Riassunto Calcolo numerico 2

Interpolazione polinomiale

Professor Gatti Carlotta ha dati di una funzione f da approssimare con una forma polinomiale. Utilizzando un calcolatore funzionale, l'obiettivo è determinare se esiste un polinomio che soddisfi i dati dati una serie di punti (Xi, Yi). Questi dati rappresentano un insieme di valori che seguono un certo andamento, simile a quello di un'applicazione statistica come finanza o fisica.

Il criterio per scegliere come approssimare i dati è l'interpolazione. L'interpolazione consiste nel trovare una funzione che passi per tutti i punti dati. In altre parole, si cerca una funzione f(x) che soddisfi f(Xi) = Yi per ogni i.

Per l'interpolazione polinomiale, si utilizzano polinomi a tratti. Questi polinomi sono usati nell'interpolazione grafica e nell'algoritmo di soluzione dei problemi di integrazione e differenziazione.

La rappresentazione dei polinomi può essere fatta utilizzando la monomiale interpolazione. Questo metodo interpreta i dati come punti sulla funzione f(x) o come coppie (xi, yi).

Cn✗ cn-1 ✗+ ++> × = -11. . ., Comandi Matlab c = polyfit(x,y,n) in memoria C> funzione (di interpolante grado) dati i nyi✗ i.() ' )'(1)( (2) ( )^ _Pn c.( ( ✗✗ -11+ nx ++ nc✗ += . .. )( polinomio valori qualsiasi vettore p = polyval(c,z) di in memoria un p> (c) coefficienti nel memorizzati vettore in assume z grande più è nil è problema più mal condizionato ✓ calcolare il deve si polinomio interpolante con altri polyfit modi > Rappresentazione di Lagrange del polinomio di interpolazione costruzione interpolante polinomio del nononiale ≠> DIMOSTRAZIONE distinti seguenti Siano consideri nonodi sii in -11 en✗ con -111• =i . ,. ., ,, polinomi grado di n : (( () 1) ) ( )✗×✗ × xj.ie× j× ✗ . -. .- .-. .- -^g. ( ) =× ( ( (xD 1) ) ( )✗"✗ xj-xj.inxj jxj j. --. .-. - mi- -j 1 per n -11• = ... ,, Poichè { ji1 se =ljlxi ) = 'jio se ≠ interpolare)ljlx dati i• :)( ( )( )) ( )

1. (+1,0✗ 1,0 -1,0 ✗ -11,0✗✗ 1 "jj g-,. . , .. .,, . n,(assegnati verificare polinomio) immediato chedati il di gradoèii 1✗• -11nyi =i. ,.. ,.,,definitocosìn , -11n yjlj( )) (Pn ×× = g. ,= risultasoddisfa interpolazionele Infatticondizioni di◦ :.-11n yili)( )gjlj (/ ) iPn ✗✗ con 1 -11nyi✗ = = ==i ii . .. ,, ,g. ,= gradi>n -11RAPPRESENTAZIONE ifjljLAGRANGE ( ) ( )pn ×di > ×= g. ,=(interpolante )datipolinomio >< FONDAMENTALIPOLINOMIi ✗ yii. associati≠i LAGRANGEDIcon 1 ✗ ✗en -11 i= j.. . ,, nodii aij≠ ✗ i.
2. OSSERVAZIONE 1 :La rappresentazione di Lagrange del polinomio di interpolazione è interessante per diversi motivi1) fornisce una dimostrazione costruttiva dell’esistenza del polinomio interpolante;2) rappresenta la base per la costruzione di formule di integrazione numerica e di metodi perl’approssimazione della soluzione di problemi differenziali.
3. OSSERVAZIONE 2Si osservi che

Ciascun polinomio l(x) dipende da tutti i nodi e, di conseguenza, se si desidera aggiungere un dato di interpolazione all'insieme dei dati {(xi, yi)}i=1,...,n+1, occorre ricalcolare tutti i polinomi lj(x)! Pertanto, dal punto di vista del calcolo numerico del polinomio, la rappresentazione di Lagrange del polinomio interpolante è di interesse pratico solo per un numero piccolo di dati di interpolazione oppure quando i nodi xi sono fissati e si calcolano i polinomi di interpolazione corrispondenti a diversi insiemi di valori {yi}.

