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Per quadratura interpolatoria si intende l’integrale di una funzione tra a e b ottenuta tramite
interpolazione di n punti, Questo implica che sarà l’integrale di un polinomio ottenuto per
interpolazione, il che renderà la funzione facilmente integrabile, ma otterremo certamente
degli errori dati dall’approssimazione della funzione.
vediamo ora che i punti di interpolazione verranno scritti come
x=a+c (a-b) in cui c è un numero tra 0 e 1
i i
Nel caso dei nodi equidistanti c =i/n
i
Teorema 1 (Maset)
la formula generale di quadratura interpolatoria è data da
dove A è il “peso” e f(x ) è il nodo
= ( − ) ∑ ( ) i i
=0
1 − , ovvero i c rappresente la distanza del punto rispetto al punto a e A è
= ∫ ∏ i
−
0 =0 ≠
praticamente una “funzione distanza da a”
IL funzionale, ovvero la funzione della funzione integrale prende il nome di formula di
quadratura interpolatoria a n+1 nodi
() = ( − ) ∑ ( ) ∈ ([, ])
=0
Il funzionale ha 2 proprietà
()
- ;
∀f,g ∈C([a,b]): ( + ) = () + ()
- α R, f∈C([a,b]):
∀ ∈ ∀ (α) = α ()
Formule di quadratura generale
Abbiamo visto la formula di quadratura
() = ( − ) ∑ ( ) ∈ ([, ])
=0
Formula di quadratura di Newton-Cotes
nel caso in cui i nodi fossero equidistanti abbiamo che il nodo viene rappresentato in
maniera diversa, ovvero
x = a+ih = a+i/n*(b-a) e vediamo subito quindi che h=(b-a)/n
i
viene introdotto quindi, derivando dalla formula di quadratura generale un nuovo parametro
detto numero di Cotes dato da 10
−
= ∫ ∏
0−
0 =0 ≠
Questa produce quindi che la formula di quadratura di Newton-Cotes è
() = ( − ) ∑ ( ) = ℎ ∑ ( )
=0 =0
Formula dei trapezi
Praticamente è con numero di cotes uguale a due, di conseguenza l'interpolazione diventa
una retta generando quindi un trapezio.
Formula di cavalieri-Simpson
Uguale a newton-cotes a tre punti.
Errore delle formule di quadratura
() = () − (), ∈([, ])
Ordina polinomiale
La qualità di una formula di quadratura come approssimazione del funzionale integrale è
legata alla seguente nozione
Definizione 2 (Maset)
Sia k un intero non negativo, Una formula di quadratura I a n+1 nodi si dice ordine
n
polinomiale k se E (q)=0 per ogni polinomio q di grado ≤k, cioè se la formula di quadratura
n
fornisce il valore esatto dell’integrale quando è applicata ad una qualsiasi polinomio di grado
≤k
Una formula di quadratura interpolatoria.a n+1 nodi ha ordine polinomiale n
Nucleo di Peano
Il nucleo di peano permette di formulare un’espressione per il funzionale errore. si farà uso
della seguente notazione
k+ k
t :={t se t≥0; 0 se t<0}
Teorema 5 (Maset)
Se una generica formula di quadratura composta
() = ( − ) ∑ ( )
=0 k+1
a n+1 nodi x = a+c (b-a) ha ordine polinomiale k allora per ogni f C si ha che l’errore
∈
i i
sarà 11
1
+2 (+1)
(−) dc
() = ∫ () ( + ( − ))
!
0
dove la funzione del nucleo di Peano è definita come
1
() = ∑ ( − ) − ∫(γ − ) γ
+ +
=0 0
Tutto questo permette poi di andare a valutare una cosa molto importante, ovvero se
fermarci o meno durante la quadratura.
Infatti il prossimo teorema ci permette di fare questa valutazione.
Teorema 6 (maset)
Se una formula di quadratura I ha ordine polinomiale k, allora I ha ordine polinomiale k+1
n n
se e solo se
1 ,
∫ () = 0
0
Ovvero se e solo se il nucleo di peano non cambia segno tra 0 e 1 allora il massimo ordine
polinomiale è stato raggiunto.
Errore della formula di quadratura
Dall’espressione del funzionale errore con il nucleo di Peano si ottiene per una formula di
k+1
quadratura a n+1 nodi di ordine polinomiale k e per f C ([a,b])
∈
+2 (+1) dove
| ()| ≤ ( − ) || ||
1
1
= ∫ | ()|
!
0
Inoltre se il nucleo di Peano K non cambia di segno tra 0 e 1 allora la formula si semplifica
k
diventando +2 (+1)
| ()| ≤ ( [0, 1]) · ( − ) · (ξ)
Ordine polinomiale e errore delle formule di quadratura di Newton-Cotes
checazzo ce devo mettere qui
Ordine polinomiale e errore delle formule di quadratura dei trapezi
Il nucleo di Peano nel caso dei trapezi è
K (c)=½ (1-c)c
1
Vediamo che per la formula dei trapezi il nucleo è sempre positivo, conseguenza non può
avere un ordine polinomiale >1
si ha poi per l’errore che C =1/12
1
3
1
| | ≤ ( − ) ||''||
12
12
Ordine polinomiale e errore delle formule di quadratura di Cavalieri-Simpson
fallo te, il procedimento è identico.
