Riassunto Calcolo numerico 4

Il calcolo degli autovalori e autovettori di una matrice

Il calcolo degli autovalori e autovettori di una matrice è un'operazione fondamentale nell'ambito dell'algebra lineare. Gli autovalori rappresentano i valori caratteristici della matrice, mentre gli autovettori sono i vettori associati a tali valori.

La definizione degli autovalori e autovettori di una matrice A è data dalla seguente equazione:

Ax = λx

dove A è la matrice, x è l'autovettore e λ è l'autovalore corrispondente.

Per calcolare gli autovalori e autovettori di una matrice, è possibile utilizzare diversi metodi, come ad esempio la decomposizione spettrale o il metodo delle potenze.

Una volta calcolati gli autovalori e autovettori, è possibile utilizzarli per risolvere una serie di problemi, come ad esempio la diagonalizzazione di una matrice o la risoluzione di sistemi lineari.

In conclusione, il calcolo degli autovalori e autovettori di una matrice è un'operazione fondamentale nell'ambito dell'algebra lineare e trova numerose applicazioni in diversi campi, come la fisica, l'ingegneria e la statistica.

autovaloredi di Adimax=p :i n1= . . .,

Comandi Matlabmax(abs(eig(A))) spettraliraggio> ""RASi dispettraledefinisce realeil positivo2sarma a Ecorna numero :A )(ATAe=2 (a)A 2(a)Se alloraA simmetrica (a)è =pee= =,,Comandi Matlab restituisce spettralelanorm = (A,2) norm(A) Adia > normaPer autovalori A complessonel accuratogli dilocalizzare modopiano più siin usanomenoo :l'di Ghershgorin diassociato Acerchio alla insiemeesimai rigariga >• :-{ n }il"( 6z aiE ≤ i= z aij 1: n=- ... ,.ija j ≠,associatocolonna allaGershdi colonna Acerchio l'esima insiemedi• gain j> :-{ }n"!( ¢ jaijz ≤z :e= ajj ^1=-y .. ., .,j=/i i,Ù Ù (c)'" C cgERautovaloriTutti gli appartengonoAdi =aa = eg. j, →=30 2 31A 154 -2-4= 3 5I 0- 5 13 0- allaautovaloriTutti gli appartengonoAdicomplesso individuatadi pianoregione R Cdall' intersezione delle regioni e .Due A B simili esiste Smatricematrici di grado

definiscono disi sen unae ,BASordine singolare '5tale chen non =e : ., gli autovalorihanno stessiUna abilediagonaliA simileautovalori matricematrice allaIi dicei èsi 2-2-1con sen= .. ,., ,,(D= ) Sdiagonale matrice chetaleordine singolare72 esiste ditn71 ovvero una ese n non :. ., ., , , (' )AS =D diag5 -4ti= . .. . .AS glileSe SDdiagonali autovetture Aabile dicolonnequindi diSè > e=a- sonoa- .,diagonali abile linearmenteAUna di possiede auto vettorisoloordinematrice è 2- nn 2- sese e,autovaloriindipendenti distintipossiedee ., Condizionamento del calcolo degli autovaloriSi negliperturbazioni suglieventuali presentianalizza della matrice propaghielementi sicome noautovalori . BAUER FIKETEOREMA A matrice Sdiagonali abile taleinvertibile chesia siauna> 2- 2- e- Ì ÀÀS' ' ( ) SiaAS D= autovaloreperturbazione A=D diag di di71,72 An siaunacon e un... . ., ÀI K ( ) A-Allora Stimin ≤: -i ≤1 ≤ n 'S 5KIS)

indica qualsiasi delle matricedie -> una norme=e 1,2con p a=p ,(✗ ) condizionamentoconsiderato allora condizionatobens di èpuò è≈essere se 1numerocome e .Comandi Matlab contenenterestituisce il vettore di condizionamentoc = condeig(A) numeriie> autovalore matrice Adi di )della Seciascun i 1 n= . . . ,. ., .allora altrimentiè calcolo condizionatoil Ii bendi è≈ 1 ,, condizionatomalpuò essere .METODI NUMERICI >< metodimetodi l'l' approssimazioneapprossimazione perper autovaloridi autovalore tuttisimultanea glisolo diun delle l'Metodo autovalore Acalcolapotenze spettralemodulo devedi raggiomassimo e> .Questo consiste fissareneldiagonali metodoabile vettoreessere a-2- un. Kiniziale la terminesuccessionelà calcolare di ilvettore esimocuie✗ -La l')l esistenzaabilità" Io) diagonali diè implicaA diA"✗ zz✗ n= . linearmente indipendenti'autovalori li quindi ilchei1 n✗ = e,.. .,, ,''vettore ° formarappresentato nellaesserepossa✗ :n(a) di✗ vi= i ,= "^ tidi"""da 71chesi dicui ricava -11 Ui× vi += dii 2= Ó K >converge a per noquindi )direzione 'la vettore tende°e a✗quella di v1 .Questo questoundurflowalgoritmo dare overflowpuò origine pera e ,motivo normalizza il Aquavettoresi ✗ =× )✗ K9k = ✗ K)Il 14<+1 )" )Il" "d'CRITERIO ARRESTO < +: , tolleranza di>> >o ordine -10ioMetodo delle potenze precedentemetodovariante didelinverse consenteche approssimare> autovalore 7 diqualunque A purché neun conoscaseun' infatti Axosservando dache tiapprossimazione seguep ; :=( ) (A )Axpi tpx✗ ×p=- = - -diha autovalore autovettureche A-1-si PIè ×p con . "Di ' ' ()( )dunque_A PI t p✗conseguenza e -×- = , ,1- p "autovalore (matrice )dellaè A pi- .Se sufficientemente autovalore

Il valore di autovalore di dinodulo1 è il massimo numero µ = 7- p( ) " Pertanto, applicando il metodo delle potenze alla matrice A si ottiene: µ- , ^7 =p + µ

I comandi Matlab per calcolare gli autovalori sono: [X,D] = eigs(A,k) ✗, dove D è il vettore degli autovalori di A in ordine decrescente. Per calcolare gli autovalori di A in modulo crescente si utilizza: [X,D] = eigs(A,k,p) ✗, dove p è il parametro che indica il numero di autovalori da calcolare.

Per calcolare gli autovalori con il metodo QR, si utilizza il metodo efficiente. Il metodo QR calcola una successione di matrici A K AKQR, dove A K è una fattorizzazione ortogonale triangolare superiore di A. Tenendo conto della relazione di similitudine tra le matrici, si può definire A K come: A K = RKQ, dove RK è una matrice triangolare superiore e Q è una matrice ortogonale.

similidella allaloro matricetra quindisussessione sono e ,,tutte loassegnata lea simmetricaInoltre AKA è sonose , .. ,Con matriciopportune AK Kipotesi dila successione converge per verso unano, proprietàmatrice lelimite seguentiA con :• diagonale gliA diagonaleelementisimmetrica allora A sullaèè• se ;•,gli autovalori di Asono ; autovaloriA allora triangolareAsimmetrica realituttiè ha• ènon mase ,, ,gli elementi diagonale autovaloriglisulla Adisuperiore sono; ;A alloraautovalori complessi 1-alcunisimmetrica• èhaè quasise non e •,lungo diagonalepresenta latriangolare sottomariniossiasuperiore 1×1; autovaloriautovalori realiglicontenenti di sottomariniA cuii2×2e, ,complessiautovalori diconiugatidi Acoppiasono una .Valori singolari e decomposizione SVDNozioni autovaloredi significato rettangolaredetermi