Riassunto esame Statistica e calcolo delle probabilità, prof. De Gregorio

STATISTICA

Statistica - si occupa di trarre conclusioni da dati sperimentali.

Popolazione - insieme molto grande di oggetti a cui sono associati, delle quantità misurabili.

Si analizza un sottoinsieme ridotto di oggetti - campione - e si traggono conclusioni valide per la popolazione nel suo insieme.

Si ipotizza una distribuzione

di probabilità della popolazione

Campione - vettore (X₁, X₂, ..., X_n) di variabili aleatorie indipendenti tutte con la stessa distribuzione F

Nella pratica la distribuzione F non è mai nota completamen-te, ma posso usare dati per fare dell'inferenza statistica.

F è nota a meno di un insieme di parametri,incogniti -> inferenza parametrica

Statistica -> variabile aleatoria funzione dei dati di un campione

f( X₁, X₂, ..., X_n )

MEDIA CAMPIONARIA

E' definita come

X̄ = (X₁ + X₂ + ... + X_n) / n

E' funzione delle variabili aleatorie X₁, X₂, ..., X_n, è perciò una statistica, ed è a sua volta una variabile aleatoria

E [ X̄ ] = E [ X₁ + X₂ + ... + X_n ] / n = (E[X₁] + E[X₂] + ... + E[X_n]) / n = nμ / n = μ

Var (X̄) = Var ( X₁ + X₂ + ... + X_n ) / n² = (Var(X₁) + Var(X₂) + ... + Var(X_n)) / n²

= σ² / n² = σ² / n

X̄ è centrata attorno a μ e la sua variabilità si riduce all'aumentare di n

STATISTICA

Statistica → si occupa di trarre conclusioni da dati sperimentali.

• Popolazione = insieme molto grande di oggetti a cui sono associati delle quantit. misurabili.
• Si analizza un sottoinsieme ridotto di oggetti = campione, e si traggono conclusioni valide per la popolazione nel suo insieme.

Supponiamo una distribuzione

di probabilit. della popolazione

Campione = vettore (X₁, X₂, ..., X_n) di variabili aleatorie indipendenti tutte con la stessa distribuzione F.

Nella pratica la distribuzione F non . mai nota completamente, ma posso usare dati per fare dell'inferenza statistica.

dati sono un sottoinsieme di questi osservabili

F. nota a meno di un insieme di parametri incogniti → inferenza parametrica.

Statistica → variabile aleatoria funzione dei dati di un campione

f(X₁, X₂, ..., X_n)

MEDIA CAMPIONARIA

È definita come

X̄ = (X₁ + X₂ + ... + X_n) / n

È funzione delle variabili aleatorie X₁, X₂, ..., X_n, è perciò una statistica, ed è a sua volta una variabile aleatoria.

E [ X̄ ] = E [ X₁ + X₂ + ... + X_n ] / ⁿ = (E [ X₁ ] + E [ X₂ ] + ... + E [ X_n ]) / ⁿ

= μ →

Var(X̄) = Var(X₁ + X₂ + ... + X_n) / ⁿ² = (Var(X₁) + Var(X₂) + ... + Var(X_n)) / ⁿ²

= λ² / ⁿ = δ² / ⁿ

X̄ è centrata attorno a μ e la sua variabilità si riduce all.aumentare di n.

Teorema del limite centrale

Siano X₁, X₂, ..., X_n delle variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite con media μ e varianza δ². Allora se n è grande la somma

X₁ + X₂ + ... + X_n

è approssimativamente normale con media nμ e varianza nδ².

Si può normalizzare il risultato per ottenere approssimativamente una normale standard.

(X₁ + X₂ + ... + X_n - nμ) / (δ√n) d≈ (0,1)

Per n grande e x qualsiasi tale

P((X₁ + X₂ + ... + X_n - nμ) / (δ√n)