Riassunto esame Statistica e calcolo delle probabilità, prof. De Gregorio

STATISTICA

Statistica -> si occupa di trarre conclusioni da dati sperimentali.

Popolazione -> insieme molto grande di oggetti a cui sono associati delle quantitative misurabili

Si analizza una sottoinsieme ridotto di oggetti = campione e si traggono conclusioni valide per la popolazione nel suo insieme

Si ipotizza una distribuzione di probabilità della popolazione

Campione -> vettore (X₁, X₂, ..., X_n) di variabili aleatorie indipendenti tutte conla stessa distribuzione F

Nella pratica la distribuzione F non è mai nota completamente, ma posso usare dati per fare dell'inferenzia statistica

È nota a meno di un

insieme di parametri

incogniti -> inferenza parametrica

Statistica -> variabile aleatoria funzione dei dati di un campione

f(X₁, X₂, ... , X_n)

MEDIA CAMPIONARIA

È definita come:

^_X = (X₁ + X₂ + ... + X_n )/ n

È funzione delle variabili aleatorie X₁, X₂, ... , X_n → è perciò una statistica, ed è a sua volta una variabile aleatoria

E(^_X) = E ( (X₁ + X₂ + ... + X_n)/n ) = ( E(X₁) + E(X₂) + ... + E(X_n) )/ n

= nμ/n = μ

Var (^_X) = Var ( (X₁+X₂+...+X_n)/n ) = (Var (X₁) + Var (X₂) + ... + Var (X_n) ) / n²

= nσ²/n² = σ²/n

^_X è centrata attorno a μ e la sua variabilità si riduce all'aumentare di n

Teorema del limite centrale

Siano X₁, X₂, ..., X_n delle variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite, con media μ e varianza δ². Allora se n è grande la somma

X₁ + X₂ + ... + X_n

è approssimativamente normale con media nμ e varianza nδ².

Si può normalizzare il risultato per ottenere approssimativamente una normale Standard.

X₁ + X₂ + ... + X_n - nμ / (δ√n) ≈ N(0,1)

Per n grande* e x qualsiasi vale

P(X₁ + X₂ + ... + X_n - nμ / δ√n ≤ x) ≈ Φ(x)

Una delle conseguenze è che per n grande la distribuzione della media campionaria diventa approssimativamente normale.

X ≈ N(μ, δ²/n)

*n almeno 30 (risultato empirico)

Per massimizzare log[f(x

_i∑ⁱ⁼¹ x_i log(ρ) + (n _∑ⁱ⁼¹ x_i) log(1-ρ) - log [f(x

di log[f(x

x_i = n