Riassunto appunti del corso

CALCOLO

x, sign, exp, d_p, b^e, b_c caratteristica, [...] puntificata

in macchina b = 2

PR(β, L, U) = [0, β^L - 1] ∪ r ∈ ℝ, x: sign(x) ∈ {0, 1}

ξ: d_p, β^e, con d_L dich. = 0 dis b - 1, c ∈ [L, U]

Operazioni in macchina x ⊕ y = PR(PR(x) ⊕ PR(y))

CALCOLO RADICI NON LINEARI

1. ALGORITMO DI BISEZIONE

   a = a₀

   b = b₀

   m = m₀ = ^{a₀ + b₀} / ₂

   for k=0, imax (while ...)

   if f(m_k) = 0

   x = m_k

   a_k = m_k

   b_k = b_k

   m_k = ^{a_k + b_k} / ₂

   end

2. Algoritmo converge con ordine p se |e_n+1| ≤ |e_n|^p
3. Metodo: Iterativi, in generale x_k = x₀, while/for ...
4. NEWTON q_n = f'(x_n)

Algoritmo di bisez è problema convergente:

lim_k→∞ e_k = 0, con errore e_k = M

CALCOLO

x_n

• x. sign (x) (β^e [...] β^p)
• β base, e exp. unque, [..] mantissa
• in macchina β = 2;

F: _{(β, L, U)} [...] con did.

Operazioni in macchina x □ y = [...]

CALCOLO RADICI NON LINEARI

• ALGORITMO DI BISEZIONE

a = a₀ b = b₀

m = m₀ =

1. for k = 0; imax (while ...) if f(m_k) = 0 x = m_v else if f(a_k) f(m_v) < 0 a_k+1 = a_k b_k+1 = m_v m_k+1 =
2. else if f(m_k) f(b_i) < 0 a_i+1 = m_k b_k+1 = b_k
3. end end

Tolleranza 1: |f(m_v)| tol. stop (while |f(m_v)| tol.) Ris. duo: |b_v-a_v| tol. stop (while |b_v-a_v| tol.) nmax: (while it ω and k) imax

• Algoritmo di bistez. è probabi. convergente; lim term 0, con errore e_x = b_k - a_x
• Iterazioni minime per appross. con rad. fissata

Algoritmo converge con ordine p se [...] < |F|^p

Modi: Iterativi, in pos. X₀, while for... → X_n+1 = X_i -

• NEWTON q_r f(x)
• SECANTI q_n =
• CORDE q_n = X_n+1 = X_n - [...]

Iterazione [...] ITERAZIONE di PUNTO FISSO X_n+1 = _(xn), n = 0, 1, Corde (p) (X ) = (b - ) Iterativo come: _o [...]

Teorema: ptp FISSO

Sia φ: [a,b]→R continua, dato X₀, X_n+1=φ(X_n) ∀n=0,1,2,...allora 1) Se X_n ∈ [a,b] ⇒ ∃ almeno un pto fisso α (teorema del valore medio) 2) Se inoltre | X₀ | < L cte ∀X_n ∈ [a,b] |f(y)-f(z)| ≤ L |y-z| allora 1) unica c sse L < 1 tc. f(x) = α ; 2) ∀X₀ ∈ [a,b] lim X_n

Teorema: convergenza locale ptp FISSO

Sia φ: [a,b]→R. L'itera._azione da pt. fisso. Se φ∈C₁(I_α) con I_α intorno di α allora 1) se |φ'(x)| ≤ c < 1 allora esiste α ∈ I_α φ(x) = α e lim X_n = α 2) se φ'(α) == 0 , allora φ∈C₂ (I_α) allora lim X_n = α e lim _{(Xn+1 - Xn)² - φ'(x)}

SISTEMI DI EQUAZIONI NON LINEARI

X₀ ∈ Rⁿ  for k=0,1,... (while ...)    risolvo J(x_k+1) = E(x_k) = F(x_k)     x_k+1 - X_k+1

Metodo: di Newton: iteraz.li (preciso ma tempo di calcolo)

Criteri di arresto: 1) Controllo del residuo: φ(X_n) < tol2

• Controllo dell'incremento |X_n+1 - X^2_n| < tol, applic. quando |φ(x)| < tol

METODI NUMERICI PER SISTEMI LINEARI

Teorema: A x = b ammette 1 e sola soluzione sse è verificata una delle cond.t (equ.t): i)A non è sing.colare (unica A^-