Riassunti sistemi elettrici per l'energia, prof. Roberto Benato

Sistemi elettrici per l'energia

Richiami sui doppi bipoli lineari

Equazioni dei doppi bipoli lineari

Si consideri il doppio bipolo lineare attivo di figura, in cui si indica con la "porta" o coppia di morsetti di partenza e con la "porta" o coppia di morsetti di arrivo. Sono indicati inoltre i versi positivi per le correnti e per le tensioni: ad esempio, il valore istantaneo della tensione è positivo quando il morsetto 1 è positivo rispetto al morsetto 2, e il valore istantaneo della corrente è positivo quando essa fluisce nel verso indicato.

Si sottoponga il doppio bipolo alle seguenti prove:

• Si cortocircuitino i morsetti in partenza e in arrivo. Nelle due porte si ha la circolazione di due correnti rispettivamente, le quali sono prodotte dai generatori interni del doppio bipolo, che è stato supposto attivo.
• Si applichi ai morsetti di partenza una tensione dopo aver cortocircuitato i morsetti di arrivo e, nell'interno del doppio bipolo, annullato sia le forze elettromotrici dei generatori di tensione sia le correnti dei generatori di corrente. In partenza circola allora la corrente, mentre all'arrivo si avrà una corrente di valore.
• Si applichi ai morsetti di arrivo una tensione dopo aver cortocircuitato i morsetti di partenza e, nell'interno del doppio bipolo, annullato sia le forze elettromotrici dei generatori di tensione sia le correnti dei generatori di corrente. In partenza circola allora la corrente, mentre all'arrivo si avrà una corrente di valore.

Tramite il principio di sovrapposizione degli effetti, le correnti risultanti in partenza ed in arrivo sono:

= + +

Doppi bipoli passivi

Il comportamento in regime sinusoidale di un doppio bipolo lineare passivo (assenza di generatori interni) è dato dalle equazioni:

= + +

Da cui:

1 = − +

E sostituendo in si ha:

= − + + = − +

Dove: 1 = − ; = ; = − ; =

Ovvero si può scrivere:

= + +

Dove: = è una matrice ibrida, chiamata matrice di trasmissione poiché pone in relazione le grandezze di partenza con quelle di arrivo.

Doppi bipoli passivi reciproci

Si consideri che il doppio bipolo soddisfi al principio di reciprocità: ciò significa che le due mutue ammettenze fra le porte dovrebbero essere uguali se si fossero operate, in ambedue le porte, scelte uguali per i versi delle correnti e delle tensioni. Avendo scelto, invece, versi fra loro concordi in partenza e fra loro discordi in arrivo (vedi prima figura), la verifica del principio di reciprocità coincide con la condizione:

= −

Ovvero:

1 1 = − + = − − ∙ ∙ = − +

Perciò il doppio bipolo è reciproco quando:

− = 1

Ovvero quando il determinante della matrice di trasmissione è pari a 1.

Doppi bipoli passivi reciproci e simmetrici

Un doppio bipolo reciproco viene detto simmetrico se le autoammettenze viste alle due porte sono uguali. Naturalmente, a causa delle scelte operate per i versi delle correnti e delle tensioni, come si è anche osservato prima, dovrà essere nel nostro caso:

= −

Ovvero:

=

Perciò il doppio bipolo è simmetrico quando:

=

Da verificarsi insieme con la condizione dovuta alla reciprocità:

− = 1

In definitiva il doppio bipolo reciproco e simmetrico risulta:

− = 1

Si deve osservare che un doppio bipolo può risultare elettricamente simmetrico (con ) e non simmetrico dal punto di vista strutturale; mentre un doppio bipolo che sia simmetrico dal punto di vista strutturale lo è necessariamente anche elettricamente. Una linea a costanti uniformemente distribuite è un esempio tipico di doppio bipolo reciproco e simmetrico.

Doppi bipoli passivi in cascata

Si considerino due doppi bipoli passivi collegati in cascata, si può scrivere allora:

= + = + = + +

Sostituendo le equazioni del secondo doppio bipolo in quelle del primo si ottiene:

= + +

Dove i parametri sono quelli del doppio bipolo equivalente, che appare fra le porte estreme del circuito, , , in cascata. Pertanto la matrice di trasmissione del doppio bipolo equivalente risulta dal prodotto righe per colonne delle matrici di trasmissione dei due doppi bipoli in cascata:

= =

Doppi bipoli in parallelo

Il regime di parallelo impone non solo l'uguaglianza fra le due tensioni alla partenza e le due tensioni all'arrivo:

= = =

Ma anche che:

= , , = , ,

Tuttavia per i modelli monofasi delle reti trifasi simmetriche, alla sequenza diretta e alla sequenza inversa, è sufficiente che i morsetti , e , siano vincolati da collegamenti equipotenziali, esistenti nell'interno dei doppi bipoli (neutro).

