) = Vm I_m cos (ω_t + ϕ_v)

Im cos (ω_t + ϕ_i)

cos (a - b) = cos(a - b) + cos(a - β)

La potenza istantanea in regime permanente sinusoidale è somma di 2 contributi:

• un contributo costante (valore medio sue periodo T) che assume valore massimo se V e I sono in fase
• un contributo oscillante con frequenza doppia 2w e periodo T/2

p(t) ≥ 0 bifàsico assorbe energia

p(t) ≤ 0 bifàsico cede energia

• Potenza Media o Attiva

Si definisce potenza attiva la valore medio del periodo della potenza istantanea:

P_a = T^-1 ∫₀^T p(t)dt = V_m I_m cos (ϕ_i + ϕ_i)

Energia e assorbita

W = ∫₀^T p(t) dt = P_f T₁∫ cos(ωt + φ)^T₀ dt = 0|∫₀^T sin(2ωt)φ dt

⇒ W = P_f T₁

• W > 0
• se P > 0 ⇒ ossia -90° < φ < 90°

Conservazione potenza complessa: Teorema di Boucherot

Esistenza teorema di Tellegen

Σ_K=1^N S_K = Σ_K=1^N (P_k + jQ_k) = 0

Che si estende separatalmente

Σ_K=1^N P_K = 0

Σ_K=1^N Q_K = 0

N.B.

• Non è invece possibile sommare le potenze apparenti di qualsiasi bipolo operatore modulo non è lineare

Conseguenze

1. Bipoli costituiti da soli resistore e condensatori sono bipoli puramente resistivi

P = Σ_k=1^N P_K = 0 ⇒ P_R = 0 ⇒ R = 0

2. Bipoli costituiti da soli resistore e induttori sono bipoli induttivi

• Resistori Σ_K Q_k = 0
• Induttori Q = Σ_K=1^N Q_k(x) > 0 ⇒ Im Z = X > 0

3. Bipoli costituiti da soli resistore e condensatori sono bipoli capacitivi

Riassunto potenza complessa

S = V̅ * I̅* = (R₊jX ) I̅² = Pt + jQ

• Resistore
  • P_R = RI²
  • Q_R = 0
• Induttore
  • P_L = 0
  • Q_L = ωLI²
  • Q_L ∈ ℝ⁺
• Condensatore
  • P_C = 0
  • Q_C = -1/ω CI²
  • Q_C ∈ ℝ⁻

• P = Re (S) = RI²
• Q = Im (S) = X I²

Motivi

• Analoghe considerazioni valgono per la configurazione in parallelo

1^a trasformazione: stella - triangolo

Trasformazione (y)

• G_1Δ = _{g2 g3}/^{g₁ + g₂ + g₃}
• G_2Δ = _{g1 g3}/^{g₁ + g₂ + g₃}
• G_3Δ = _{g1 g2}/^{g₁ + g₂ + g₃}

Trasformazione (Δ)

• γ₁ = _{R2 R3}/^{R₁ + R₂ + R₃}
• γ₂ = _{R1 R3}/^{R₁ + R₂ + R₃}
• γ₃ = _{R1 R2}/^{R₁ + R₂ + R₃}