Nella pratica, per il calcolo numerico del polinomio di interpolazione, si utilizza una rappresentazione alternativa a quella monomiale e di Lagrange, nota come rappresentazione di Newton.

La funzione En(x) definisce l'errore di interpolazione pn(x) - fl(x) dove pn(x) è il polinomio interpolante e fl(x) è la funzione esatta.

Osservazione: En(x) = En(xi) per xi ∈ [a, b]

I) La funzione polinomiale funziona per ogni grado di interpolazione.

II) Se En(x) ≤ En per ogni xi ∈ [a, b], allora En(x) ≤ En per ogni x ∈ [a, b].

e ≤ n✗ n, interpolante f polinomio il f indico p pongo pn> con = e = p .. continua funzione g lx) definita [ ] data da è in b NORMA UNIFORME INFINITO NORMA a. una :: ) 94 Max g : = no ] fa b + c - ,}{ Si uniformemente dice f polinomio diche solo successione una a converge e se spn : n . cn , IL veritiera f - > sempre noi Pn o = a b - a1)( h h EQUI i SPAZIATINO DI > i - 1 ✗ n1 - 11 = con > a = = i - . . . , . n infinitamente derivabile 1 ft x) prendo RUNGE FUNZIONE DI se > = , 21 ✗ + ✓ fl x uniformemente ) converge anon [ b ) intervallicerti in per a. Se considero ][ intervallo l' 1,2][ di invece 5,5 interpolazione l' di errore tende 0 a . V Nodi di Chebyshev - Lobatto ALTERNATIVA definiti punti così > :: i ][ - 1 TI i2 - - 11 - 1,1 cos E n1 = i = - .. ,, , n Nodi di Chebyshev 1) i < ) f - TI - i2 - cos - 11 E 1,1 = 1 ni = - . . , . , ) 2 h - 11 la tanto la uniforme < > NON è più convergenza convergenza la quanto garantita funzione è rapida regolare più è se continua funzione sola è . . Funzione

polinomiale a tratti: spine

Si consideri una funzione polinomiale definita su un intervallo dato da una partizione dell'intervallo. Ogni tratto di questa funzione è un polinomio di grado diverso. L'unione di ciascun tratto forma la funzione generale. Nel caso scelto, l'intervallo è piccolo.

Osservazione: le funzioni continue sono generalmente non derivabili nei punti di raccordo.

Le funzioni spline sono particolari funzioni che soddisfano proprietà di regolarità nel raccordo tra i tratti. Sia S(x) una funzione spline definita su un intervallo di partizione [a, b]. Siano yi i nodi di interpolazione (punti in cui la funzione deve passare) e Sd(x) il polinomio di grado d che interpola i punti xi. La spline S(x) è definita come l'unione dei polinomi Sd(x) per i vari tratti.

La derivata della funzione Sd(x) è continua di ordine K in un intervallo [0, 1] per ogni i=1, ..., n.

La spline S(x) ha l'espressione seguente:

S(x) = S1(x) per x ∈ [x1, x2]

S(x) = S2(x) per x ∈ [x2, x3]

...

S(x) = Sn(x) per x ∈ [xn-1, xn]

<p>&amp; /)&amp; / )✗ ✗ ii) -"flxiS )( ( ) E✗ ✗✗&times; con= i. in+ &times; ✗, i-✗ ✗ i-i -11Comandi Matlab valori la spline interpolantes = interpl(x,y,z) checalcola lineareiinmemorizza se> dati ( valori) i in ii 2-assume yie✗n✗ -11 sono1yii i;= .. .. ,,, ,memorizzati in ine&times; y .aumentanoSe il nell' dellelaintervallo spline Sidei nodi successionebsi numero a.?uniformemente finterpolante f converge a qualunque fcontinualala funzionegarantitauniforme &egrave;OSSERVAZIONE siaconvergenza: qualunque la scelta dei hradisiae xi per 0> . plotcomandoilusareper rappresentazioneunaaveree &quot;&quot;grafica corretta devesi> lavalutare funzione in unopportunamente elevatonumero puntidi .splineImponendo condizionile definisconoche ossiauna :,&quot;&quot;{ nodi53 K internidi seicontinuit&agrave;dicondizioni 1,2n 01 &times;pe</p>