Formule di quadratura composta
Composizione trapezi-cavalieri simpson
Ordine di convergenza delle formule di quadratura
Calcolare l’integrale in una tolleranza prefissata
Martinez
Metriche e spazi metrici
La metrica è un modo per misurare le distanze negli spazi
Vediamo la definizione
Definizione 1 Martinez
⍴ ⍴
Sia M uno spazio e : M x M → R, Si dice che è una metrica su M se
⍴(u,v)
u,v (vettori)∈ M , ≥ 0 (positività)
- ∀ ⍴(u,v) ⍴(v,u)
u,v (vettori)∈ M , = (simmetria)
- ∀ ⍴(u,v) ⍴(v,w)+⍴(w,u)
u,v,w (vettori)∈ M , ≤ (disuguaglianza triangolare)
- ∀ ⍴(v,u) viene definita
vediamo quindi che il numero distanza tra 2 vettori.
e l’insieme M associato ad una metrico ovvero a una definizione di distanza (M,⍴) è definito
spazio metrico.
Palle aperte e palle chiuse
La palla è un insieme determinato da un punto e una distanza
é quindi un insieme di punti a una determinata distanza da un punto detto centro ed è
definito così:
palla aperta B(a,r):={u∈M : ρ(a,u)<r}
palla chiusa B’(a,r):={u∈M : ρ(a,u)≤r}
Norme e spazi Normati
La norma è una funzione che permette di determinare la grandezza di un vettore, ovvero la
distanza punta-coda del vettore
Definizione 2 Martinez
Sia V uno spazio vettoriale e sia || . || : V→R si dice che || . || è una norma su V se
- V :||u|| ≥ 0 e u =0 allora ||u||=0 (positività)
∀u ∈
- R e V :||αV|| = |α|⋅||u|| (omogeneità)
∀α ∈ ∀u ∈
- V :||u+v|| ≤ ||u||+||v|| (disuguaglianza triangolare)
∀u,v ∈
Il numero ||u|| è detto grandezza di u nella norma || . || 13
Metrica dedotta da una norma
Data una norma, ovvero una “grandezza” di un vettore, è possibile andare a ricostruire
anche una distanza, ovvero una metrica
Sia (V,|| . ||) uno spazio vettoriale normato, Si può introdurre su V una metrica nel seguente
modo
⍴:
Sia V x V→ R data da
⍴(u,v)= ||u-v|| con u,v∈ V
È possibile dimostrare che una metrica costruita in questo modo rispetta le tre proprietà
della metrica.
Palle aperte e chiuse negli spazi normati
In uno spazio normato le palle aperte e chiuse sono definite circa allo stesso modo, infatti
come abbiamo visto da una norma è possibile definire una metrica.
allora una palla è definita da
B(a,r):{u∈V : ρ(a,u)=||u-a||<r}
n
Norme su R
Per velocizzare il processo inserisco solo la norma p dato che tutte le altre (Norma 1, 2 e
infinito) derivano dalla generica norma P
Norma p
Sia p R con p ≥ 1 la funzione || . || è definita da
∈ p
( )
1/
|||| = ∑ | |
=1
Nei casi particolari abbiamo
Norma 1
|||| = ∑ | |
1 1
=1
Norma 2 o euclidea
2
|||| = ∑ | |
2 1
Norma infinito
|||| = | |
∞
é possibile dimostrare che al crescere di p la norma diminuisce sempre di più, ovvero la
funzione 14
( )
1/
|||| = ∑ | |
=1
è decrescente all’aumentare di p. Si arriva quindi a capire che la norma infinità è la norma
più piccola. ⍴
Metrica p
⍴
Metrica è costruita in questo modo
p ( )
1/
ρ (, ) = || − || = ∑ | − | 1 ≤ ≤ ∞
=1
( )
ρ (, ) = || − || = | − | = ∞
In maniera particolare la metrica 2 è la metrica euclidea, ovvero detta brutta il teorema di
pitagora ( )
2
ρ (, ) = || − || = | − |
2 2
Palle nella norma p
dubbia utilità pratica
ma
Norma 1 palla==rombo
Norma 2 palla == cerchio
Norma infinito palla == quadrato
n
Equivalenze di norme in R
Per equivalenza di norme si intende quando 2 norme forniscono grandezze comprabili.
Vediamo immediatamente senza le dimostrazioni che la norma infinito è equivalente della
n n
norma 2 in R e, dato che tutte le norme in R sono equivalenti alla norma 2, allora tutte le
n
norme p in R sono equivalenti.
Prodotti scalari e spazi euclidei
Definizione 8
Sia V uno spazio vettoriale e sia〈 . , . V x V → R. Si dice che〈 . un prodotto scalare su
〉: 〉è
V se
- u∈ V : 0 e u=0
∀ 〈u,u〉≥ 〈u,u〉=0 ⇔