Riassunto Calcolo numerico 3

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AA 7 95 27 1 > == 9 838 14 analogamentelediventano lerighele ATparole colonne Apoche didiin elale invariata'righe AdiA colonne diagonalediventanodi rimane .,Simmetrica: taledefinita A 'Aè se = 133 22 ^ At ATAA 2O2 04 =4== >5 1 51 0 0Inversa: dice A lamatriceindicata ' ladimatrice cheA- rispettainversasi con, ,''A-condizione A A A- I= = 42420 2 1I- ' '' IA-A- AÀ AA 1000 i= 1 > ===- 4242 O00 1Ortogonale: matricedefinisce lamoltiplicata ATA che diacosìsi una permatrice identità ÀA matricequindi l'AAT I diinversa una> = =traspostalacoincideortogonale suacon .Matrice a blocchi: matricedefinisce partizionatoblocchi blocchimatricesi oa amatrice termini di matricidescritta anzichèsottoin insuauna elementideitermini suoi .traspostaLa ottienesisua : calcoli utilenegliutilizzaresi matrici algoritmi agevolare matriciqueste nelleipossono per ,elementidi nulligrande> numerosparse .Matrice

triangolare superiore (inferiore) a blocchi:
matrici quadrate blocchiadiagonale solo( lasulla diagonalequadrati ) contengonoblocchi sotto principale zerii cui soprae AyA A .. -11 12 ,A vale la relazioneAA O ^= . .. zn22; . / )> (A) deldet; Aii; . =. . .Ann l' 100 =. ..
MATRICE IDENTICAMENTE NULLAmatrice diagonale blocchi> PARTICOLARECASO a: 00A- ...11 AA 0O= . ..22i ' I; . . Ann00 . ..
Matrice di permutazione: matrice identitàottenuta matricelemutando dellarigheper nMatrice dominante definita così vale iconse 1 in>aii aii = -.gper righe: ,= i*Matrice dominante per righe: definita valecosì sen &con 1 n>• mij =jj . ..,÷ ,j≠imatriceMatrice definita positiva: Axpositivasimmetrica tlx-' -1-0o>se ✗BER "La "BTB avente dettomatrice definitaA- positivasimmetricaècon e .,Condizionamento di un sistema lineare§ b "×" "" °°° "+ °+ " = "^ "^

"""" " """ " •^^" b2✗ bz@ ✗✗✗ + ①AAzaa t A+ =121 n 21>22 222 2h 2 =.... . . : :: :: :. .. . bn bn✗Anz AnnAnn Am✗Anz ✗ +✗an + + =n21 .. n.. . ., bA × =Se hasistema un' singolarediceil soluzioneunica si non .À b- perturbatidati> esattasoluzione aritmetica perturbatodel sistemaI in> A- 5E = ÀebgliCondizionamento considero relativi teerrori aa> ÷ .À b-A b-≠✗ -- a b✗1ÀA-Se soluzionesolasistemail ammette< euna :>,a.a À b-A(A) b-2K≠✗ -- ≤ +A b✗ v A(a) "Acondizionamento ✗di <numero =Dato À(a) AA'A "K Iche allora≥ == 1= se :) la condizionataKIA Amatrice benè≈• malKIA la) condizionatadicematrice si» e• Giuratemalmatrici Matrice di VandermondeMatrice di HilbertComandi Matlabfornisce condizionamento del sistemail dicond(A,1) innumero norma> e1- b✗ = infinitofornisce

Condizionamento delilcond(A,inf) di in> numero normaA bsistema ✗ =matricela Hilbert Hn ordinedihilb(n) di> genera nmatrice Unla associataVandermonde al vettoredivander(x) genera> ×componenti ✗con ✗ 1 '.. . . nu.

Metodi numerici lineari metodiimplementano ladegliPer risolvere sistemi algoritmi chesii iusano perrisoluzioneloro . compitazionecosto di operazioninumero= aritmetiche che servonol' esecuzionepermetodi di risoluzionesistemi diagonali• { b=% ✗ ,1 b2• ✗ = SOLUZIONE bi222 b > e.a × 1=× = n, =,, ,> ., . . ,,: aii. . . . bnAnn ✗ =n denominatorerisolve portando rigaequazioneogni si ogni sia >peradiNumerodividere divisionideve n=.sistemi triangolari• superiore "" "°" °"" =" """ -L- _- ✓. __. , bnSOLUZIONEbn& an ✗+ ✗✗ = =,n n,n iniin _- -,- _ AnnbnAnn ✗ =n bn an ✗- ^,. in-✗ =a- ,% 12 an1 in I--=✗3 20 2 :' n Mj ✗bi si-

indietrocon .Fattorizzazione PA=LU e applicazioni

Quando lametodo richiede realizzail Gauss seguentescambi fattorizzazionedi nondella Amatrice : }A- LU matricideterminare queste duePer- alalgoritmonell'matricematrice triangolaretriangolare bisogna aggiungere' > ,termineinferiore deglidelle trasformazionisuperiore Aelementi di solo le istruzionidue, ULeche generano .il metodoNel delle la fattorizzazioneeliminazioni di Gauss èscambisianocuiin cicaso PA LU= di permutazionematrice> "Stesso computazionalecosto > 3Comandi Matlab )(soluzione ovviamenteAxcalcola Gaussblax = A\b risoltadi✗> con= ,la determinatealgoritmo matrice Al' quindi devespecificoè avere,caratteristiche simmetrica altrimentidiagonale la)triangolare usa. . .,,,fattorizzazione generalePA LU >-- Pcalcola fattori AdiUL[L,U,P]=lu(A) i e> ,Applicazioni della fattorizzazione PA=LU1) A bRISOLUZIONE SISTEMA LINEAREDEL × =1- Pax Pb PbLungeb✗ == =da si ricavacui : { Lg Pb

I=Ux y= "altrimentiSe fattori U costo computazionalePL nanoti il èèi sono, , 32) DETERMINANTE MATRICEUNACALCOLO DEL DIcalcolo determinante cosìprocederedel Adiil puòsi :per ) ILU( )det del ( )(1)PA dettadella del del) U== n<s ' >(1) 1 Mii. .. .l' 1n ="detta) tiquindi ": = ; ; ii3) MATRICEDELL' INVERSA UNADICALCOLO computazionaleilmetodo costoottimo è :per> '"'( ') U ")Pa ( '"_ _PLU LA-PA LU == = :' ' ' PA- Uda - [cui 3=4) A biRISOLUZIONE PIÙ SISTEMIDI LINEARI ✗ i =abbiamose AX bs { PbLy= y, =bz >✗ = Uxia ✗y i=AX b= }}