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Per quadratura interpolatoria si intende l’integrale di una funzione tra a e b ottenuta tramite

interpolazione di n punti, Questo implica che sarà l’integrale di un polinomio ottenuto per

interpolazione, il che renderà la funzione facilmente integrabile, ma otterremo certamente

degli errori dati dall’approssimazione della funzione.

vediamo ora che i punti di interpolazione verranno scritti come

x=a+c (a-b) in cui c è un numero tra 0 e 1

i i

Nel caso dei nodi equidistanti c =i/n

i

Teorema 1 (Maset)

la formula generale di quadratura interpolatoria è data da

dove A è il “peso” e f(x ) è il nodo

= ( − ) ∑ ( ) i i

=0

1 − , ovvero i c rappresente la distanza del punto rispetto al punto a e A è

= ∫ ∏ i

0 =0 ≠

praticamente una “funzione distanza da a”

IL funzionale, ovvero la funzione della funzione integrale prende il nome di formula di

quadratura interpolatoria a n+1 nodi

() = ( − ) ∑ ( ) ∈ ([, ])

=0

Il funzionale ha 2 proprietà

()

- ;

∀f,g ∈C([a,b]): ( + ) = () + ()

- α R, f∈C([a,b]):

∀ ∈ ∀ (α) = α ()

Formule di quadratura generale

Abbiamo visto la formula di quadratura

() = ( − ) ∑ ( ) ∈ ([, ])

=0

Formula di quadratura di Newton-Cotes

nel caso in cui i nodi fossero equidistanti abbiamo che il nodo viene rappresentato in

maniera diversa, ovvero

x = a+ih = a+i/n*(b-a) e vediamo subito quindi che h=(b-a)/n

i

viene introdotto quindi, derivando dalla formula di quadratura generale un nuovo parametro

detto numero di Cotes dato da 10

= ∫ ∏

0−

0 =0 ≠

Questa produce quindi che la formula di quadratura di Newton-Cotes è

() = ( − ) ∑ ( ) = ℎ ∑ ( )

=0 =0

Formula dei trapezi

Praticamente è con numero di cotes uguale a due, di conseguenza l'interpolazione diventa

una retta generando quindi un trapezio.

Formula di cavalieri-Simpson

Uguale a newton-cotes a tre punti.

Errore delle formule di quadratura

() = () − (), ∈([, ])

Ordina polinomiale

La qualità di una formula di quadratura come approssimazione del funzionale integrale è

legata alla seguente nozione

Definizione 2 (Maset)

Sia k un intero non negativo, Una formula di quadratura I a n+1 nodi si dice ordine

n

polinomiale k se E (q)=0 per ogni polinomio q di grado ≤k, cioè se la formula di quadratura

n

fornisce il valore esatto dell’integrale quando è applicata ad una qualsiasi polinomio di grado

≤k

Una formula di quadratura interpolatoria.a n+1 nodi ha ordine polinomiale n

Nucleo di Peano

Il nucleo di peano permette di formulare un’espressione per il funzionale errore. si farà uso

della seguente notazione

k+ k

t :={t se t≥0; 0 se t<0}

Teorema 5 (Maset)

Se una generica formula di quadratura composta

() = ( − ) ∑ ( )

=0 k+1

a n+1 nodi x = a+c (b-a) ha ordine polinomiale k allora per ogni f C si ha che l’errore

i i

sarà 11

1

+2 (+1)

(−) dc

() = ∫ () ( + ( − ))

!

0

dove la funzione del nucleo di Peano è definita come

1

() = ∑ ( − ) − ∫(γ − ) γ

+ +

=0 0

Tutto questo permette poi di andare a valutare una cosa molto importante, ovvero se

fermarci o meno durante la quadratura.

Infatti il prossimo teorema ci permette di fare questa valutazione.

Teorema 6 (maset)

Se una formula di quadratura I ha ordine polinomiale k, allora I ha ordine polinomiale k+1

n n

se e solo se

1 ,

∫ () = 0

0

Ovvero se e solo se il nucleo di peano non cambia segno tra 0 e 1 allora il massimo ordine

polinomiale è stato raggiunto.

Errore della formula di quadratura

Dall’espressione del funzionale errore con il nucleo di Peano si ottiene per una formula di

k+1

quadratura a n+1 nodi di ordine polinomiale k e per f C ([a,b])

+2 (+1) dove

| ()| ≤ ( − ) || ||

1

1

= ∫ | ()|

!

0

Inoltre se il nucleo di Peano K non cambia di segno tra 0 e 1 allora la formula si semplifica

k

diventando +2 (+1)

| ()| ≤ ( [0, 1]) · ( − ) · (ξ)

Ordine polinomiale e errore delle formule di quadratura di Newton-Cotes

checazzo ce devo mettere qui

Ordine polinomiale e errore delle formule di quadratura dei trapezi

Il nucleo di Peano nel caso dei trapezi è

K (c)=½ (1-c)c

1

Vediamo che per la formula dei trapezi il nucleo è sempre positivo, conseguenza non può

avere un ordine polinomiale >1

si ha poi per l’errore che C =1/12

1

3

1

| | ≤ ( − ) ||''||

12

12

Ordine polinomiale e errore delle formule di quadratura di Cavalieri-Simpson

fallo te, il procedimento è identico.