Si potrà scrivere pertanto, considerando le matrici alle ammettenze:

= =

Considerando ora il regime di parallelo:

= =

Si può scrivere:

= =

Ovvero:

= + = +

Da cui si desume che la matrice ammettenza del doppio bipolo equivalente è pari alla somma delle matrici ammettenza dei due doppi bipoli.

Le matrici di trasmissione di due doppi bipoli degeneri

Un doppio bipolo viene detto degenere se risulta indeterminata la sua corrispondente matrice alle auto e mutue ammettenze oppure quella alle auto e mutue impedenze.

Impedenza longitudinale

(Nota che per determinare le impedenze si applichi ai morsetti di partenza una corrente dopo aver aperto i morsetti di arrivo e, nell'interno del doppio bipolo, annullato sia le forze elettromotrici dei generatori di tensione sia le correnti dei generatori di corrente.)

Se si applicano le equazioni alle ammettenze e quelle alle impedenze al doppio bipolo di figura si constata che le auto e mutue impedenze assumono valore infinito e che:

1 = − = = − =

Perciò le equazioni ibride di trasmissione sono:

:=1∙ + ∙ =0∙ +1∙

Dove: 1 = − ; = ; = − ; =

Da cui si desumono i parametri della matrice di trasmissione:

= = = 1 = 0

Ammettenza trasversale

(Nota che per determinare le ammettenze si applichi ai morsetti di partenza una tensione dopo aver cortocircuitato i morsetti di arrivo e, nell'interno del doppio bipolo, annullato sia le forze elettromotrici dei generatori di tensione sia le correnti dei generatori di corrente.)

Se si applicano le equazioni alle ammettenze e quelle alle impedenze al doppio bipolo di figura si constata che le auto e mutue ammettenze assumono valore infinito e che:

1 = − = = − =

Perciò le equazioni ibride di trasmissione sono:

:=1∙ +0∙ = ∙ +1∙

Dove: 1 = − ; = ; = − ; =

Da cui si desumono i parametri della matrice di trasmissione:

=0 = = 1 =

Schema equivalente a "T" dei doppi bipoli reciproci

Si può dimostrare che un doppio bipolo reciproco può essere ricondotto, per quanto riguarda il comportamento visto alle sue porte, a quello costituito da tre impedenze collegate a T. Considerato che il doppio bipolo a T di figura può essere ricondotto al collegamento in cascata di tre doppi bipoli degeneri, la matrice di trasmissione del doppio bipolo risultante si otterrà dal prodotto delle matrici di trasmissione dei doppi bipoli stessi. Si ottiene pertanto:

1+ + +1 01 1 = = ⁄1 1 10 1 0 1 1+

Da cui si ricavano le relazioni: 1−1−1 ===

Schema equivalente a "Π" dei doppi bipoli reciproci

Si può dimostrare che un doppio bipolo reciproco può essere ricondotto, per quanto riguarda il comportamento visto alle sue porte, a quello costituito da tre ammettenze collegate a Π.

Considerato che il doppio bipolo a di figura può essere ricondotto al collegamento in cascata di tre doppi bipoli Π degeneri, la matrice di trasmissione del doppio bipolo risultante si otterrà dal prodotto delle matrici di trasmissione dei doppi bipoli stessi. Si ottiene pertanto:

11+1 0 1 01 1/ = = 1 10 1 + + 1+

Da cui si ricavano le relazioni: 1−1 −1 == =

Il trasformatore monofase come doppio bipolo reciproco

Prendendo in considerazione un trasformatore ideale, si può desumere la matrice di trasmissione dalle sue equazioni di funzionamento:

= ∙ +0∙1 0 = ; = => => = 0 1/= 0 ∙ + 1/ ∙

Se si collega poi un doppio bipolo costituito da un’impedenza longitudinale in cascata col trasformatore ideale, così da realizzare lo schema semplificato di un trasformatore reale, la matrice di trasmissione è pari a:

0 /1 = = 0 1/ 0 1/0 1

Dalla verifica:

− =1

Si ricava subito che il doppio bipolo è reciproco e può essere rappresentato tramite lo schema equivalente a "Π", in cui ciascun termine è espresso in termini di impedenza anziché di ammettenza.

