Riassunto "Calcolo numerico e programmazione"

Modello numerico

Si utilizza quando un problema non può essere risolto (o è difficile da risolvere) tramite metodi analitici.

Il modello numerico consiste nel discretizzare il modello matematico (continuo). Discretizzazione = consente di operare su un numero finito di numeri. Ciò comporta che la soluzione non sarà esatta ma approssimata e si può stimare l'errore.

Algoritmo

è un numero finito di operazioni logiche che consentono di ottenere da un numero finito di dati un numero finito di risultati. Serve a cercare le soluzioni approssimate, partendo dal modello numerico.

Metodo numerico = modello numerico e algoritmo per la sua risoluzione. Deve avere:

1. Accuratezza: previsione del risultato ed errore limitato;
2. Efficienza: velocità di calcolo;
3. Stabilità: risultati simili in corrispondenza a dati iniziali simili.

Analisi degli errori

Nel calcolo numerico si commettono sempre due tipi di errori:

1. errori di arrotondamento = dovuti all'utilizzo del calcolatore (essendo una macchina finita non può fare operazioni all'infinito ma su dati discreti);
2. errori di troncamento = dati al metodo numerico che approssimano il metodo analitico.

Errore computazionale = arrotondamento + troncamento (e_c = e_a + e_t)

Errore computazionale assoluto: e_a = x - x̃ (x = soluzione esatta, x̃ = sol. approssimata)

Errore computazionale relativo: e_r^c = x - x̃ / x (rapportato alla grandezza della soluzione esatta)

Sistema Floating-point

Sistema col quale il calcolatore rappresenta i numeri reali:

x = (-1)^s (0, a₁ a₂ ... a_t) β^e

• s: d segno -> 0: num positivo
• s: d segno -> 1: num negativo
• a_i: cifre presenti nel numero
• β: base (d. norma β = 10)
• p: rappresenta il numero di cifre prima delle virgola: es. (3,1416 = 3 · 10⁰ + 1 · 10^-1 + 4 · 10^-2 + ...)

Epsilon di macchina

ε_M = β^1-t (t: numero di cifre della mantissa)

• Rappresenta la distanza tra 1 e il numero maggiore di 1 più vicino ad esso, rappresentabile col sistema floating-point. (E_M = 2,10^-16 circa)

Precisione di macchina

u: ν ≤ ε_M = 1/2 ε_M = 1/2 β^1-t. Massimo errore che la macchina commette quando rappresenta un numero col sistema floating-point. Quindi l'errore di arrotondamento è sempre di circa u

Condizionamento

= un problema è ben condizionato quando la soluzione non afferisce molto dalla soluzione esatta per piccole variazioni.

L'insieme è mal condizionato quando parte sensibile alle variazioni:

|[E₁, x₁ | _{→E2, x2}], [E₂, x₂ | _{→E3, x3}] -> max |x_i - x_j|

Modello numerico

Si utilizza quando un problema non può essere risolto (o è difficile da risolvere) tramite metodi analitici.

Il modello numerico consiste nel discretizzare il modello matematico (continuo). Discretizzazione = consiste di operare su un numero finito di numeri. Ciò comporta che la soluzione non sarà esatta ma approssimata e si può stimare l'errore.

Algoritmo: un numero finito di operazioni logiche che consentono di ottenere da un numero finito di dati un numero finito di risultati.

Serve a cercare le soluzioni approssimate partendo dal modello numerico.

Metodo numerico = modello numerico e algoritmo per la sua risoluzione. Deve avere:

1. Accuratezza: precisione del risultato ed errore limitato;
2. Efficienza: velocità di calcolo;
3. Stabilità: risultati simili in corrispondenza a dati iniziali simili.

Analisi degli errori

Nel calcolo numerico si commettono sempre due tipi di errori:

1. Errori di arrotondamento: dovuti all’utilizzo del calcolatore (essendo una macchina finita non può fare operazioni all’infinito ma su calcol discret.),
2. Errori di troncamento: dovuti al metodo numerico che riflette sempre un’approssimazione rispetto al metodo analitico.

→ Errore computazionale = arrotondamento e troncamento (ε_c = ε_a + ε_t)

Errore computazionale assoluto: ε_a = x - x̃   (x = soluzione esatta, x̃ = sol. approssimata) Errore computazionale relativo: ε_rel = ^{x - x̃}/_x (rapportato alla grandezza della soluzione esatta)

Sistema floating-point: sistema col quale il calcolatore rappresenta i numeri reali. x = (-1)^s (0, a₁, a₂, a₃ ...) β^p

• s = dà il segno: s = 0: num positivo   s = 1: negat.
• a_i = cifre presenti nel numero
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