Formule di quadratura composta

Composizione trapezi-cavalieri simpson

Ordine di convergenza delle formule di quadratura

Calcolare l’integrale in una tolleranza prefissata

Martinez

Metriche e spazi metrici

La metrica è un modo per misurare le distanze negli spazi

Vediamo la definizione

Definizione 1 Martinez

⍴ ⍴

Sia M uno spazio e : M x M → R, Si dice che è una metrica su M se

⍴(u,v)

u,v (vettori)∈ M , ≥ 0 (positività)

- ∀ ⍴(u,v) ⍴(v,u)

u,v (vettori)∈ M , = (simmetria)

- ∀ ⍴(u,v) ⍴(v,w)+⍴(w,u)

u,v,w (vettori)∈ M , ≤ (disuguaglianza triangolare)

- ∀ ⍴(v,u) viene definita

vediamo quindi che il numero distanza tra 2 vettori.

e l’insieme M associato ad una metrico ovvero a una definizione di distanza (M,⍴) è definito

spazio metrico.

Palle aperte e palle chiuse

La palla è un insieme determinato da un punto e una distanza

é quindi un insieme di punti a una determinata distanza da un punto detto centro ed è

definito così:

palla aperta B(a,r):={u∈M : ρ(a,u)<r}

palla chiusa B’(a,r):={u∈M : ρ(a,u)≤r}

Norme e spazi Normati

La norma è una funzione che permette di determinare la grandezza di un vettore, ovvero la

distanza punta-coda del vettore

Definizione 2 Martinez

Sia V uno spazio vettoriale e sia || . || : V→R si dice che || . || è una norma su V se

- V :||u|| ≥ 0 e u =0 allora ||u||=0 (positività)

∀u ∈

- R e V :||αV|| = |α|⋅||u|| (omogeneità)

∀α ∈ ∀u ∈

- V :||u+v|| ≤ ||u||+||v|| (disuguaglianza triangolare)

∀u,v ∈

Il numero ||u|| è detto grandezza di u nella norma || . || 13

Metrica dedotta da una norma

Data una norma, ovvero una “grandezza” di un vettore, è possibile andare a ricostruire

anche una distanza, ovvero una metrica

Sia (V,|| . ||) uno spazio vettoriale normato, Si può introdurre su V una metrica nel seguente

modo

⍴:

Sia V x V→ R data da

⍴(u,v)= ||u-v|| con u,v∈ V

È possibile dimostrare che una metrica costruita in questo modo rispetta le tre proprietà

della metrica.

Palle aperte e chiuse negli spazi normati

In uno spazio normato le palle aperte e chiuse sono definite circa allo stesso modo, infatti

come abbiamo visto da una norma è possibile definire una metrica.

allora una palla è definita da

B(a,r):{u∈V : ρ(a,u)=||u-a||<r}

n

Norme su R

Per velocizzare il processo inserisco solo la norma p dato che tutte le altre (Norma 1, 2 e

infinito) derivano dalla generica norma P

Norma p

Sia p R con p ≥ 1 la funzione || . || è definita da

∈ p

( )

1/

|||| = ∑ | |

=1

Nei casi particolari abbiamo

Norma 1

|||| = ∑ | |

1 1

=1

Norma 2 o euclidea

2

|||| = ∑ | |

2 1

Norma infinito

|||| = | |

é possibile dimostrare che al crescere di p la norma diminuisce sempre di più, ovvero la

funzione 14

( )

1/

|||| = ∑ | |

=1

è decrescente all’aumentare di p. Si arriva quindi a capire che la norma infinità è la norma

più piccola. ⍴

Metrica p

Metrica è costruita in questo modo

p ( )

1/

ρ (, ) = || − || = ∑ | − | 1 ≤ ≤ ∞

=1

( )

ρ (, ) = || − || = | − | = ∞

In maniera particolare la metrica 2 è la metrica euclidea, ovvero detta brutta il teorema di

pitagora ( )

2

ρ (, ) = || − || = | − |

2 2

Palle nella norma p

dubbia utilità pratica

ma

Norma 1 palla==rombo

Norma 2 palla == cerchio

Norma infinito palla == quadrato

n

Equivalenze di norme in R

Per equivalenza di norme si intende quando 2 norme forniscono grandezze comprabili.

Vediamo immediatamente senza le dimostrazioni che la norma infinito è equivalente della

n n

norma 2 in R e, dato che tutte le norme in R sono equivalenti alla norma 2, allora tutte le

n

norme p in R sono equivalenti.

Prodotti scalari e spazi euclidei

Definizione 8

Sia V uno spazio vettoriale e sia〈 . , . V x V → R. Si dice che〈 . un prodotto scalare su

〉: 〉è

V se

- u∈ V : 0 e u=0

∀ 〈u,u〉≥ 〈u,u〉=0 ⇔

Dettagli
Publisher
A.A. 2021-2022
20 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher giovi213 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi numerica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Trieste o del prof Maset Stefano.