== =−1 −1(1 )

(Si può osservare che una delle due quantità oppure avrà segno negativo così che uno dei(− ; − ; 1)) (due componenti oppure sarà caratterizzato da parte reale negativa (componente/(1 − / − 1) attivo) e quindi non fisicamente realizzabile con l'impiego di semplici resistori e reattanze. Ciò non toglie peraltro la completa validità formale al doppio bipolo equivalente.

Trasformatore con sfasatore

Un trasformatore trifase che non sia di gruppo "zero" introduce una rotazione di fase fra terna simmetrica primaria e terna simmetrica secondaria (sia nelle tensioni che nelle correnti). Per una data frequenza e sequenza, il modello monofase richiede l'introduzione di un dispositivo sfasatore: si supponga che il dispositivo non modifichi le ampiezze, ma stabilisca, per una data sequenza, uno sfasamento fra le tensioni (o correnti) in e tensioni (o correnti) in.

La matrice di trasmissione del doppio bipolo si ottiene dalle equazioni:

= ∙ +0∙ 0=> == 0∙ + ∙ 0

Ovvero dal prodotto: ∗/ // 0 = = = ∗ 0 1/ 0 1/0 0 /

Dalla verifica:

− =

Si ricava che il doppio bipolo è reciproco solo se (gruppo oppure mentre per il= 0, , 2 , …, 6 0) ≠ 0, , 2 , … doppio bipolo non gode della reciprocità e non può trovare rappresentazione equivalente in reti di bipoli lineari. Si può ricavare così la matrice di trasmissione dello sfasatore:

1 0 = 0 1

È inoltre possibile ricavare la matrice alle ammettenze del trasformatore considerando il seguente circuito. Per il doppio bipolo che fa capo alle porte e si può scrivere:

= + = +dove essendo l’impedenza di cortocircuito vista al primario si ha:1 = − = = − =

Per lo sfasatore ideale si può scrivere:

==

Intendendosi se la tensione (corrente) nella porta è in anticipo sulla tensione (corrente) nella porta .> 0

Per il trasformatore ideale si può scrivere:

==

Si ha dunque:

= + = + => = +

Perciò il doppio bipolo in questione presenta la seguente matrice risultante alle ammettenze:

= =

Dove risulta, ovvero non risulta soddisfatto il principio di reciprocità.≠ −

Il trasformatore trifase, considerato nel suo insieme come una rete elettrica composta da elementi lineari (resistenze, reattanze, mutui accoppiamenti), costituisce un n-polo che soddisfa al principio di reciprocità anche se appartiene a gruppo diverso da zero. La non reciprocità sopra evidenziata si riferisce invece al modello monofase alla sequenza diretta oppure (con sfasamento opposto) alla sequenza inversa, quando il trasformatore non appartenga a gruppo "zero" o a gruppo "sei".

È inoltre noto che il modello monofase alla sequenza zero presenta una struttura circuitale che dipende dal tipo di collegamento degli avvolgimenti e dai vincoli inerenti i circuiti magnetici, ma che comunque non comporta l'introduzione di sfasatori.

Il regime sinusoidale delle linee

Le equazioni della linea trifase in regime sinusoidale equilibrato

Si prende in considerazione un modello monofase che presenta, per unità di lunghezza pari a un chilometro, una resistenza , una induttanza di esercizio , una conduttanza trasversale e una capacità di esercizio , dove il conduttore neutro di ritorno, ideale, si deve porre con resistenza ed induttanza longitudinali nulle.

Per studiare il regime sinusoidale equilibrato di una linea trifase simmetrica possiamo ricondurci a considerare il suo modello monofase corrispondente alla sequenza diretta. Si consideri allora una linea di lunghezza , sottoposta a regime sinusoidale di pulsazione .

L'elemento di lunghezza infinitesima situato alla distanza dall'arrivo, presenta:

=( )+=( )+

Con impedenza chilometrica longitudinale [ohm/km] e ammettenza chilometrica trasversale [siemens/km]. ( )

In base allo schema, l'incremento di tensione è pari alla caduta di tensione sull’impedenza longitudinale infinitesima:

( )= ( ) ( )

E l'incremento di corrente è pari alla corrente derivata dall’ammettenza trasversale infinitesima:

( )= ( )+ ( ) ( )

Da cui trascurando il termine di ordine superiore si ha:

= ; =dove i vettori e sono rotanti a una velocità pari alla pulsazione , ma le ampiezze dei vettori e le loro relazioni di fase sono funzioni solamente della variabile .

