Riassunto Calcolo numerico 4

Calcolo numerico riassunti Vicini Fabio Professor Gatti Carlotta Autovalori e valori singolari di matrici

Data "AER ( ) autovalore reale di matrice complesso 7 dice A si numero una o un, ,( complesso reale vettore ) sistema soluzione esiste del nullo o omogeneo un se × non Ax ix= autovalore A Il autovetture 1 di all' corrispondente detto vettore è .

7 gli autovalore la A autovalori singolare matrice A- TI di solo quindi è è e un se se, , ,detta )A caratteristico di del polinomio coincidono le II radici con > on =-La l'Axi autovalore definizione identità consente di di autovetture 7¥ i scrivere n1==- , ,. ..(( -1×2 XDA ) AX)A ✗ tnx n72×2✗ ovvero con=✗ 1×1=n1 .. . ,,, . .,, ., ✗ ( ) tiD 0= ✗ =✗ ✗ e1 2 n. .. ,, , . . . In0

Comandi Matlab

• Restituisce il contenente valori valore tutti Add = eig(A) di i> la.
• [X,D] = eig(A) restituisce matrice elementidiagonale di gli cui sono > A colonna autovalori la di matrice X vettori i i cui e sono autoctoni rispettivi.

Quoziente Rayleigh

" 1-)( ×✗ DI > ra x = "✗ ✗ Una autovalori definita tutti A ha positiva positivi solo gli matrice è se se e .

Si spettrale matrice della definisce autovalore A dell' modulo di di ordine il raggio n modulo cioè massimo :, { }(A) autovalore di di A di max=p :i n1= . . ., ,

Comandi Matlab

• Max(abs(eig(A))) spettrali raggio > ""RASi di spettrale definisce reale il positivo 2sarma a Ecorna numero :A )(ATAe=2 (a)A 2(a).
• Se allora A simmetrica (a)è =pee= =,,
• Restituisce spettrale la norm = (A,2) norm(A) A dia > norma.

Localizzazione degli autovalori

Per autovalori A complesso nel accurato gli di localizzare modo piano più si in usano meno o :l'di Ghershgorin di associato A cerchio alla insieme esima i riga riga >

• • :-{ n }il"( 6z aiE ≤ i= z aij 1: n=- ... ,.ija j ≠,associato colonna alla Gersh di colonna A cerchio l'esima insieme di.
• • gain j> :-{ }n"!( ¢ jaijz ≤z :e= ajj ^1=-y .. ., .,j=/i i,

Ù Ù (c)'" C cgER autovalori Tutti gli appartengono A di =aa = eg. j, →=30 2 31A 154 -2-4= 3 5I 0- 5 13 0- alla autovalori Tutti gli appartengono A di complesso individuata di piano regione R C dall' intersezione delle regioni e .

Matrici simili e diagonalizzazione

Due A B simili esiste S matrice matrici di grado definiscono di si se n una e ,BAS ordine singolare '5tale che n non =e : ., gli autovalori hanno stessi.

Una abile diagonali A simile autovalori matrice matrice alla Ii dice i è si 2-2-1con se n= .. ,., ,,(D= ) S diagonale matrice che tale ordine singolare 72 esiste di tn71 ovvero una e se n non :. ., ., , , (' )AS =D diag5 -4ti= . .. . .AS gli le Se SD diagonali autovetture A abile di colonne quindi di S è > e=