Riassunto Calcolo numerico 3

Calcolo numerico

Riassunti di sistemi lineari

Prof. Fabio Vicini e Carlotta Gatti

Modellazione e fenomeni fisici

La risoluzione di un sistema lineare è un passo intermedio fondamentale per la modellizzazione di un fenomeno fisico.

Norme di vettori e matrici

Vettori

La norma euclidea di un vettore è definita come &|x| = ||x||₂. La norma massima è data da max |x_i|.

• Comandi Matlab: norm(x,1) fornisce la norma 1 del vettore.
• norm(x,2) o semplicemente norm(x) fornisce la norma 2 del vettore.
• norm(x,inf) fornisce la norma infinita del vettore.

Matrici

La norma spettrale di una matrice è definita come la massima norma tra tutti i vettori compatibili. La norma della matrice A è data da max |a_ij|.

• Comandi Matlab: norm(A,1) fornisce la norma 1 della matrice.
• norm(A,inf) fornisce la norma infinita della matrice.

Tipi di matrici

• Triangolare superiore: Matrice in cui tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono zero.
• Triangolare inferiore: Matrice in cui tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono zero.
• Diagonale: Matrice in cui tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale sono zero.
• Tridiagonale: Matrice in cui gli elementi al di fuori della diagonale principale e delle due diagonali adiacenti sono zero.
• Hessenberg superiore: Matrice in cui tutti gli elementi al di sotto della prima diagonale sotto la diagonale principale sono zero.
• Hessenberg inferiore: Matrice in cui tutti gli elementi al di sopra della prima diagonale sopra la diagonale principale sono zero.

Proprietà delle matrici

Trasposta: Una matrice trasposta, denotata con A^T, si ottiene scambiando righe e colonne della matrice originale.

Simmetrica: Una matrice è simmetrica se A = A^T.

Inversa: La matrice A^-1 è l'inversa di A se AA^-1 = I, dove I è la matrice identità.

Ortogonale: Una matrice è ortogonale se la sua trasposta coincide con la sua inversa, ossia A^TA = I.

Matrice a blocchi

Una matrice a blocchi è una matrice partizionata in sottoblocchi, ciascuno dei quali può essere trattato come un elemento singolo nei calcoli. Questo tipo di matrice è utile negli algoritmi numerici per gestire matrici sparse o di grandi dimensioni.

Matrice triangolare superiore (inferiore) a blocchi: Queste matrici hanno blocchi quadrati lungo la diagonale e blocchi di zeri nelle posizioni non diagonali.