Tramite le Laplace-trasformate delle equazioni suddette si ottengono le due equazioni che descrivono completamente, note che siano tensione e corrente all'arrivo, il regime sinusoidale in un qualsiasi punto della linea, situato a distanza dall'arrivo:

= cosh + sinhsinh= + coshdove è stato posto: costante di propagazione;= = :impedenza caratteristica o naturale.= Ω

Ponendo allora si ottiene, essendo e := = == cosh + sinhsinh= + cosh

Si ha così che la linea può essere considerata, per ciò che riguarda il comportamento a regime sinusoidale visto ai morsetti di partenza e di arrivo, come un doppio bipolo passivo di parametri:

sinh= cosh ; = sinh ; = ; = cosh

Poiché si tratta di una linea a costanti uniformemente distribuite, il doppio bipolo risulta simmetrico e dalle relazioni di Eulero-Lambert anche reciproco − = 1:+ −cosh = ; sinh =2 2

La costante di propagazione e l'impedenza caratteristica

Esprimendo ed con notazione polare, si ha:

=( )= =( )=+ ; +

E dovendo essere soddisfatte le relazioni:

= ; = /si ottiene:= ; =dove:0≤ ≤ ; 0≤ ≤2 2

Per linee aeree orientativamente si ha:

= 80° ÷ 85°; ≅ 90°

Si ha così che la costante di propagazione:costante di attenuazione costante di fase= + = +rientra sempre nel primo quadrante, essendo:+0≤ ≤ .2 2

Inoltre, dato che per le linee elettriche di potenza si ha sempre , si ha così che l’impedenza caratteristica rientra sempre nel quarto quadrante, essendo:− ≤ 0.2

Se si considera, invece, una linea ideale priva di perdite (ossia con e si ha da cui si= 0 = 0) = = 90°,desume che la costante di propagazione è puramente immaginaria e l'impedenza caratteristica puramente reale:

⁄ essendo .= = ; = = = ; =√

Per quanto riguarda l'impedenza caratteristica, trattandosi di linea ideale, il rapporto dipende dalla geometria/della linea e dal mezzo isolante in cui questa si trova. Per quanto riguarda invece la costante di propagazione, trattandosi di linea ideale, il prodotto non dipende dalla geometria della linea ed è determinato solamente dalle caratteristiche del mezzo in cui si estendono il campo magnetico e il campo elettrico, ovvero .=

Si noti che nel calcolo dell’induttanza il termine (per i conduttori ACSR alluminio acciaio è nullo, poiché se la corrente0,05 0,033), = 0circola sulla pelle del conduttore con conseguente campo magnetico interno nullo, infatti nel caso di linea aerea si ha:2) ) )∙ = ln(… ∙ = ∙ <=> = 0,05 + ln(… ; = ln(…)2 ln(… 2 2

Esiste anche un altro caso in cui l'impedenza caratteristica sia puramente reale per una linea simmetrica, tale situazione si verifica quando è soddisfatta la condizione di Heaviside:

( ) ( )/ ⁄= => = = =( ) ( )/

La quale però non è mai verificata essendo sempre , grazie alla piccola conduttanza. Si può tuttavia≫ avvicinarsi alla condizione ideale tramite tecniche chiamate di pupinizzazione che consistono nell’interporre lungo la linea delle bobine a intervalli regolari (passo di pupinizzazione) le quali hanno il compito di aumentare l’induttanza kilometrica che dipende dal valore delle bobine.

⁄ ⁄ Per una linea aerea con, si ottiene:

= = 4 ∙ 10 ; = = 8,854 ∙ 10 ; = 50= = 1,048 ∙ 10in ottimo accordo con il valore calcolato come:,= = 2 50 0,46 ∙ = 1,047 ∙ 10√

Per una linea in cavo con, si ottiene:

= ; = 3,5 ; = 50cavo isolato con carta impregnata in olio fluido)(es.= 3,5 = 1,87 = 1,96 ∙ 10

Esempi

Linee aeree con conduttanza trasversale nulla

Nel regime sinusoidale delle linee di potenza...